Виведення рівнянь Лагранжа II роду

Розглянемо|розглядуватимемо| два найбільш простих виведення рівнянь. У основі першого лежить II закон Ньютона, а другого - загальне|спільне| рівняння динаміки. Цим ми зайвий раз хочемо підкреслити, що в основі всієї динаміки лежать закони Ньютона і всі положення|становища| і теореми отримують|одержують| на базі всіх цих законів. У підручниках|посібниках| по теоретичній механіці можливо| зустріти різні досить громіздкі виводи|висновки| рівняння Лаг­ранжа II роду. Ті, що наведені|призводять| тут, - найбільш прості.

Перший вивід (з II закону Ньютона). Розглянемо механічну систему, що складається з n матеріальних точок і якамає S ступенів свободи, . Положення кожної точки визначається щодо деякого центру радіус-вектором Конфігурація системи визначається узагальненими координатами

Відповідно до аксіоми звільнення| від зв'язків і II закону Ньютона для точок механічної системи можемо записати рівняння руху у вигляді|виді|

, (2.1)

де - рівнодіюча активних сил, що діють i-юточку;

- рівнодіюча|рівнодійна| реакція зв'язків.

Кожну рівняння цієї системи помножимо скалярнно на (j=1,2,3.,S, i=1,2,3.,n) і підсумуємо:

. (2.2)

Таких рівнянь буде S (j=1,2,3,..,S).

Введемо|запроваджуватимемо| позначення: - узагальнена активна сила;

- узагальнена реакція зв'язків(j=1,2,3.,S).

Розглянемо скалярний добуток

. (2.3)

Тут можна провести|виробляти| наступні|слідуючі| перетворення:

(2.4)

У цьому виразі приватна похідна від по q_jє межа відношення приросту до приросту , в якому відповідно до відомого правила Лопіталя можна зробити підстановку , що і враховане при отриманні (2.4). Підставляючи (2.4) в (2.3) і підсумовуючи по всіх точках системи, отримаємо

. (2.5)

Тут - кінетична енергія механічної системи.

Рівність (2.5) принимає вигляд|вид| ,

тобто|цебто| вирази (2.2) після|потім| перетворень можемо написати у вигляді|виді|:

, (j=1,2,3.,S). (2.6)

Отримані рівняння називають рівняннями Лагранжа II роду. Це система S звичайних диференціальних рівнянь другого порядку щодо узагальнених координат.

Для системи з|із| ідеальними зв'язками узагальнені реакції зв'язків Доведемо це. За визначенням ідеальних зв'язків - ідеальними називаються зв'язки, сума робіт реакцій яких на будь-якому можливому переміщенні дорівнює нулю|нуль-індикатору|

(2.7)

Виразимо варіацію радіусу-вектора i-оїточці через прийняті S узагальнених координат q_j

. (2.8)

З|із| урахуванням|урахуванням| (2.8) рівняння (2.7) приймає вигляд|вид|:

зміняючи порядок підсумувування, отримуємо

(2.9)

Вираз в круглих дужках в (2.9) є узагальнена реакція зв'язків . Переписуємо:

(2.10)

Але оскільки варіації узагальнених координат , і незалежні, та рівняння (2.10) справедливе тільки при , що і потрібно було довести.

Отримуємо|одержуємо| остаточно, що для системи з|із| ідеальними зв'язками диференціальні рівняння руху в узагальнених координатах (рівняння Лагранжа II роду) мають вигляд|вид|:

(2.11)

тобто рух голономної механічної системи з S ступенями свободи описується системою S диференціальних рівнянь 2-го порядку щодо узагальнених координат.

Реакції неідеальних зв'язків, наприклад, сили тертя, ми повинні віднести до активних сил.

Друге виведення рівнянь Лагранжа II роду із загального рівняння динаміки Знову ж таки розглядається голономна механічна система, що складається з n матеріальних точок і має S ступенів свободи. Положення кожної точки- визначається щодо деякого центру радіусом-вектором . Вибираємо S узагальнених координат q_j (j=1,2,3.,S). Загальне рівняння динаміки вимагає, щоб при будь-якому русі механічної системи з ідеальними зв'язками в кожен даний момент часу сума елементарних робіт всіх активних сил і всіх умовно прикладених сил інерції на всякому можливому переміщенні системи дорівнювала нулю

(2.12)

або . (2.13)

Сума елементарних робіт активних сил в узагальнених координатах (див. вище параграф "Узагальнені сили”) |виказує| має вигляд

, (2.14)

де (2.15)

Суму елементарних робіт сил інерції на можливому переміщенні сис­теми| можна написати|уявляти| аналогічно (2.14) у вигляді|виді|

, (2.16)

де узагальнені сили інерції відібражають|виказують| формулами:

(2.17)

Підставляючи (2.14) і (2.16) в (2.13), отримаємо|одержуватимемо| запис загального|спільного| рівняння динаміці в узагальнених координатах у вигляді|виді|

(2.18)

Оскільки варіації і між собою незалежні, та рівність (2.18) справедлива тільки у випадку

. (2.19)

Отримана система S рівнянь руху механічної системи. Цими рівняннями можна безпосередньо користуватися при вирішенні завдань динаміки.

Перетворивши в рівняннях (2.19) вирази|вираження| для узагальнених сил інерції |виказува через кінетичну енергію системи, отримаєм| рівняння Лагранжа II роду.

. (2.20)

Перетворимо праву частину цього виразу так, щоб вона містила швидкості точок системи. Відмітимо, що

,

звідки , отже

(2.21)

Тут в цьому виводі перетворення виразу сили інерції (2.20) до вигляду (2.21) здійснене аналогічно перетворенню виразу (2.3) до вигляду (2.5) в попередньому виведенні рівнянь Лагранжа з II закону Ньютона. Підставляючи отримані вирази сил інерції в систему рівнянь (2.19), отримуємо систему S диференціальних рівнянь руху механічної системи в узагальнених координатах або рівняння Лагранжа II роду:

. (2.22)

Важлива перевага цих рівнянь полягає в тому, що їх вигляд і кількість не залежать ні від кількості тіл (або точок), що входять в дану механічну систему, ні від того, як ці тіла рухаються. Число рівнянь дорівнює числу ступенів свободи. Крім того, при ідеальних зв'язках, до правих частин рівнянь входять узагальнені активні сили і, отже, ці рівняння дозволяють заздалегідь виключити з розгляду всі наперед невідомі реакції зв'язків. Основне завдання динаміки механічної системи в узагальнених координатах полягає в тому, щоб, знаючи узагальнені сили Q₁,Q₂,…,Q_S і початкові умови , знайти закон руху механічної системи.