Ускорение гармонических колебаний

При механических колебаниях колеблющееся тело обладает кинетической и потенциальной энергией. Кинетическая энергия тела W:

Графическое представление колебаний:

Вопрос 19

Сложение гармонических колебаний одного направления, взаимно перпендикулярных. Фигуры Лиссажу.

Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты

воспользовавшись методом вращающегося вектора амплитуды. Построим векторные диаграммы этих колебаний (рис. 203). Tax как векторы A₁ и А₂ вращаются с одинаковой угловой скоростью, то разность фаз между ними остается постоянной. Очевидно, что уравнение результирующего колебания будет

Найдем результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты ω, которые происходят во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Начало отсчета для простоты выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем это в виде

(1)

где α — разность фаз обоих колебаний, А и В равны амплитудам складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания определим исключением из формул (1) времени t.

Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, которая совершает одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми, которые параллельны осям координат. По виду фигур можно найти неизвестную частоту по известной или найти отношение частот складываемых колебаний.

Вопрос 20

Гармонический осциллятор. Собственные колебания математического, физического и пружинного маятников.

Гармоническим осциллятором называется система, которая совершает колебания, описываемые выражением вида d²s/dt² + ω₀²s = 0 или

Пружинный маятник — это груз массой m, который подвешен на абсолютно упругой пружине и совершает гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины. Уравнение движения маятника имеет вид

Физический маятник — это твердое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси. Если маятник из положения равновесия отклонили на некоторый угол α, то, используя уравнение динамики вращательного движения твердого тела, момент M возвращающей силы.

где J — момент инерции маятника относительно оси, которая проходит через точку подвеса О, l – расстояние между осью и центром масс маятника, F_τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα — возвращающая сила (знак минус указывает на то, что направления F_τ и α всегда противоположны;

При малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω₀ и периодом

где введена величина L=J/(ml) — приведенная длина физического маятника.

Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, которая подвешена на нерастяжимой невесомой нити, и которая колеблется под действием силы тяжести. Хорошее приближение математического маятника есть небольшой тяжелый шарик, который подвешен на длинной тонкой нити. Момент инерции математического маятника

(8)

где l — длина маятника.

Поскольку математический маятник есть частный случай физического маятника, если предположить, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив (8) в (7), найдем выражение для периода малых колебаний математического маятника

Вопрос 21

Гармонический осциллятор. Затухающие колебания и их характеристика.

Гармоническим осциллятором называется система, которая совершает колебания, описываемые выражением вида d²s/dt² + ω₀²s = 0 или

где две точки сверху означают двукратное дифференцирование по времени.

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени.Свободные затухающие колебания линейной системы описываются уравнением:

где - коэффициент затухания, - собственная частота системы, т.е. частота, с которой совершались бы колебания в отсутствии затухания.

Период затухающих колебаний определяется формулой:

Вопрос 22

Гармонический осциллятор. Вынужденные колебания, дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Резонанс.

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.

Второй закон Ньютона для такого осциллятора запишется в виде: .

Если ввести обозначения: и заменить ускорение на вторую производную от координаты по времени, то получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

Решением этого уравнения будет сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения было уже получено здесь и оно имеет вид:

,

где — произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий.

Найдём частное решение. Для этого подставим в уравнение решение вида: и получим значение для константы:

Тогда окончательное решение запишется в виде:

Эффект резонанса для разных частот внешнего воздействия и коэффициентов затухания

Резонанс

Из решения видно, что при частоте вынуждающей силы, равной частоте свободных колебаний, оно не пригодно — возникает резонанс, то есть «неограниченный» линейный рост амплитуды со временем. Из курса математического анализа известно, что решение в этом случае надо искать в виде: . Подставим этот анзац в дифференциальное уравнение и получим, что :

Вопрос 23

Волны в упругой среде. Поперечные и продольные волны. Уравнение волны и основные характеристики.

Упругая волна - это процесс распространения колебаний в упругой среде. Характерное свойство волны - перенос энергии без переноса вещества.

Продольные и поперечные волны. Обозначим через скорость распространения волны. Если направление смещения (и скорость частицы ) совпадают с направлением скорости волны, то волна называется продольной. Если и взаимно перпендикулярны, то волна поперечная.

Длина волны - это расстояние, на которое распространяется волна за один период колебаний.

Так как, то или

Вопрос 24

Стоячие волны. Амплитуда стоячей волны. Узлы и пучности. Длина стоячей волны.

При наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой возникает колебательный процесс, называемый стоячей волной. При этом переноса энергии не происходит.

Для волны, бегущей по оси x: .

Для волны, бегущей против оси x:

Амплитуда стоячей волны-это модуль выражения, стоящего перед множителем cos(wt), т.е.

Узлы и пучности.Поверхность, где амплитуда колебаний равна нулю, называют узлами стоячей волны. Для узлов:

Следовательно, координаты узлов:

Поверхность, где амплитуда колебаний достигает максимума, называют пучностями стоячей волны.

Для пучностей:

Координаты пучностей:

Расстояние между соседними узлами (или пучностями) называются длиной стоячей волны и равно:

где λ - длина бегущей волны.

Вопрос 25

Статические и термодинамические методы исследования вещества. Состояние, процесс, термодинамические параметры. Термодинамическое решение. Модель идеального газа. Газовые законы. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории.

Законы поведения огромного числа молекул, являясь статистическими закономерностями, изучаются с помощью статистического метода. Этот метод основан на том, что свойства макроскопической системы, в конеч­ном счете, определяются свойствами частиц системы, особенностями их движения и усредненными значениями динамических характеристик этих частиц. Термодинамика не рассматривает микропроцессы, кото­рые лежат в основе этих превращений. Этим термодинамический метод отличается от статистического. Термодинамика базируется на двух началах — фундаментальных за­конах, установленных в результате обобщения опытных данных.

Переход из одного термодинамического состояния в другое называется термодинамическим процессом. Равновесным состоянием - состоянием термодинамического равновесия - называется такое состояния термодинамической системы, в котором отсутствуют всякие, а макроскопические параметры системы являются установившимися и не изменяются во времени. Если какая-либо термодинамическая система находится в термодинамическом равновесии с двумя другими системами, то и эти две системы находятся в термодинамическом равновесии друг с другом.

Модель идеального газа.Число молекул в газе велико: N >> 1, среднее расстояние между отдельными молекулами много больше их размеров (l >> a).Молекулы газа совершают неупорядоченное, хаотическое движение.Движение отдельных молекул подчиняется законам механики, молекулы рассматриваются как материальные точки, совершающие только поступательное движение. Величина потенциальной энергии взаимодействия мала по сравнению со средней кинетической энергией.Все соударения молекул друг с другом и со стенками сосуда, в котором находится газ, являются абсолютно-упругими. При ударе о стенку компонента импульса молекулы, перпендикулярная стенке, меняет знак. Выполняются законы сохранения импульса и энергии для молекул газа.

Произведение давления идеального газа на его объем пропорционально плотности числа молекул в газе и средней кинетической энергии поступательного движения отдельной молекулы,т.е.

Изотермический процесс. Процесс изменения состояния системы макроскопических тел (термодинамической системы) при постоянной температуре .

Изобарный процесс. Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном давлении

Изохорный процесс. Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном объеме.

Основное уравнение МКТ:

Вопрос 26

Теплоемкость. Применение первого начала к изопроцессам: изобарный, изохорный, изотермический.

Теплоемкость – физическая величина, определяющая отношение бесконечно малого количества теплоты δQ, полученного телом, к соответствующему приращению его температуры δT:

Изохорный процесс(V = const). При изохорном процессе газ не совершает работы над внешними телами, т. е.

dA = pdV = 0. из первого начала термодинамики (dQ = dU + dA) для изохорного процесса следует, что вся теп­лота, сообщаемая газу, идет на увеличе­ние его внутренней энергии:

dQ = dU. Согласно формуле , dU_m = C_vdT.

Изобарный процесс(р=const). При изобарном процессе работа газа при расширении объема от V₁ до V₂ равна

Изотермический процесс (T=const), изотермический процесс описывается законом Бойля—Мариотта:

Следовательно, для того чтобы при расширении газа температура не понижалась, к газу в течение изотермического процесса необходимо подводить количество теплоты, эквивалентное внешней работе расширения.

Вопрос 27

Применение первого начала к изопроцессам: адиабатический процесс.

Адиабатическимназывается процесс, при котором отсутствует теплообмен (dQ=0) .

Из первого начала термодинамики (dQ=dU + dA) для адиабатического про­цесса следует, что

dA=-dU,

Продифференцировав уравнение состоя­ния для идеального газа pV=(m/M)RT, получим

Исключим температу­ру Т:

Разделив переменные и учитывая, что С_р / С_v = g , найдем dp / p = -gdV / V.

Интегрируя это уравнение в пределах от р₁ до р₂ и соответственно от V₁ до V₂, а затем потенцируя, придем к выражению

p₂ / p_l = (V₁/V₂) ^g. или p₁v^g₁ = p₂v^g₂.

Так как состояния 1 и 2 выбраны про­извольно, то можно записать

рV = const.

Полученное выражение есть уравнение адиабатического процесса, называемое также уравнением Пуассона.

Вопрос 28

Второе начало термодинамики и его применение к тому, что теплота всегда переходит от более нагретого к менее нагретому.

Укажем еще две формулировки второго начала термодинамики:

1) по Кельвину: невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является превращение теплоты, полученной от нагревателя, в эквивалентную ей работу;

2)по Клаузулу:невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является передача теплоты от менее нагретого тела к более нагретому.

Рассматривая Вселенную как замкнутую систему и применяя к ней второе качало термодинамики, Клаузиус свел его содержание к утверждению, что энтропия Вселенной должна достигнуть своего максимума. Это означает, что со временем все формы движения должны перейти в тепловую. Переход же теплоты от горячих тел к холодным приведет к тому, что температура всех тел во Вселенной сравняется, т. е. наступит полное тепловое равновесие и все процессы во Вселенной прекратятся — наступит тепловая смерть Вселенной. Ошибочность вывода о тепловой смерти заключается в том, что бессмысленно применять второе начало термодинамики к незамкнутым системам, например к такой безграничной и бесконечно развивающейся системе, как Вселенная.

Вопрос 29

Тепловые двигатели и холодные машины. Паровой двигатель, двигатель внутреннего сгорания, турбина, холодильник.

Тепловым двигателем называется устройство, способное превращать полученное количество теплоты в механическую работу. Механическая работа в тепловых двигателях производится в процессе расширения некоторого вещества, которое называется рабочим телом. В качестве рабочего тела обычно используются газообразные вещества. Рабочее тело получает (или отдает) тепловую энергию в процессе теплообмена с телами, имеющими большой запас внутренней энергии.

Тепловой резервуар с более высокой температурой называют нагревателем, а с более низкой – холодильником. Совершая круговой процесс, рабочее тело получает от нагревателя некоторое количество теплоты Q₁ > 0 и отдает холодильнику количество теплоты Q₂ < 0. Полное количество теплоты Q, полученное рабочим телом за цикл, равно

Q = Q1 + Q2 = Q1 – |Q2|.

При обходе цикла рабочее тело возвращается в первоначальное состояние, следовательно, изменение его внутренней энергии равно нулю (ΔU = 0). Согласно первому закону термодинамики,

ΔU = Q – A = 0.

коэффициентом полезного действия η тепловой машины:

Паровая машина — тепловой двигатель внешнего сгорания, преобразующий энергию пара в механическую работу возвратно-поступательного движения поршня, а затем во вращательное движение вала. В более широком смысле паровая машина — любой двигатель внешнего сгорания, который преобразовывает энергию пара в механическую работу.

Для привода паровой машины необходим паровой котёл. Расширяющийся пар давит на поршень или на лопатки паровой турбины, движение которых передаётся другим механическим частям. Одно из преимуществ двигателей внешнего сгорания в том, что из-за отделения котла от паровой машины можно использовать практически любой вид топлива — от кизяка до урана.

Двигатель внутреннего сгорания (сокращённо ДВС) — это тип двигателя, тепловой машины, в которой химическая энергия топлива (обычно применяется жидкое или газообразное углеводородное топливо), сгорающего в рабочей зоне, преобразуется в механическую работу.

В отличие от паровых машин здесь топливо сжигается для нагревания газа, а не для превращения жидкости в пар. Правда, наряду с нагреванием воздуха происходит и частичное изменение его состава: вместо молекул кислорода появляется несколько большее количество молекул углекислого газа и водяного пара

Газовая турбина — это двигатель непрерывного действия, в лопаточном аппарате которого энергия сжатого или нагретого газа преобразуется в механическую работу на валу. Горение топлива может происходить как вне турбины, так и в самой турбине. Основными элементами конструкции являются ротор (рабочие лопатки, закреплённые на дисках) и статор, выполненный в виде выравнивающего аппарата (направляющие лопатки, закреплённые в корпусе).

Вопрос 30

Цикл Карно и его КПД для идеального газа.

Цикл Карно совершает газ, находящийся в цилиндре под поршнем. На изотермическом участке (1–2) газ приводится в тепловой контакт с горячим тепловым резервуаром (нагревателем), имеющим температуру T₁. Газ изотермически расширяется, совершая работу A₁₂, при этом к газу подводится некоторое количество теплоты Q₁ = A₁₂. Далее на адиабатическом участке (2–3) газ помещается в адиабатическую оболочку и продолжает расширяться в отсутствие теплообмена. На этом участке газ совершает работу A₂₃ > 0. Температура газа при адиабатическом расширении падает до значения T₂. На следующем изотермическом участке (3–4) газ приводится в тепловой контакт с холодным тепловым резервуаром (холодильником) при температуре T₂ < T₁. Происходит процесс изотермического сжатия. Газ совершает работу A₃₄ < 0 и отдает тепло Q₂ < 0, равное произведенной работе A₃₄. Внутренняя энергия газа не изменяется. Наконец, на последнем участке адиабатического сжатия газ вновь помещается в адиабатическую оболочку. При сжатии температура газа повышается до значения T₁, газ совершает работу A₄₁ < 0. Полная работа A, совершаемая газом за цикл, равна сумме работ на отдельных участках:

Как следует из первого закона термодинамики, работа газа при адиабатическом расширении (или сжатии) равна убыли ΔU его внутренней энергии. Для 1 моля газа

A = –ΔU = –CV (T2 – T1)

По определению, коэффициент полезного действия η цикла Карно есть

С. Карно выразил коэффициент полезного действия цикла через температуры нагревателя T₁ и холодильника T₂:

Вопрос 31

Уравнение Ван-дер-Ваальса. Изотермы Ван-дер-Ваальса и их анализ. Внутренняя энергия реального газа.

Для моля газа объемом V при температуре Т и давлении р, уравнение Ван-дер-Ваальса имеет вид:

(p + a / V_m ²) * (V_m - b) = RT,

где: R — газовая постоянная,

a и b — экспериментальные константы, учитывающие отклонение свойств реального газа от свойств идеального газа.

Член a/V² имеет размерность давления и учитывает притяжение между молекулами газа за счет ван-дер-ваальсовых сил. Действие сил притяжения газа приводит к появлению дополнительного давления на газ, называемого внутренним давлением. По вычислениям Ван-дер-Ваальса, внутреннее давление обратно пропорционально квадрату молярного объема, т. е. р_вн = a/V_m², где а — постоянная Ван-дер-Ваальса, характеризующая силы межмолекулярного притяжения, V_m — молярный объем.

Константа b является поправкой на собственный объем молекул газа и учитывает отталкивание молекул на близких расстояниях. Наличие сил отталкивания, которые противодействуют проникновению в занятый молекулой объем других молекул, приводит к тому, что фактически свободный объем, в котором будут двигаться молекулы реального газа, будет не V_m, а V_m-b, где b — объем, занимаемый самими молекулами. Объем b равен учетверенному собственному объему молекул.

Изотермы Ван-дер-Ваальса — кривые зависимости р от V_m при заданных Т, для моля газа. При высоких температурах (T > Т_к) изотерма реального газа отличается от изотермы идеального газа только некоторым искажением ее формы, оставаясь монотонно спадающей кри­вой. При некоторой температуре T_к на изотерме имеется лишь одна точка перегиба К. Эта изотерма называется критической, соответствующая ей температура T_к — крити­ческой температурой; точка перегиба К называется критической точкой; в этой точке касательная к ней параллельна оси абсцисс. Соответствующие этой точке объем V_к, и давление р_к называются также критическими. Состояние с критическими парамет­рами (р_к, V_к, T_к) называется критическим состоянием. При низких температурах (Т < Т_к) изотермы имеют волнообразный участок, сначала монотонно опускаясь вниз, затем монотонно поднимаясь вверх и снова монотонно опускаясь.

Для пояснения характера изотерм преобразуем уравнение Ван-дер-Ваальса к виду:

Внутренняя энергия реального газа складывается из кинетической энергии теплового движения его молекул и потенциальной энергии межмолекулярного взаимодействия. Потенциальная энергия реального газа обусловлена только силами притяжения между молекулами. Наличие сил притяжения приводит к возникновению внутреннего давления на газ.

внутренняя энергия моля реального газа

для моля газа

получаем

Вопрос 32

Эффект Джоуля-Томсона. Сжижение газов. Фазовые переходы 1-го и 2-го рода.

Эффектом Джоуля — Томсона называется изменение температуры газа при адиабатическом дросселировании — медленном протекании газа под действием постоянного перепада давлений сквозь дроссель (пористую перегородку). Данный эффект является одним из методов получения низких температур. Изменение температуры при малом изменении давления (дифференциальный эффект) в результате процесса Джоуля — Томсона определяется производной , называемой коэффициентом Джоуля — Томсона. С помощью элементарных преобразований можно получить выражение для этого коэффициента:

где — теплоёмкость при постоянном давлении. Для идеального газа , а для реального газа он определяется уравнением состояния.

Если при протекании газа через пористую перегородку температура возрастает ( ), то эффект называют отрицательным, и наоборот, если температура убывает ( ), то процесс называют положительным. Температуру, при которой меняет знак, называют температурой инверсии.

Фазовые переходы первого рода —при которых скачком изменяются первые производные термодинамических потенциалов по параметрам системы (температуре или давлению). Переходы первого рода реализуются как при переходе системы из одного агрегатного состояния в другое, так и в пределах одного агрегатного состояния. При переходе системы из одного агрегатного состояния в другое: кристаллизация (переход жидкой фазы в твердую), плавление (переход твердой фазы в жидкую), конденсация (переход газообразной фазы в твердую или жидкую), возгонка (переход твердой фазы в газообразную), эвтектическое, перитектическое и монотектическое превращения. В пределах одного агрегатного состояния: эвтектическое, перитектическое и полиморфное превращения, распад пересыщенных твердых растворов, распад (расслоение) жидких растворов, упорядочение твердых растворов.

Фазовые переходы второго рода — фазовые переходы, при которых первые производные термодинамических потенциалов по давлению и температуре изменяются непрерывно, тогда как их вторые производные испытывают скачок. Отсюда следует, в частности, что энергия и объём вещества при фазовом переходе второго рода не изменяются, но изменяются его теплоёмкость, сжимаемость

Фазовые переходы второго рода происходят в тех случаях, когда меняется симметрия строения вещества (симметрия может полностью исчезнуть или понизиться). Описание фазового перехода второго рода как следствие изменения симметрии даётся теорией Ландау. В настоящее время принято говорить не об изменении симметрии, но о появлении в точке перехода параметра порядка, равного нулю в менее упорядоченной фазе и изменяющегося от нуля (в точке перехода) до ненулевых значений в более упорядоченной фазе.

· Прохождение системы через критическую точку

· Переход парамагнетик-ферромагнетик или парамагнетик-антиферромагнетик (параметр порядка — намагниченность)

· Переход металлов и сплавов в состояние сверхпроводимости (параметр порядка — плотность сверхпроводящего конденсата)

· Переход жидкого гелия в сверхтекучее состояние (п.п. — плотность сверхтекучей компоненты)

· Переход аморфных материалов в стеклообразное состояние