Затухающие гармонические колебания

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы со-противления, действие которых приводит к уменьшению энергии сис-темы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, то колебания будут затухать. Затухающие колебания − это коле-бания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебатель-ной системой с течением времени уменьшается. В простейшем, и вме-сте с тем наиболее часто встречающемся случае, сила сопротивления, вызывающая затухание, зависит от скорости колебательного движе-ния, т. е. ее можно считать прямо пропорциональной скорости

r	(5.6.1)
Fc = −μυ,

где μ − постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак «минус» обусловлен тем, что сила и скорость имеют про-

тивоположные направления. Тогда второй закон Ньютона для гармо-нических колебаний при наличии сил сопротивления имеет вид

ma =−kx − rυ.

(5.6.2)

Учитывая, что a = ^{d 2 x} , а υ= ^dx , и разделив на массу m, получим dt² dt

d 2 x	+	r dx	+		k	x	= 0 .
dt2
m dt		m
Применив обозначения	k	= ω2	и	μ	= 2β получим
		m					m
d 2 x	+ 2β	dx				= 0 −
		+ω x
dt2					dt

(5.6.3)

(5.6.4)

дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Отметим,что

ω₀ представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свобод-

ные колебания системы в отсутствие сопротивления среды. Эта часто-

та называется собственной частотой.

Для решения уравнения (5.6.4) сделаем подстановку

x = z ⋅e−βt .

(5.6.5).

Проведем замену переменных

dx

= −β z

⋅ e −β t + dz e−βt

и

dt

dt

d 2 x

d

−β t

dz

−βt

−βt

dz

−βt

d 2 z

−βt

=

−β z

⋅ e

+

e

=β

z ⋅ e

− 2β

⋅ e

+

2 e

. (5.6.6)

dt

dt

dt

dt

dt

Подставим (5.6.5 и 5.6.6) в выражение (5.6.4)

−βt

−

2β

dz

−βt

+

d 2z

−βt

−βt

+

dz

−βt

−βt

=0. (5.6.7)

β z

⋅ e

dt

⋅ e

dt

e

+ 2β −βz ⋅ e

dt

e

+ω0 z ⋅ e

Преобразуем, сократив на e−βt

− 2β

dz

+

d 2 z

−β z +

dz

= 0

⇒

d 2 z

) z

= 0 . (5.6.8)

β z

dt

dt

+ 2β

dt

+ω0 z

dt

+ ( ω0

−β

Рассмотрим случай, когда сопротивление среды настолько мало,

что ω 2

−β 2

> 0

есть величина по-

x

x = A0 e −βt

cos( ωt +ϕ)

ложительная, и мы можем ввести A0

обозначение ω2 −β 2 = ω2 , после че-

A(t)= A e−βt

го уравнение (5.6.8) принимает вид

d 2 z

+ω2 z = 0 . (5.6.9)

t

dt

T

В случае большого сопро-

тивления

среды

ω2

−β 2 < 0 ,

дви-

жение

становится

непериодиче-

Рис. 5.6.1

ским.

Решение уравнения (5.6.8) можно записать в виде

z = A0cos(ω t +ϕ).

(5.6.10)

Окончательно, подставляя последнее уравнение в выражение (5.6.5), получаем общее решение дифференциального уравнения зату-

хающих колебаний (5.6.4)

x = A e −βt cos(ωt +ϕ)

или

x = A (t )cos(ωt +ϕ).

(5.6.11)

В соответствии с видом полученной функции движение можно

рассматривать как гармоническое колебание с частотой

μ 2

,

(5.6.12)

ω=

ω0

−β

=

ω0

−

2 m

периодом

T = 2π

=

2 π

=

2π

(5.6.13)

ω

ω02 −β2

μ

2

ω0

−

2 m

и амплитудой, изменяющейся по закону

A(t )

= A e−βt .

(5.6.14)

На рисунке показан график данной функции. Пунктирными ли-ниями показаны пределы , в которых находится смещение колеблю-щейся точки. Верхняя из пунктирных кривых дает график функции A(t),причем величина A₀представляет собой амплитуду в начальныймомент времени. Начальное смещение зависит от A₀ и также от на-чальной фазы ϕ, т. е. x₀ = A₀ cos ϕ.