Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.
Колеблющиеся вектора, колеблются в перпендикулярных векторах.
Получили уравнение эллипса, полуоси которого расположены под углом к осям координат.
.
По данной траектории колеблется конец вектора, являющийся суммой двух взаимно перпендикулярных рассматриваемых векторов. Конец этого вектора колеблется от начала координат на расстоянии .
.
Результирующее движения является гармоническим колебанием той же частоты.
.
.
Получили каноническое уравнение эллипса.
Применение комплексных чисел для записи гармонических колебаний. Векторные диаграммы.
.
Если длина этого вектора равна амплитуде колебаний, а угол – фазе, то проекция на – колеблющейся величине.
Комплексные числа можно записывать в тригонометрическом и показательном виде.
.
– комплексная амплитуда.
.
.
Когда одинаковы, тогда в любой момент времени соотношение между векторами будет всегда одинаково.
Затухающие колебания.
Пусть есть трение. В общем случае трение пропорционально скорости. Запишем второй закон Ньютона.
.
1)
.
Получили негармонические колебания с меньшей частотой.
Такие колебания называются затухающими колебаниями.
Найдем время, за которое амплитуда колебаний уменьшиться в раз.
.
– характерное время затухания.
Во сколько раз измениться амплитуда за период?
.
– декремент затухания.
– логарифмический декремент затухания.
– добротность системы.
Пусть есть диссипативные силы (силы трения) в общем случае пропорциональные скорости.
;
;
.
1) - рассмотрено раньше.
2) .
- т.е. функция.
Рассмотрим два вида начальных условий:
- ; (т.е. шарик на нитке или пружине только оттянули). Тогда .
- ; (т.е. шарику сообщили некоторую скорость). Тогда
Т.е. шарик отклонится и вернётся обратно.
3)
Вынужденные колебания.
Добавим вынуждающую силу, действующую на осциллятор.
;
;
.
Пусть . Рассмотрим случай, когда . Тогда
.
.
Тогда частное решение этого дифференциального уравнения выглядит так:
;
;
;
откуда: . Тогда
.
, где .
При , Это случай установившихся колебаний. Если долго ждать, то вид колебаний не будет зависеть от начальных условий
.
Пусть , откуда
;
;
.
возьмём действительную часть:
Резонанс.
Посмотрим как зависит амплитуда установившихся колебаний от частоты силы.
;
Найдём экстремум . Откуда - при такой имеет место быть экстремум. Т.к. он единственный что это максимум и амплитуда колебаний будет максимальна. определяется - самим осциллятором и вязкостью среды. Ситуация, когда амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума – резонанс.
.
1) , т.е. колебания станут нелинейными.
2) Чем вязкость меньше, тем график амплитуды пойдёт выше.
Найдём такую частоту, при которой . Предположим, что резонансная кривая симметрична и , т.е. затухание малое. Тогда
;
, но т.к. кривая узкая то , но
;
;
.
Т.о. для систем с малым затуханием выполняется соотношение .
- величина, на которую нужно отступить в право или в лево от резонанса, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в два раза.
Величина, называется логарифмический декремент затухания
- добротность.
Найдем отношение высоты резонансной кривой к :
Пусть максимум узкий, тогда
Добротность – это безразмерная величина.
Ее смысл: Если есть вынуждающая сила, то чем больше вязкость, тем меньше максимум. Добротность показывает во сколько раз можно увеличить по отношению к смещению постоянной силы. Чем больше добротность ,тем больше , чем меньше добротность , тем меньше .
Фазовые характеристики резонанса.
Установившиеся колебания повторяют действующую силу не точно, а отстают по фазе на величину .
Посмотрим, в каком случае .
- в разных точках кривой начальная фаза колебаний будет разной. зависит от затухания и свойства самого осциллятора . Построим график .
Три вспомогательные точки:
Чем больше частота , тем больше отставание маятника от силы.
При отставание стремится к половине периода.
Электрические колебания.
Соберем электрическую цепь.
Найдем уравнения, которые описывают заряд на конденсаторе .
будем работать в СИ. Считаем, что ток в данной системе квазистационарный, т.е в заданный момент времени токи во всех точках цепи одинаковые.
(1)
При записи выражения (1) считали, что катушка не деформируется и её индуктивность постоянна, а это значит, что .
Запишем выражение (1) в другом виде и сравним с уже известным уравнением . Эти уравнения имеют одинаковый вид. Поэтому, если в формулах, полученных для механических колебаний, заменим константы и , то они будут справедливы для уравнения .
.