Общие сведения Физические основы эксперимента

Момент инерции тела – это физическая величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении. Для точечного тела массой , вращающегося по окружности радиусом , момент инерции определяется формулой:

. (1)

В соответствие с этим для тела с бесконечно малой массой :

(2)

Момент инерции любого тела можно рассчитать, используя выражение (2). Для этого тело «разбивают» на микрообъемы с массами . Считая каждый из таких микрообъемов точечным телом, находят момент инерции каждого из них по формуле (2) и все суммируют:

(3)

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы относительно оси, проходящей через центр тяжести, определятся:

а) для стержня

. (4)

б) для диска

. (5)

в) для кольца

, (6)

где - масса диска;

- радиус диска;

- масса кольца;

- внутренний радиус кольца;

- внешний радиус кольца;

- масса стержня;

– длина стержня.

Момент инерции тела относительно произвольной оси определяется суммой момента инерции тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела и произведения массы тела на квадрат расстояния между этими осями, согласно теореме Штейнера:

. (7)

Экспериментально момент инерции тела можно определить с помощью крутильного маятника (рисунке 1). Если верхнюю платформу повернуть на малый угол, то нижняя платформа будет совершать крутильные колебания вокруг оси ОО΄.

Пренебрегая силами трения в системе, можно считать постоянной полную механическую энергию. В точке максимального закручивания платформа поднимается на высоту , при этом полная энергия равна потенциальной энергии

,

где -масса платформы.

При прохождении положения равновесия платформа движется с максимальной угловой скоростью , при этом полная энергия равна кинетической

,

где – момент инерции платформы..

По закону сохранения энергии: .

Из этого уравнения получим:

(8)

Так как малые колебания можно считать гармоническими, то колебания нижней платформы проходят по закону:

,

где – максимальный угол поворота;

- период колебаний.

Угловая скорость: .

То есть

. (9)

Из геометрических соображений [1]:

. (10)

Тогда из (8), (9) и (10):

, (11)

где . (12)

Используя формулу (11) можно рассчитать момент инерции, как ненагруженной платформы , так и нагруженной платформы .Пользуясь свойством аддитивности момента инерции, момент инерции тела на платформе рассчитывается как:

. (13)

Порядок выполнения работы и обработка экспериментальных данных

Задание 1. Определение момента инерции тел

1. Занести данные установки ( , , , ) в таблицу 1 и по заданию преподавателя параметры тел (для диска – массу и радиус , для кольца - массу кольца , его внутренний и внешний радиусы, для стержня – массу и длину ) в таблицу 2.

2. Поворотом верхней платформы вывести нижнюю ненагруженную платформу из положения равновесия так, чтобы она совершала крутильные колебания с амплитудой 5-10^°. Измерить время t полных 50 100 колебаний и внести в таблицу 1.

3. Повторить пункт 2 для платформы с телом (стержень, кольцо или диск), помещенным в центр платформы.

4. Вычислить периоды колебаний (ненагруженной платформы), и (ненагруженной платформы) по формуле ,

где n – число колебаний.

5. Рассчитать по формуле (12).

6. Рассчитать момент инерции ненагруженной платформы

7. Рассчитать относительную погрешность измерения момента инерции ненагруженной платформы и записать в таблицу 1.

Так как измерение проводиться однократно, то погрешность определяется исходя из погрешности измерительного прибора. то есть в данном случае секундомера.

8. Вычислить абсолютную погрешность измерения момента инерции ненагруженной платформы и записать в таблицу 1.

9. Рассчитать момент инерции нагруженной платформы по формуле:

где - масса платформы, – масса тела.

10. Рассчитать относительную погрешность измерения момента инерции нагруженной платформы .

11. Вычислить абсолютную погрешность измерения момента инерции нагруженной платформы: _.

12. Пользуясь свойством аддитивности, рассчитать момент инерции тела .

13. Рассчитать абсолютную погрешность измерения момента инерции тела и записать в таблицу 2.

14. Используя формулы (4), (5), (6) рассчитать теоретическое значение момента инерции тела .

15. Рассчитать относительную погрешность определения момента инерции тела по отношению к теоретической по формуле:

16. Результаты занести в таблицу 2.

17. Проанализировать результаты и сделать выводы.

Таблица 1

Параметры установки	n	t,с	,с	, кг∙м2
, м , м , м , кг

Таблица 2

Параметры тел	n	t, с	T1,с	, кг∙м2	, кг∙м2		,%
стержень , м , кг
диск , м , кг
кольцо , м , м , кг

Задание 1а. Определение момента инерции тел

1. Занести данные установки ( , , , ) в таблицу 1а и по заданию преподавателя параметры тела, с которым будет проводится эксперимент (для диска – массу и радиус , для кольца - массу кольца , его внутренний и внешний радиусы, для стержня – массу и длину ), в таблицу 2а.

2. Поворотом верхней платформы вывести нижнюю ненагруженную платформу из положения равновесия так, чтобы она совершала крутильные колебания с амплитудой 5-10^°.

Измерить время полных =10 колебаний ненагруженного маятника =8-10 раз и внести в таблицу 1a.

3. Повторить пункт 2 для платформы с телом (стержень, кольцо или диск), помещенным в центр платформы. Полученные данные занести в таблицу 2а.

4. Для каждого измерения рассчитайте период колебаний = и средние значения периода колебаний ненагруженного и нагруженного маятника . Данные расчетов занесите в таблицы 1а и 2а.

5. По формуле 6 (стр.7) рассчитайте средние квадратические погрешности и определения и . Полученные данные занесите в таблицы 1а и 2а.

6. Рассчитать по формуле (12).

7. Рассчитать и занести в таблицу 1а среднее значение момента инерции ненагруженной платформы:

8. Рассчитать и занести в таблицу 2а среднее значение момента инерции нагруженной платформы:

где - масса платформы, – масса тела.

9. Пользуясь свойством аддитивности, рассчитать момент инерции тела и занести его в таблицу 2а.

10. По формуле найдите среднюю квадратическую ошибку определения .

11. Используя формулу (8) на стр.8 рассчитайте доверительный интервал определения .

12. Окончательный результат экспериментального определения момента инерции тел запишите в виде: .

13. Рассчитайте теоретическое значение момента инерции исследуемого тела по одной из формул (4), (5), (6) и сравните его с экспериментальным.

14. Проанализируйте полученные результаты и сделайте выводы.

Таблица 1а

Ненагруженный маятник

Параметры установки	n	t, с	, с	, с	, кг∙м2
, м , м , м , кг
...

Таблица 2а

Нагруженный маятник

Параметры тел	n	t,с	,с	, с	, кг∙м2	, кг∙м2
стержень , м , кг
диск , м , кг	. .
кольцо , м , м , кг

Задание 2. Проверка свойства аддитивности момента инерции

1. Записать в таблицу 3 массу платформы , массу кольца и параметры установки.

2. Установить одно кольцо в центре платформы и измерить время 50 100 полных колебаний. Занести результат в таблицу 3.

3. Вычислить период колебания по формуле ,

где n – число колебаний.

4. Пункты 1-3 повторить для двух и трех колец, одновременно установленных в центре платформы.

5. Рассчитать по формуле (12)

6. Рассчитать моменты инерции нагруженной платформы по формуле

,

где - количество колец ( 1, 2, 3), установленных на платформе. Полученные данные занести в таблицу 3.

7. Построить график зависимости (рисунке 2). Продолжив график до пересечения с осью , найти момент инерции ненагруженной платформы . Определить по графику , , .

8. Все результаты занести в таблицу 3.

9. Проанализировать результаты расчетов и сделать выводы.

Рис.2.

Таблица 3

Параметры кольца и установки	кол-во ко-лец	n	t, с	,с	, кг∙м2	, кг∙м2
L, м R, м r, м mo, кг Dк , м dк, м , кг

Задание 3. Исследование зависимости момента инерции тела от расстояния между его центром инерции и осью вращения (проверка теоремы Штейнера)

1. Определить момент инерции ненагруженной платформы, выполнив пункты 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 задания 1.

2. Измерить параметры тел, с которыми будет производиться эксперимент (по указанию преподавателя ). Для дисков – массу и радиус , для стержней – массу и длину . Занести данные в таблицу 4.

3. Поместить тела симметрично относительно центра платформы на минимальное расстоянии . Занести значения в таблицу 4.

4. Измерить время 10 50 полных колебаний и занести в таблицу 4.

5. Последовательно увеличивая расстояние , для каждого из них выполнить пункт 4. Занести данные в таблицу 4.

6. Для каждого вычислить периоды колебаний по формуле

.

7. Рассчитать моменты инерции нагруженной платформы по формуле для каждого случая

,

где - количество тел, расположенных на платформе;

- масса платформы;

– масса тела.

8. Пользуясь свойством аддитивности, рассчитать для каждого момент инерции тел: . Занести данные в табл. 4.

9. Построить графики зависимости (a), (a²).

10. Проанализировать полученные данные и сделать выводы по работе.

Таблица 4

Параметры тел	а, м	n	t, с	T, с	, кг∙м2	, кг∙м2
стержень , м , кг диск , м , кг
. . .

Вопросы для контроля

1.Что такое момент инерции тела? В чем состоит смысл этой физической характеристики?

2.Как вычисляется момент инерции тела относительно точки и относительно оси?

3.Сформулируйте теорему Штейнера. В каком случае ее применяют?

4. Каков характер зависимости момента инерции от расстояния, на котором находится тело от оси вращения?

5.Как экспериментально определяется момент инерции тела в данной лабораторной работе?

6.Какие законы сохранения применяются для вывода расчетных формул?

Библиографический список

1.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.1. . «М.: ФИЗМАТЛИТ МФТИ», 2002. 560 с. §42.

2.Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. М. «Наука», 1989. 416 с. §31, 32.

3.Трофимова Т.И. Курс физики. М. «Высшая школа», 1997. 542 с.§16.