Математический и физический маятники
Frупр
m
Рассмотрим несколько простейших систем , совершающих свободные гармони-ческие колебания.
1) Пружинный маятник − это матери-
υr Frупр
x | ||||||||
Рис. 5.5.1 |
альная точка массой m, подвешенная (или
Рис. 5.5.2 |
расположенная горизонтально) на абсолютно упругой пружине жест-костью k и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы. Пусть шайба массой m, прикрепленная к пружине, со-вершает колебания. Для составления дифференциального уравнения колебаний запишем второй закон Ньютона в проекции на ось Oх Fупр =ma. Упругая сила Fупр = −kx. Приравнивая последние два уравнения и, используя определение ускорения тела, получим
ma =−kx | или | m | d | 2 x | = −kx . | (5.5.1) | ||
dt2 | ||||||||
Отсюда | ||||||||
d 2 x | + | k | x =0. | (5.5.2) | ||||
dt2 | m | |||||||
Сравнивая уравнения (5.3.7) и (5.5.2) получаем, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с частотой
ω2 | = | k | ⇒ ω = | k | . | (5.5.3) | |
m | m | ||||||
Так как период колебаний определяется по формуле T = 2π , то период
ω0
колебаний пружинного маятника
T =2π m . | (5.5.4) | |
k | ||
2) Математический маятник − это идеализированная система, | ||
состоящая из невесомой и нерастяжимой | r | |
нити, на которой подвешена материальная | M | |
O | ||
точка массой m. Отклонение маятника от | ||
положения равновесия будем характеризо- | ω | |
вать углом ϕ, образованным нитью с верти- | ||
калью. | ϕ | |
При отклонении маятника от положе- | l | |
ния равновесия возникает вращательный | ||
r | ||
момент M , равный по величине mglsinϕ. | ||
Он имеет такое же направление, что стре- | l sinϕ | |
мится вернуть маятник в положение равно- | ||
mgr | ||
весия. | Следовательно, | выражение | M | для | ||
вращательного | момента | имеет | вид: | = |
= −mglsinϕ. Применим основное уравнение динамики вращательного движения
M = Iε, | (5.5.5) |
где I = ml2 − момент инерции материальной точки. Тогда, учитывая,
что угловое ускорение | ε = | d 2ϕ | , получим | ||||||||
dt2 | |||||||||||
ml 2 d 2ϕ | = − mgl sin ϕ | ⇒ | d 2ϕ | + | g | sin ϕ= 0 . | (5.5.6) | ||||
dt2 | |||||||||||
dt2 | l | ||||||||||
Если рассматривать малые колебания, то sin ϕ ≈ϕ. Получим | |||||||||||
d 2ϕ | + | g | ϕ= 0 ⇒ | d 2ϕ | |||||||
+ω ϕ= 0 . | (5.5.7) | ||||||||||
dt2 | l | dt2 | |||||||||
То есть при малых колебаниях угловое отклонение математиче-ского маятника изменяется по гармоническому закону с частотой
ω2 | = | g | ⇒ | ω = | g | . | (5.5.8) | |
l | l | |||||||
Период колебаний математического маятника | ||||||||
T =2π | l | . | (5.5.9) | |||||
g |
3) Физический маятник − это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси, прохо-
r | дящей через точку, не совпадающую с цен- | ||
N | тром масс тела. При отклонении маятника | ||
h | |||
от положения равновесия на угол ϕ возни- | |||
O | |||
α l | кает вращательный момент, стремящийся | ||
вернуть маятник в положение равновесия. | |||
C | Этот момент равен M = −mglsinϕ. | ||
r | Согласно основному уравнению ди- | ||
O′ | намики вращательного движения получаем | ||
F | |||
r | |||
p |
Рис. 5.5.3 52
Iε= M ⇒ | I | d 2ϕ | = −mgl sin ϕ, (5.5.10) | |
dt | ||||
где I − момент инерции маятника относительно оси, проходящей че-рез точку подвеса.
Если рассматривать малые колебания, то sin ϕ ≈ϕ. Получим
d 2ϕ | + | mgl | ϕ= 0 | ⇒ | d 2ϕ2 | (5.5.11) | ||
+ω ϕ= 0 . | ||||||||
dt2 | I | dt2 | ||||||
То есть при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется по гармоническому закону с частотой
ω2 | = mgl ⇒ω = mgl . | (5.5.12) | |||||||||||
I | I | ||||||||||||
Период колебаний математического маятника | |||||||||||||
T =2π | I | . | (5.5.13) | ||||||||||
mgl | |||||||||||||
Из сопоставления формул периодов колебаний математического | |||||||||||||
и физического маятников T = 2 π | l | и T = 2 π | I | получается, что | |||||||||
g | mgl | ||||||||||||
математический маятник с длиной | |||||||||||||
l | = | I | . | (5.5.14) | |||||||||
пр | ml |
будет иметь такой же период колебаний, что и данный физический маятник.
Величина lпр (отрезок OO′) называется приведенной длиной фи-зического маятника −это длина такого математического маятника,период колебаний которого совпадает с периодом данного физиче-ского маятника. Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с цен-тром масс, и лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вра-щения, называется центром качания (О′) физического маятника. Точ-ка подвеса О и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса ста-новится новым центром качания.