Механические колебания. Определение момента инерции тел методом трифилярного подвеса

Цель работы: ознакомление с трифилярным подвесом и экспериментальное определение с его помощью момента инерции диска, полого цилиндра и прямоугольного бруска.

Приборы и принадлежности: трифилярный подвес, секундомер, рулетка или линейка, штангенциркуль, весы, набор тел.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ И ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Трифилярный подвес (рис.1) состоит из двух цилиндрических дисков разного диаметра, соединенных металлическими нитями длиной l.

Точки крепления нитей на дисках расположены симметрично вдоль обода дисков по вершинам равностороннего треугольника. Верхний диск Q жестко закреплен. Нижний диск P имеет возможность совершать гармонические крутильные колебания. Для этого необходимо его повернуть вокруг вертикальной оси на небольшой угол ( ) и отпустить. Период колебания диска зависит от его момента инерции. Если на диск Р поместить тело, то период колебаний измениться. Это обстоятельство используется для экспериментального определения момента инерции тел.

Введем расчетную формулу для момента инерции. При совершении крутильных колебаний центр тяжести диска Р перемещается вверх и вниз по оси вращения. При закручивании диска на угол центр тяжести поднимается на высоту h (рис.2) и диск приобретает потенциальную энергию.

,

которая через четверть периода Т/4 при прохождении положения равновесия переходит в кинетическую энергию вращения.

.

Пренебрегая диссипацией механической энергии, можно записать

(I)

Здесь m – масса диска, - угловая скорость диска при прохождении положения равновесия, g – ускорение свободного падения.

Найдем и .

Для гармонических крутильных колебаний можно записать

,

где - угловое смещение диска, - амплитуда углового смещения, Т – период колебаний, t – время.

Найдем угловую скорость вращения диска

К моменту времени от начала движения (в момент прохождения положения равновесия) абсолютное значение угловой скорости будет равно

r

(2)

Высоту h найдем из следующих геометрических соотношений (рис.2). При закручивании диска Р на угол точка крепления нити l переходит из положения А в положение А₁. При этом центр тяжести диска поднимается на высоту h=OO₁=CC₁. Из прямоугольных треугольников ABC и A₁BC₁ находим

(3) (4)

где А₁С₁=х, АВ=А₁В=l, ВС=H – расстояния между дисками Q и P в положении равновесия.

Из согласно теореме косинусов можно записать

(5)

т.к. О₁С₁=r, О₁А₁=R.

Решая совместно (3-5) с учетом малости и заменяя , получим

Для малых углов

Таким образом для h получим

(6)

Окончательно для момента инерции (1) находим

(7)

По формуле (7) можно определить момент инерции диска или системы диск + тело, т.к. все величины в правой части (7) могут быть непосредственно измерены.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Опыт 1. Определение момента инерции диска.

1. Измерить несколько раз диаметры дисков Q и P с помощью штангенциркуля, вычислить их среднее значение и найти радиусы дисков R и r.

2. Измерить длину нити l с помощью линейки или рулетки.

3. Измерить при помощи секундомера время (t) n=10-20 полных колебаний диска P и определить период колебаний T=t/n (Измерения повторить 5 раз и вычислить среднее значение периода колебаний).

4. По средним значениям измеренных величин вычислить момент инерции диска I_д по формуле (7).

Опыт 2. Определение момента инерции полого цилиндра.

1. На диск Р поместить полый цилиндр и по аналогии с предыдущим случаем определить период колебаний системы диск + полый цилиндр.

2. По формуле (7) вычислить момент инерции всей системы I_с, принимая массу системы равной сумме масс диска и цилиндра.

3. Величину момента инерции полого цилиндра найти по формуле

I_ц = I_с − I_д

Опыт 3. Определение момента инерции прямоугольного бруска.

Поместите на диск Р прямоугольный брусок и по аналогии с опытом 2 найдите момент инерции бруска I_б.

Результаты измерений и вычислений для всех трех случаев занести в протокол испытаний №1.

Значение масс диска, полого цилиндра и прямоугольного бруска выбиты на телах.

При необходимости произвести взвешивание тел на технических весах. Расчеты можно проводить в единицах СГС (г, см, сек) или СИ (кг, м, с).

Таблица 1

№ опыта	Форма тела	Масса системы	Период колебаний	R	r	l	Момент инерции системы	Момент инерции тела
	Диск
	Диск + цилиндр
	Диск + брусок

СРАВНЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО И ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ЗНАЧЕНИЙ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛ. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ.

1. Измерить с помощью штангенциркуля внутренний и внешний радиусы полого цилиндра R₁, R₂ и длины бруска L. Измерение провести несколько раз и определить среднее значение указанных величин.

2. Вычислить моменты инерции по соответствующим теоретическим формулам:

3. Вычислить относительные погрешности

%

где и соответственно экспериментальное и теоретическое значение момента инерции исследуемых тел.

4. Результаты вычислений занесите в протокол 2.

Протокол 2.

Форма тела	Диск	Полый цилиндр	Брусок
Момент инерции экспериментальный
Момент инерции теоретический
Относительная погрешность

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие колебания называются гармоническими?

2. При каких условиях крутильные колебания будут гармоническими?

3. Что такое момент инерции?

4. Вывести формулы для момента инерции полого цилиндра и прямоугольного бруска.

5. Сохраняется ли механическая энергия при гармонических колебаниях?

Лабораторная работа № 5.