Сложение одинаково направленных и взаимно перпенди-кулярных гармонических колебаний

Сложение нескольких колебаний одинакового	r
направления можно изображать графически с по-	ω A
мощью метода векторной диаграммы.
Гармоническое колебание может быть пред-	ϕ0
ставлено графически	с помощью вращающегося O	x
r	Для этого из произвольной	x
вектора амплитуды A.
точки О, выбранной на оси Ох, под углом ϕ0 , рав-	Рис. 5.2.1

ным начальной фазе_r колебания, откладывается век-

тор амплитуды A. Модуль этого вектора равен амплитуде рассматри-ваемого колебания. Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью ω, равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора амплитуды будет перемещаться

^А по оси Ох и принимать значения от –А до +А, а

А2ϕ2			колеблющаяся величина изменяться со временем
ϕ		по закону x = Acos(ωt + ϕ0).
	А1		1. Сложение одинаково направленных гар-
ϕ1		монических колебаний.
х1	х2	х	Сложим два гармонических колебания
			одинакового направления и одинаковой частоты.

^х Смещение x колеблющегося тела будет суммой

Рис. 5.2.2

смещений x1 и x2 , которые запишутся следующим образом:
x1= A1cos(ωt +ϕ1)и x2= A2cos(ωt +ϕ2).	(5.2.1)

Представим оба колебания на векторной диаграмме_r. Построим

по правилу сложения векторов результирующий вектор A. Проекция этого вектора на ось Ох равна сумме проекций слагаемых векторов x =

= x₁ + x₂ , следовательно, вектор A представляет собой результирую_r-

щее колебание. Определим результирующий вектор амплитуды A по теореме косинусов

A 2= A 2	+ A 2	− 2 A A cos ϕ.	(5.2.3)
Так как угол между векторами A1	и A2 равен ϕ = π − (ϕ2 − ϕ1),

то cos[π − (ϕ₂ − ϕ₁)] = −cos(ϕ₂ − ϕ₁), следовательно, результирующая амплитуда колебания будет равна

A2= A2	+ A2	+ 2 A A cos(ϕ		− ϕ ).	(5.2.4)

Определим начальную фазу результирующего колебания.

Из рисунка видно, что начальная фаза результирующего коле-

бания

tg ϕ=	A1sinϕ1	+ A2 sin ϕ2	.	(5.2.5)
A cosϕ
	+ A cos ϕ

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колеба-ниях одного направления и одинаковой частоты, также совершает гармонические колебания в том же направлении и с той же частотой.

2. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях. Допустим, что материальная точка совершает колеба-ния как вдоль оси X, так и вдоль оси Y. Выберем начало отсчета вре-мени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний примут вид

x = A1cosωt,и y = A2cos(ωt +ϕ),

(5.2.6)

где ϕ − разность фаз обоих колебаний.

Уравнение траектории получим, исключив из уравнений (5.2.6)

параметр времени t: cos ωt =	x	, а sin ωt = 1 − cos 2 ω t =
A

ложим косинус во втором из уравнений (5.2.6) cos(ωt + ϕ) = cosωt · cosϕ + sinωt · sinϕ.

Тогда
y = A2[cosω t ⋅cosϕ+sinω t ⋅sinϕ]= A2		x	cos ϕ+	1 −	x2
A	A2

Перепишем это уравнение в следующем виде

1 − ^x2 . Раз-

A₁²

(5.2.7)

sin ϕ . (5.2.8)

y

=

x

cos ϕ+

1 −

x

sin ϕ

⇒

y

−

x

cos ϕ=

1 −

x2

sin ϕ. (5.2.9)

A

A

A2

A

A

A2

После преобразования, получим

y 2

− 2

y x

cos ϕ+

x2

cos

ϕ= sin

ϕ −

x2

sin

ϕ.

(5.2.10)

A 2

A A

A2

A2

Используя тригонометрическое тождество cos² ϕ + sin² ϕ = 1, окончательно получим

x 2	+	y 2	− 2	x		y	cos ϕ= sin		ϕ.	(5.2.11)
A 2	A2	A A

Это есть уравнение эллипса , оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно. Ориентация эл-липса и величина его полуосей зависят от амплитуд колебаний и раз-ности фаз.

Рассмотрим несколько частных случаев и определим форму тра-ектории для них:

а) разность фаз равна нулю [ϕ = 0].

	x		y	2
В этом случае	−		= 0 , откуда получается уравнение прямой
	A2
	A1
					y =	A2	x .	(5.2.12)
					A

Результирующее движение является гармоническим колебанием

вдоль этой прямой с частотой ω и амплитудой A =

A2

+ A2 .

2) разность фаз равна ±π [ϕ = ±π].

а

y

A1

б

–A1y

в

y ϕ= − π

А

A2

A2

–A2

x

x

0 A1

x

–A2

ϕ=

π

–A1

A1

ϕ= 0

ϕ = π

Рис. 5.2.3

x

y

2

В этом случае

+

=0, откуда получается уравнение прямой

A1

A2

y = −

A2

x .

(5.2.13)

A

3) Разность фаз равна

±

π

π

. Тогда

ϕ= ±

x 2

y2

+

=1.

(5.2.14)

A

A

Уравнение эллипса, причем полуоси эллипса равны соответст-вующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд колебаний

эллипс вырождается в окружность. Случаи ϕ= + ^π₂ и ϕ= − ^π₂ отлича-

ются направлением движения. Если ϕ= + ^π₂ , то уравнения колебаний имеют следующий вид: x = A₁ cosωt, и y = −A₂ sinωt и движение со-

вершается по часовой стрелке. Если ϕ= − ^π₂ , то уравнения колебаний

имеют следующий вид : x = A₁ cosωt, и y = A₂ sinωt и движение совер-шается против часовой стрелке.

Рассмотренные три частных случая представлены на рис. 5.2.3, а, б, в.

4) Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных ко-лебаний различны, то траектория результирующего движения имеет вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. Форма этих кривых определяется соотношением амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний.

На рис. 5.2.4 показаны фигуры Лиссажу, которые получаются при соотношении частот 1:2 и различной разности фаз колебаний.

y		y		y		y		y
ϕ = 0	ϕ=	π	ϕ=	π	ϕ=	3	π	ϕ = π
			Рис. 5.2.4

По виду фигур можно определить неизвестную частоту по из-вестной частоте или определить соотношение частот складываемых колебаний.