Измерение зависимости координаты сменных грузов от времени

1. Перемещая одну из платформ 8, уменьшить расстояние между платформами на 3 см.

Замечание: все измерения выполняются при максимальном количестве сменных гирь 6, выданных лаборантом.

2. Трижды произвести измерение времени опускания грузов 6 в порядке, описанном в пунктах 2, 3 и 4 предыдущего эксперимента 7.2. Полученные значения t, t' и t'′ записать в таблицу 2.

3. Аналогичные трехкратные измерения провести при других значениях y, сближая каждый раз платформы 8 на ∆y = 3 см. Последнее измерение выполнить при минимальном расстоянии между платформами 8.

Замечание: В случае большого расхождения показаний t, t' и t'′ проанализировать возможность преждевременного срабатывания фотодатчиков (верхнего или нижнего). При необходимости исключить из расчетов явно ошибочное измерение (выброс). Полученные значения t, t' и t'′ занести в таблицу 2.

4. Измерить линейкой радиус оси r (рис. 4) и радиус вращения центров грузов 2 по сантиметровым делениям на стержнях 1 (рис. 3).

8. Оформление отчёта

1. По данным табл. 1, рассчитать среднюю величину < t > , среднеквадратичное отклонение отклонение s_ср.кв., относительную погрешность d_t измерения интервалов времени t. Результаты занести в таблицу 1. Методика и расчетные формулы имеются на стенде в лаборатории.

2. Рассчитать средние значения времени опускания t_ср грузов 6 по результатам измерений t, t' и t'′ для каждого значения y. Записать результаты в таблицу 2.

3. По данным таблицы 2 построить гра­фик зависимости , проведя плавную линию с учетом экспериментальных точек (в том числе и точки y_max из таблицы 1). Правила построения, и оформления графиков приведены на стенде в лаборатории. Выполнить экстраполяцию линии графика (продолжение пунктиром) до точки начала координат. По размеру график должен занимать полную страницу ученической тетради (А5).

4. Провести графическое дифференцирование полученной линии. Для этого необходимо разбить ось времени (абсцисс) на равные интервалы так, чтобы в пределах экспериментальных значений было не менее 10 интервалов. Затем определить по графику соответствующие значения координат y_i для каждого момента времени t_i. Результаты занести в таблицу 3.

5. Рассчитать значения и средние скорости на каждом участке . Результаты записать в таблицу 3.

6. По данным таблицы 3 построить график зависимости для поступательного движения грузов 6. Выполнить экстраполяцию линии графика (продолжение пунктиром) до точки начала координат.

7. Для трех точек графика (двух крайних и средней) провести касательные прямые линии и по их угловым коэффициентам рассчитать ускорения грузов 6 в эти моменты времени (соответствующая методика приведена на стенде в лаборатории). Результаты записать в таблицу 4.

8. Для выбранных в п. 7 моментов времени рассчитать по формулам (12) и (13) значения угловой скорости и углового ускорения шкива 4. По формуле (12) рассчитать скорость грузов 2 в эти моменты времени.

9. По полученным результатам сделать выводы о характере движения грузов: равномерном, равноускоренном или с переменным ускорением.

Таблица 1

Номер измерения	ymax = …….
t, с
< t >, с
rI = ti - < t >
sср.кв.=……., dt=…….

Таблица 2

y, м					…..
t, с					…..
t', с					…..
t'′, с					…..
tср, с					…..

Таблица 3

ti, с				…..
yi, м				…..
, м				…..
, м/с			…..

Таблица 4

T, с
∆υ, м/с
∆t, с
a, м/с2
ω, рад/с
β, рад/с2
υвр, м/с

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА М-10

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ДИНАМИКИ

АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

НА УСТАНОВКЕ « МАЯТНИК МАКСВЕЛЛА»

1. Цель работы

Целью работы является изучение законов динамики абсолютно твердого тела и измерение динамических характеристик тела, совершающего сложное движение.

2. Подготовка к работе

Изучите теоретический материал по лекциям или учебнику [1-3]: модель абсолютно твердого тела, кинематические характеристики движения абсолютно твёрдого тела, уравнения динамики для поступательного и вращательного движения твердого тела, работа и энергия при вращательном движении, законы сохранения. Ознакомьтесь с конструкцией лабораторного стенда и принципом изме­рений по методическому описанию. Ответьте на вопросы из раздела 4 данного описания. Подготовьте конспект для допуска к лабораторной работе и потренируйтесь отвечать на вопросы обучающего и контрольного тестов на CD.

3. Краткая теория

Второй абстракцией (после модели материальной точки), с которой приходится иметь дело в механике, является модель абсолютно твердого тела (АТТ) – тела, деформациями которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Всякое движение АТТ можно разложить на два основных вида движения – поступательное и вращательное. В частности, можно сложное движение АТТ рассматривать как поступательное движение центра масс АТТ и вращательное движение АТТ вокруг оси, проходящей через центр масс. Сам центр масс АТТ движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, под действием всех приложенных к телу сил

. (1)

Динамика вращательного движения АТТ вокруг неподвижной оси (например, оси 0z, проходящей через его центр масс) описывается аналогичным уравнением, которое называется основным уравнением динамики вращательного движения АТТ. В проекции на ось вращения оно имеет вид

, (2)

где I_z - момент инерции АТТ относительно оси вращения 0z, β_z - угловое ускорение вращательного движения АТТ вокруг оси 0z, N_{i,z,внешн} - моменты внешних сил относительно оси вращения. Момент силы относительно оси характеризует способность силы вращать тело вокруг оси. Его можно определить по формуле

, (3)

где R - плечо силы относительно оси 0z (рис. 1), - составляющая силы, направленная по касательной к окружности радиуса R. Если образует с направлением оси z правовинтовую систему, то N_z имеет положительный знак.

Сопоставив формулы и динамические величины вращательного и поступательного движения, приведенные в таблице 1, можно сделать вывод, что во всех случаях наблюдается соответствие между моментом инерции и массой. Поэтому можно сделать заключение, что момент инерции характеризует инертные свойства тела во вращательном движении, роль линейного ускорения выполняет угловое ускорение, роль силы – момент силы.

Таблица 1. Характеристики движения твердого тела

Поступательное движение	Вращательное движение
Масса (инерция) – m	Момент инерции - I
Сила -	Момент силы –
Проекция импульса –	Проекция момента импульса* –
Уравнение динамики (проекция)
Кинетическая энергия
		(4)

* ω_z - угловая скорость вращательного движения АТТ вокруг оси 0z.

Величина момента инерции твердого тела зависит от массы и ее распределения относительно оси вращения. Задача расчета момента инерции сводится к суммированию в случае дискретного распределения массы или к интегрированию при непрерывном распределении массы в объеме V по формулам

или , (5)

где - радиус вращения массы m_i вокруг оси 0z, r - плотность материала, - радиус вращения элемента объема dV, имеющего массу . При расчете моментов инерции тел I_z относительно произвольной оси z используют теорему Штейнера

, (6)

где I_0z – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной заданной оси z, а - расстояние между этими осями. Из формул (5) следует, что момент инерции обладает свойством аддитивности – момент инерции АТТ, состоящего из нескольких частей, равен сумме моментов инерции этих частей. В большинстве случаев формула для расчета момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, имеет вид

, (7)

где - коэффициент, зависящий от формы тела, m - масса тела, R - радиус вращения точки тела, максимально удаленной от оси. Например, для обруча или кольца малой толщины k = 1, для диска k =1/2, для шара k = 2/5.

При записи закона сохранения механической энергии для плоского движения АТТ необходимо учитывать, что его кинетическая энергия слагается из кинетической энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс υ_цм, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс,

. (8)

4. Вопросы для подготовки к допуску к лабораторной работе

1. Поясните модель абсолютно твердого тела.

2. Какова взаимосвязь между линейной и угловой скоростями при движении МТ по окружности?

3. Как определяется положение центра масс (центра инерции) системы МТ?

4. Как движется центр масс изолированной (замкнутой) системы?

5. Какой закон определяет движение центра масс системы под действием внешних сил?

6. Чему равен импульс АТТ в системе центра масс?

7. Опишите сложное движение диска в лабораторной установке как комбинацию поступательного и вращательного движений.

8. Дайте определения кинетической, потенциальной и полной механической энергий. При каких условиях сохраняется полная механическая энергия?

9. Напишите формулу для расчета кинетической энергии АТТ, вращающегося вокруг неподвижной оси.

10. Определите понятия момента силы и момента импульса относительно некоторой оси в пространстве.

11. Запишите основной закон динамики вращательного движения для АТТ с неподвижной осью вращения.

12. Объясните принцип экспериментального определения момента инерции вращающейся системы в данной лабораторной работе.

13. От каких параметров твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, зависит его кинетическая энергия?

14. Запишите закон сохранения полной механической энергии для сплошного цилиндра массой М и радиусом R, скатывающегося без проскальзывания по наклонной плоскости с высоты Н. Потерями энергии пренебречь.

15. Сплошной цилиндр катится без проскальзывания под действием горизонтальной силы, приложенной к его оси. Найти ускорение центра масс цилиндра, если его масса m, радиус R, сила F.

5. Литература

I. Савельев И.В. Курс общей физики. Кн. I. М.: Наука, 1998 г.

2. Савельев И.В. Курс физики. Т. I. М.: Наука, 1989 г.

3. Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 1990 г.

6. Методика проведения эксперимента и описание установки

Схема лабораторного стенда изображена на рис.2. Основным элементом стенда является диск I, через центр которого проходит ось 2. На эту ось наматываются две симметрично расположенные нити З. В исходном положении (показано пунктиром на правой части рис. 2) диск удерживается электромагнитами 4. При отключении электромагнитов диск начинает двигаться вниз с одновременным раскручиванием нитей.

Сложное движение диска можно представить как наложение двух независимых движений - поступательного и вращательного. Расстояние, проходимое центром инерции диска за счёт поступательного движения, отсчитывается по вертикальной шкале 5. Отсчёт времени поступательного движения производится по миллисекундомеру 6, на который подаётся сигнал от фотодатчиков. В тот момент, когда край опускающегося диска пересекает световой луч фотодатчика 7, отсчет времени прекращается. Массу диска можно изменять, добавляя на диск сменные кольца 11 (кольца выдаются лаборантом).

При необходимости изменить общую длину пути, проходимого диском при поступательном движении, регулируют длину нитей при помощи винта 8. При этом платформу 9 с фотодатчиком также соответственно перемещают, освобождая винт 10, так, чтобы опускающийся диск пересекал световой луч в конце пути, но не касался при этом самой платформы фотодатчика.

На диск (в том числе и со сменным кольцом) в процессе движения действуют две внешние силы (рис. 3): сила тяжести и сила натяжения нити F. Поэтому уравнение динамики его поступательного движения (1) запишем в виде

0y: ma_цм = mg – F, (9)

где m - суммарная масса диска, оси диска и сменного кольца (их значения выгравированы на соответствующих поверхностях). Уравнение динамики (2) вращательного движения диска вокруг оси, проходящей через центр масс, примет вид

, (10)

где I – момент инерции диска с осью и сменным кольцом, r – плечо силы натяжения нити относительно оси, проходящей через центр масс системы.

В используемой экспериментальной установке кинематические характеристики поступательного и вращательного движений диска являются взаимозависимыми. Рассмотрим точку касания оси диска к прямому участку нити (точка А на рис. 3). Так как точка А касается неподвижного участка нити, то скорость этой точки тоже равна нулю, т.е. υ_А = 0. С другой стороны, скорость этой же точки, находящейся на поверхности оси диска, можно представить как сумму скорости поступательного движения центра масс диска υ_цм и скорости вращательного движения точки А в системе отсчета, связанной с центром масс, υ_вр= ωr. Т.е.

. (11)

Отсюда следует, что по величине эти скорости равны, т.е. υ_цм= υ_вр или

υ_цм= ωr. (12)

Аналогичное по форме соотношение можно получить и для ускорений

а_цм= βr, (13)

где а_цм – ускорение центра масс диска, β – угловое ускорение диска.

С учетом формулы (13) уравнение динамики (10) можно переписать в виде

и, решая его совместно с (9), получить расчетные формулы для ускорения центра масс и момента инерции системы:

, (14)

. (15)

В правую часть формулы (14) входят только постоянные величины. Поэтому центр масс диска движется равноускоренно по закону

. (16)

Измеряя время опускания диска при различных значениях конечной координаты центра масс, можно получить его закон движения y = y(t) в табличной форме. Построив график зависимости y(t²), можно по его угловому коэффициенту определить ускорение центра масс диска

(17)

и по формуле (15) рассчитать суммарный момент инерции диска с осью и сменным кольцом.

Аддитивность момента инерции позволяет записать момент инерции системы в виде суммы

,

где I_д– момент инерции диска с осью без кольца, I_к – момент инерции сменного кольца. Используя формулу (7), получим

, (18)

где m_k – масса сменного кольца, R – внешний радиус сменного кольца (для всех колец они одинаковые).

7. Порядок выполнения работы