Основное уравнение динамики вращательного движения относительно точки

Рассмотрим систему материальных точек массами m₁ , m₂ , …, m_n движущихся со скоростями υ₁ , υ₂ , …, υ_n . Пусть на каждую из этих

точек действуют: равнодействующие внутренних сил F^r₁ⁱ , F^r₂ⁱ , …, F_nⁱ ,

и равнодействующие внешних сил F e , F e , …, F e .

n

Запишем уравнения движения частиц:

m

dυr

r e

ri

, …

m

dυ

n

re

r i

.

(4.3.3)

= F

+ F

dt

= F

+ F

dt

n

n

n

Умножим каждое уравнение системы (4.3.3) на соответствую-щий радиус-вектор и получим

r

r e

ri

m

r

×

d υ

r

r

,

r

= r

× F

+ r

× F

dt

1

1

………..,

r

r e

ri

r

d υ

n

r

r

m

r

×

= r

× F

+ r

× F

.

n

n

dt

n

n

n

n

Преобразуем данные уравнения

_dt^d [ r^r₁ × m₁υ^r₁ ] = r^r₁ × F^r₁^e + r^r₁ × F^r₁ⁱ , _dt^d [ r^r_n × m_n υ^r _n ] = r^r_n × F^r_n^e + r^r_n × F^ri_n .

Сложим эти уравнения и получим

d

n

r

r

n

r

r e

n

r

ri

∑ [ ri

× mi υi ] = ∑ ri

× Fi

+ ∑ ri

× Fi

.

dt i =1

i =1

i=1

(4.3.4)

(4.3.5)

(4.3.6)

В последнем уравнении:

n	r	r	] =	dL	− есть момент импульса системы,
∑[ ri	× mi υi	dt
i=1
n	r	r		n	r		− сумма моментов внутренних сил,
∑ ri	× Fi i	= ∑Mii
i =1			i=1
n	r	r		n	r		− сумма моментов внешних сил.
∑ ri	× Fi e	= ∑Mie
i =1			i=1
		Таким образом, выражение (4.3.6) можно записать в виде
							dL	n r i	n r e	(4.3.7)
							dt	= ∑ M i	+ ∑Mi .
							i =1	i=1

Учитывая, что моменты внутренних сил попарно уравновеши-вают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой

n r

системы всегда равна нулю, т. е. ∑M_iⁱ = 0 , получим основное уравне-

i=1

ние динамики вращательного движения относительно точки (илииначе закон изменения момента импульса механической системы)

dL	n	r e	(4.3.8)
dt	= ∑Mi .
i=1

Производная по времени от момента импульса системы относи-тельно точки равна сумме моментов внешних сил относительно этой точки.

Закон сохранения момента импульса

		n	r
Если момент внешних сил ∑Miе = 0 , то получим
	dLr	i=1
	= 0 или	L = const	(4.4.1)
	dt

закон сохранения момента импульса.

Если момент внешних сил действующих на механическую сис-тему относительно центра оси равен нулю, то момент импульса системы относительно этого центра с течением времени не изме-няется.

Можно сказать, что момент силы при вращательном движении является аналогом силы при поступательном движении, момент им-пульса − аналогом импульса.

Законы изменения и сохранения момента импульса механиче-ской системы можно применить и к вращательному движению твер-дого тела.

Момент инерции

Моментом инерции твердого тела относительно данной осиназывается физическая величина, являющаяся мерой инертности те-ла во вращательном движении вокруг этой оси и равная сумме про-изведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от той же оси:

n

∑m_i R_i² = I _z . (4.5.1)

i=1

Момент инерции зависит только от формы тела и расположения масс относительно оси. [I] = 1 кг · м².

Понятие момента инерции было введено при рассмотрении вращения твердого тела. Однако следует иметь в виду, что каждое те-ло, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает опреде-ленным моментом инерции относительно любой оси.

Если тело сплошное, то суммирование в выражении (4.5.1) сле-дует заменить на интегрирование:

Iz =∫ R 2dm =∫ρR 2dV ,

(4.5.2)

где R − расстояние от элементарной массы dm до оси вращения.