Править]Современная формулировка

Материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению:

Закон отражает принцип парного взаимодействия. То есть все силы в природе рождаются парами.

Ма́сса (от греч. μάζα) — скалярная физическая величина, одна из важнейших величин в физике. Первоначально (XVII—XIX века) она характеризовала «количество вещества» в физическом объекте, от которого, по представлениям того времени, зависели как способность объекта сопротивляться приложенной силе (инертность), так и гравитационные свойства — вес. Тесно связана с понятиями «энергия» и «импульс» (по современным представлениям — масса эквивалентна энергии покоя).

В современной физике понятие «количество вещества» имеет другой смысл, а концепцию «массы» можно трактовать несколькими способами:

· Пассивная гравитационная масса показывает, с какой силой тело взаимодействует с внешними гравитационными полями — фактически эта масса положена в основу измерения массы взвешиванием в современной метрологии.

· Активная гравитационная масса показывает, какое гравитационное поле создаёт само это тело — гравитационные массы фигурируют в законе всемирного тяготения.

· Инертная масса характеризует инертность тел и фигурирует в одной из формулировок второго закона Ньютона. Если произвольная сила в инерциальной системе отсчёта одинаково ускоряет разные исходно неподвижные тела, этим телам приписывают одинаковую инертную массу.

Гравитационная и инертная массы равны друг другу (с высокой точностью — порядка 10⁻¹³ — экспериментально^[1][2], а в большинстве физических теорий, в том числе всех, подтверждённых экспериментально — точно), поэтому в том случае, когда речь идёт не о «новой физике», просто говорят о массе, не уточняя, какую из них имеют в виду.

В классической механике масса системы тел равна сумме масс составляющих её тел. В релятивистской механике масса не является аддитивной физической величиной, то есть масса системы в общем случае не равна сумме масс компонентов, а включает в себя энергию связи, а также энергию движения частиц друг относительно друга^[3].

И́мпульс (Количество движения) — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этого тела на его скорость v, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

.

Си́ла — векторная физическая величина, являющаяся мерой интенсивности воздействия на данное тело других тел, а также полей. Приложенная к массивному телу сила является причиной изменения его скорости или возникновения в нёмдеформаций.^[1]

Сила как векторная величина характеризуется модулем, направлением и «точкой» приложения силы. Последним параметром понятие о силе, как векторе в физике, отличается от понятия о векторе в векторной алгебре, где равные по модулю и направлению векторы, независимо от точки их приложения, считаются одним и тем же вектором . В физике эти векторы называются свободными векторами. В механике чрезвычайно распространено представление о связанных векторах, начало которых закреплено в определённой точке пространства или же может находиться на линии, продолжающей направление вектора (скользящие векторы).^[2].

Также используется понятие линия действия силы, обозначающее проходящую через точку приложения силы прямую, по которой направлена сила.

Второй закон Ньютона гласит, что в инерциальных системах отсчета ускорение материальной точки по направлению совпадает с приложенной силой, а по модулю прямо пропорционально модулю силы и обратно пропорционально массе материальной точки. Или, что эквивалентно, в инерциальных системах отсчета скорость изменения импульса материальной точки равна приложенной силе.

При приложении силы к телу конечных размеров в нём возникают механические напряжения, сопровождающиеся деформациями.^[3][4][5][6]

С точки зрения Стандартной модели физики элементарных частиц фундаментальные взаимодействия (гравитационное, слабое, электромагнитное, сильное) осуществляются посредством обмена так называемыми калибровочными бозонами.^[3] Эксперименты по физике высоких энергий, проведённые в 70−80-х гг. XX в. подтвердили предположение о том, что слабое и электромагнитное взаимодействия являются проявлениями более фундаментального электрослабого взаимодействия.^[7]

Размерность силы — LMT⁻², единицей измерения в Международной системе единиц (СИ) является ньютон (N, Н), в системе СГС — дина.

БИЛЕТ 7

Влияние гравитационного поля на движение частиц в ньютоновской механике хорошо изучено. Уравнение движения частицы представляет собой уравнение в левой части которого стоит ускорение пробной частицы умноженное на массу частицы (в данном случае это инертная масса), в правой части уравнения стоит гравитационная сила. Гравитационная сила, в свою очередь, представляет из себя произведение массы пробной частицы (в данном случае - гравитационной массы) на ускорение со стороны тяготеющего тела:

Поскольку инертная масса тела равна его гравитационной массе (это формулировка принципа эквивалентности, многократно проверенного экспериментально), то движение пробной частицы не зависит от массы этой частицы - перо птицы и кирпич падают в гравитационном поле с одинаковым ускорением (конечно, если пренебречь сопротивлением воздуха).

В общей теории относительности роль гравитационной силы играет кривизна пространства - времени. Движение в гравитационном поле - это движение в искривленном пространстве, отклонение от движения по прямой линии - это отклонение в движении возникающее в искривленном пространстве времени.

Вспомним вначале уравнения движения в специальной теории относительности.

БИЛЕТ 8

Сила упругости

Вид деформации	Признаки
Растяжения	увеличивается расстояние между молекулярными слоями.
Сжатия	уменьшается расстояние между молекулярными слоями.
Кручения	поворот одних молекулярных слоев относительно других.
Изгиба	одни молекулярные слои растягиваются, а другие сжимаются или растягиваются, но меньше первых.
Сдвига	одни слои молекул сдвигаются относительно других.
Упругая	после прекращения воздействия тело полностью восстанавливает первоначальную форму и размеры.
Пластичная	после прекращения воздействия тело не восстанавливает первоначальную форму или размеры.

Δl=|l−l0| ,

где Δl – абсолютное удлинение (м); l и l₀ – конечная и начальная длина тела (м).

§ Если тело растягивают, то l > l₀ и Δl = l – l₀;

§ если тело сжимают, то l < l₀ и Δl = –(l – l₀) = l₀ – l.

ε=Δll0 или ε=Δll0⋅100 ,

где ε – относительное удлинение тела (%); Δl – абсолютное удлинение тела (м); l₀ –начальная длина тела (м).

σ=FuprS ,

где σ – механическое напряжение в деформированном теле (Па); F_upr – модуль силы упругости, возникающей в теле при деформации (Н); S – площадь поперечного сечения тела (м²).

σ=Eε ,

где σ – механическое напряжение (Па); Е – модуль Юнга (модуль упругости), табличная величина (Па); ε – относительное удлинение (%).

Fupr=kΔl ,

где F_upr – модуль силы упругости, возникающей в теле при деформации (Н); k – коэффициент жесткости (жесткость) тела (Н/м); Δl – абсолютное удлинение тела (м).

σpr=FmaxS ,

где σ_pr – предел прочности (Па); F_max – максимальная сила, которую может выдержать тело, не разрушаясь (Н); S – площадь поперечного сечения тела (м²).

§ При одномерных (линейных) деформациях растяжения или сжатия силы упругости направлены вдоль линии действия внешней (деформирующей) силы, т.е. вдоль осей продольно деформируемых нитей, витых пружин, стержней и т.п., или перпендикулярно к поверхностям соприкасающихся тел.

§ Функция вида у = k·х – линейная, график такой функции прямая линия, проходящая через начало координат. Уравнение зависимости силы упругости, возникающей в деформированной пружине, от ее удлинения F_upr = k·Δl. Это так же линейная функция, проходящая через начало координат. Для построения такой прямой достаточно одной точки.

§ Если ось 0Х направить вдоль тела в сторону его растяжения, начало отсчета выбрать в точке, совпадающей с концом недеформированного тела (рис. 1), то закон Гука можно записать так:

(Fupr)x=−k⋅x ,

где (F_upr)_x – проекция сила упругости на ось 0Х (Н); х – координата конца тела.

§ Знак «–» указывает, что сила упругости всегда противоположна по направлению абсолютному удлинению.

Рис. 1

Всемирное тяготение

F=G⋅m1m2r2 ,

где F – сила всемирного тяготения (Н); G – гравитационная постоянная, равная 6,67·10^-11 Н·м²/кг² ; m₁ и m₂ – массы взаимодействующих тел (кг); r – расстояние между телами (м).

§ Математические правила

х·10^a · y·10^b = x·y·10^a+b; х·10^a / (y·10^b) = x/y·10^a-b ; (x·10^a)ⁿ = xⁿ·10^an.

Например: 1,2·10^-11·(5·10¹⁰)² / (4·10¹⁵) = 1,2·(5)²/4 ·10^{-11 + 10·2 – 15} = 7,5·10^-6.

Ft=mgpl ,

где F_t – сила тяжести (Н); g_pl – ускорение свободного падения планеты, табличная величина (м/с²); m – масса тела (кг).

§ g ≈ 9,81 м/с² – ускорение свободного падения у поверхности Земли.

Ft=G⋅Mplmr2 ,

где F_t – сила тяжести (сила притяжения) на планете (Н); G – гравитационная постоянная, равная 6,67·10^-11 Н·м²/кг² ; M_pl – масса планеты, табличная величина (кг); m – масса тела (кг); r = R_pl + h – расстояние от центра планеты до тела (м); R_pl – радиус планеты, табличная величина (м); h – высота тела над поверхностью планеты (м) (рис. 2).

Рис. 2

gpl=G⋅Mplr2 ,

где g_pl – ускорение свободного падения планеты, табличная величина (м/с²); G – гравитационная постоянная, равная 6,67·10^-11 Н·м²/кг² ; M_pl – масса планеты, табличная величина (кг); r = R_pl + h – расстояние от центра планеты до тела (м); R_pl – радиус планеты, табличная величина (м); h – высота тела над поверхностью планеты (м) (рис. 2).

§ Вес Р – это сила, с которой тело, вследствие земного притяжения действует на опору или подвес, неподвижные относительно него.

Примеры направления силы Р показаны на рис. 3 а-г.

а

б

в

г

Рис. 3

Py=m⋅(gy−ay) ,

где Р_y – проекция веса тела на ось 0Y (Н); m – масса тела (кг); a_y – проекция ускорения тела на ось 0Y (м/с²); g_y – проекция ускорение свободного падения на ось 0Y (м/с²).

§ Если направить ось 0Y вниз, то вес тела будет равен:

а) P = m·(g – a) (рис. 4 а),

б) P = m·(g + a) (рис. 4 б),

в) –P = m·(g – a) (рис. 4 в), P = m·(a – g).

§ Если направить ось 0Y вверх, то вес тела будет равен:

г) P = m·(a – g) (рис. 4 г).

а

б

в

г

Рис. 4

§ При прямолинейном движении:

– направления ускорения и скорости совпадают если значение скорости увеличивается;

– ускорение и скорость направлены в противоположные стороны, если значение скорости уменьшается.

§ При движении по окружности центростремительное ускорение направлено к центру окружности и равно ac=υ2R .

υ=G⋅Mplr−−−−−−√ ,

где υ – скорость ИС (м/с), G – гравитационная постоянная, равная 6,67·10^-11 Н·м²/кг² ; M_pl – масса планеты, табличная величина (кг); r = R_pl + h – расстояние от центра планеты до ИС (м); R_pl – радиус планеты, табличная величина (м); h – высота ИС над поверхностью планеты (м) (рис. 2).

§ Первая космическая скорость для данной планеты – это скорость, которую нужно сообщить спутнику, чтобы он двигался по круговой орбите вблизи поверхности планеты.

Сила трения

F_tr = F_{tr p} = F, если F ≤ F_{tr sk};

F_tr = F_{tr sk}, если F > F_{tr sk} ,

где F_tr – сила трения (Н); F_{tr p} – сила трения покоя (Н); F – сила, действующая на тело (рис. 5) (Н), F_{tr sk} – сила трения скольжения (Н).

Рис. 5

Ftrsk=μN ,

где F_{tr sk} – сила трения скольжения (Н); μ – коэффициент трения скольжения, табличная величина; N = P = F_davl – сила реакции опоры (Н); Р – вес тела (Н); F_davl – сила нормального давления (Н).

§ Уравнение второго закона Ньютона в векторной форме имеет вид ma⃗ =F⃗ 1+F⃗ 2+F⃗ 3+…

§ Проекция вектора

– положительна, если составляющая вектора на данную ось направлена вдоль этой оси;

– отрицательна – если против оси;

– равна нулю – если вектор перпендикулярен оси.

§ При изображении сил, не забывайте, что равнодействующая сил должна быть направлена в сторону ускорения.

Движение под действием нескольких сил

§ Задачи, в которых на тело действуют несколько сил, решайте, придерживаясь следующего плана решения задач:

1. Сделайте чертеж. Укажите все действующие на тело силы, укажите направления скорости и ускорения. Изобразите оси координат.

2. Запишите второй закон Ньютона в векторном виде и в проекциях на оси координат:

ma⃗ =F⃗ 1+F⃗ 2+F⃗ 3+… ,

OX

max=F1x+F2x+F3x+…

,

OY

may=F1y+F2y+F3y+…

Определите значения проекций всех величин.

3. Решите полученные уравнения. При необходимости, исходя из физической природы, выразите силы через величины, от которых они зависят.

§ Если тело материальная точка, то его можно изобразить в виде прямоугольника или окружности, а все силы – выходящими из его центра;

§ если тело нельзя представить в виде материальной точки, то изображайте его, сохраняя форму, а силы изображайте с учетом точек их приложения.

§ При решении задач на движение тел под действием силы трения, часто необходимо использовать кинематические формулы.

§ При прямолинейном движении ускорение при торможении направлено против скорости;

§ при остановке конечная скорость равна нулю.

§ При равномерном движении по окружности тело движется с центростремительным ускорением, направленным к центру окружности и равным ac=υ2R=ω2R .

§ Если в условии задачи говорится о системе материальных тел, то необходимо записывать уравнение второго закона Ньютона для каждого тела системы в отдельности.

§ Можно выбирать разные системы координат для разных тел.

§ Систему, изображенную на рис. 6 а, называют коническим маятником; на рис. 6 б – математическим маятником

а б

Рис. 6

§ Скорость конического маятника не меняется по величине, поэтому ускорение груза равно центростремительному ускорению, направленному к центру окружности.

§ Скорость математического маятника изменяется по величине, поэтому ускорение груза a=a2c+a2τ−−−−−−√ , где а_c – центростремительное ускорение, направленное к центру окружности (вдоль подвеса); а_τ – тангенциальное ускорение, направленное также как и скорость (по касательной), если скорость увеличивается, и в противоположную сторону, если скорость уменьшается.

§ Если тело находится в системе, которая движется с ускорением, то можно применять несколько способ решения задач:

1 способ. Второй закон Ньютона записать в следующем виде

ma⃗ t=F⃗ 1+F⃗ 2+…

, где a⃗ t=a⃗ c+a⃗ t/c – ускорение тела относительно неподвижной системы (Земли), a⃗ c – ускорение системы, в которой находится тело, a⃗ t/c – ускорение тела относительно движущейся системы.

2 способ. Перейти в НИСО, тогда второй закон Ньютона будет иметь вид ma⃗ t/c=F⃗ in+F⃗ 1+F⃗ 2+… , где a⃗ t/c – ускорение тела относительно движущейся системы, F⃗ in – сила инерции, которая направлена против ускорения системы а_c, а по величине равна F_in = m∙а_c, a⃗ c – ускорение системы.

Билет 9

ако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел (или частиц) замкнутой системы есть величина постоянная.

В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.

Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса описывает одну из фундаментальных симметрий, — однородность пространства.

ассмотрим второй закон Ньютона

Перепишем его для системы из N частиц:

где суммирование идет по всем силам, действующим на n-ю частицу со стороны m-ой. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида и будут равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть Тогда после подстановки полученного результата в выражение (1) правая часть будет равна нулю, то есть:

или

Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:

(постоянный вектор).

То есть суммарный импульс системы частиц есть величина постоянная. Нетрудно получить аналогичное выражение для одной частицы.

Следует учесть, что вышеприведенные рассуждения справедливы лишь для замкнутой системы.

Также стоит подчеркнуть, что изменение импульса зависит не только от действующей на тело силы, но и от продолжительности её действия.

Билет 10

Систе́ма це́нтра масс (систе́ма це́нтра ине́рции) — невращающаяся система отсчёта, связанная с центром масс механической системы. Обычно сокращается как с. ц. м. или с. ц. и. Суммарный импульс системы в с.ц.м. равен нулю. Для замкнутой системы её система центра масс инерциальна, тогда как незамкнутая система в общем случае может обладать неинерциальной системой центра масс. Суммарная кинетическая энергия механической системы в с.ц.м. минимальна среди всех систем отсчёта; в любой другой невращающейся (не обязательно инерциальной) системе отсчёта кинетическая энергия равна кинетической энергии в с.ц.м. плюс кинетическая энергия движения механической системы как целого (MV²/2, где М — полная масса механической системы, V — относительная скорость движения систем отсчёта).

При рассмотрении задач рассеяния частиц термин «система центра масс» употребляется как антоним термина «лабораторная система отсчёта».

Если экспериментальные исследования проводятся в лабораторной системе, то есть в системе, связанной с наблюдателем (неподвижным относительно частицы-мишени), то теоретическое рассмотрение задач рассеяния удобно проводить в движущейся относительно мишени системе центра масс. При переходе от лабораторной системы в систему центра масс меняются определения углов рассеяния частиц, так что для сравнения теории с экспериментом необходимо проводить перерасчёт полученных сечений рассеяния.

Например, при изучении столкновения двух одинаковых частиц, одна из частиц (мишень) до столкновения остается неподвижной, вторая налетает с некоторой конечной скоростью. При упругом лобовом столкновении вторая частица останавливается, передавая всю свою кинетическую энергию и импульс первой частице. Такая картина наблюдается в лабораторной системе отсчета. С точки зрения системы центра масс, частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями и после столкновения разлетаются в обе стороны с теми же (с точностью до знака) скоростями.

В нерелятивистском пределе координаты центра масс системы из n частиц, имеющих массы и (в некоторой системе отсчёта К) радиус-векторы :

(М — масса всей системы тел). Продифференцировав по времени, получим скорость движения центра масс

( — импульсы частиц), которую можно использовать для перехода от данной системы отсчёта К к системе центра масс, вычисляя скорости и радиус-векторы частиц в ней по формулам:

В релятивистском случае центр масс не является лоренц-инвариантом, однако система центра масс определяется и играет важную роль в релятивистской кинематике. Систему центра масс в релятивистском случае следует определять как систему отсчёта, в которой сумма импульсов всех тел системы равна нулю.

Билет 11

Работа силы. Мощность

Работа силы. МощностьРабота. По определению работой постоянной силы F, совершаемой при перемещении тела на величину s, называется величина

(14.1)

где a - угол между векторами F и s. Если воспользоваться понятием скалярного произведения двух векторов, то выражение для работы можно записать в виде:

Работа измеряется в джоулях (Дж): [A] = Дж = Н·м.

Следует обратить внимание на то, что механическая работа совершается только тогда, когда тело движется (просто прикладывая силу к тяжелому телу и пытаясь сдвинуть его с места, вы не совершаете механической работы, хотя и тратите мускульную энергию). Во-вторых, величина работы зависит от угла между векторами F и s.

Если на тело действуют несколько сил, то полная работа, совершенная этими силами, равна сумме работ, совершенных каждой силой в отдельности. Это следует из принципа суперпозиции сил.

Мощность. Пусть сила F, действуя в течение промежутка времени Dt, совершает работу DA. Средняя мощность N определяется как отношение величины работы к промежутку времени, за который она была совершена:

(14.2)

Кинети́ческая эне́ргия — энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения. Рассмотрим систему, состоящую из одной частицы, и запишем второй закон Ньютона:

— есть результирующая всех сил, действующих на тело. Скалярно умножим уравнение на перемещение частицы . Учитывая, что , Получим:

Если система замкнута, то есть , то , а величина

остаётся постоянной. Эта величина называется кинетической энергией частицы. Если система изолирована, то кинетическая энергия является интегралом движения.

Для абсолютно твёрдого тела полную кинетическую энергию можно записать в виде суммы кинетической энергии поступательного и вращательного движения:

где:

— масса тела

— скорость центра масс тела

— момент инерции тела

— угловая скорость тела.

Билет 12

В физике консервати́вные си́лы (потенциальные силы) — силы, работа которых не зависит от формы траектории (зависит только от начальной и конечной точки приложения сил)^[1]. Отсюда следует определение: консервативные силы — такие силы, работа которых по любойзамкнутой траектории равна 0.

Если в системе действуют только консервативные силы, то механическая энергия системы сохраняется.

Для консервативных сил выполняются следующие тождества:

— ротор консервативных сил равен 0;

— работа консервативных сил по произвольному замкнутому контуру равна 0;

— консервативная сила является градиентом некой скалярной функции , называемой силовой. Эта функция равна потенциальной энергии взятой с обратным знаком. Соответственно, и связаны соотношением

Таким образом, потенциальная сила всегда направлена против направления возрастания потенциальной энергии.

В школьной программе по физике силы разделяют на консервативные и неконсервативные. Примерами консервативных сил являются: сила тяжести, сила упругости, сила кулоновского (электростатического) взаимодействия. Примерами неконсервативных сил являются сила трения и сила сопротивления среды.

В теоретической физике выделяют только четыре типа сил, каждая из которых является консервативной (см. Фундаментальные взаимодействия).

Потенциальная энергия — скалярная физическая величина, характеризующая способность некого тела (или материальной точки) совершать работу за счет своего нахождения в поле действия сил. Другое определение: потенциальная энергия — это функция координат, являющаяся слагаемым в лагранжиане системы, и описывающая взаимодействие элементов системы^[1]. Термин «потенциальная энергия» был введен в XIX веке шотландским инженером и физиком Уильямом Ренкином.

Единицей измерения энергии в СИ является Джоуль.

Потенциальная энергия принимается равной нулю для некоторой конфигурации тел в пространстве, выбор которой определяется удобством дальнейших вычислений. Процесс выбора данной конфигурации называется нормировкой потенциальной энергии.

Корректное определение потенциальной энергии может быть дано только в поле сил, работа которых зависит только от начального и конечного положения тела, но не от траектории его перемещения. Такие силы называются консервативными.

Также потенциальная энергия является характеристикой взаимодействия нескольких тел или тела и поля.

Любая физическая система стремится к состоянию с наименьшей потенциальной энергией.

Потенциальная энергия упругой деформации характеризует взаимодействие между собой частей тела

отенциальная энергия в поле тяготения Земли вблизи поверхности приближённо выражается формулой:

где — масса тела, — ускорение свободного падения, — высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем

Билет 13

Зако́н сохране́ния эне́ргии — фундаментальный закон природы, установленный эмпирически и заключающийся в том, что для изолированной физической системы может быть введена скалярная физическая величина, являющаяся функцией параметров системы и называемая энергией, которая сохраняется с течением времени. Поскольку закон сохранения энергии относится не к конкретным величинам и явлениям, а отражает общую, применимую везде и всегда, закономерность, то его можно именовать не законом, а принципомсохранения энергии.

С фундаментальной точки зрения, согласно теореме Нётер, закон сохранения энергии является следствием однородности времени, то есть независимостью законов физики от момента времени, в который рассматривается система. В этом смысле закон сохранения энергии является универсальным, то есть присущим системам самой разной физической природы. При этом выполнение этого закона сохранения в каждой конкретно взятой системе обосновывается подчинением этой системы своим специфическим законам динамики, вообще говоря различающимся для разных систем.

В различных разделах физики по историческим причинам закон сохранения энергии формулировался независимо, в связи с чем были введены различные виды энергии. Говорят, что возможен переход энергии одного типа в другой, но полная энергия системы, равная сумме отдельных видов энергий, сохраняется. Ввиду условности деления энергии на различные виды, такое деление не всегда может быть произведено однозначно.

Для каждого вида энергии закон сохранения может иметь свою, отличающуюся от универсальной, формулировку. Например, в классической механике был сформулирован закон сохранения механической энергии, в термодинамике — первое начало термодинамики, а вэлектродинамике — теорема Пойнтинга.

С математической точки зрения закон сохранения энергии эквивалентен утверждению, что система дифференциальных уравнений, описывающая динамику данной физической системы, обладает первым интегралом движения, связанным с симметричностью уравнений относительно сдвига во времени.

Фундаментальный смысл закона сохранения энергии раскрывается теоремой Нётер. Согласно этой теореме каждый закон сохранения однозначно соответствует той или иной симметрииуравнений, описывающих физическую систему. В частности, закон сохранения энергии эквивалентен однородности времени, то есть независимости всех законов, описывающих систему, от момента времени, в который система рассматривается.

Вывод этого утверждения может быть произведён, например, на основе лагранжева формализма^[1]. Если время однородно, то функция Лагранжа, описывающая систему, не зависит явно от времени, поэтому полная её производная по времени имеет вид:

Здесь — функция Лагранжа, — обобщённые координаты и их первые и вторые производные по времени соответственно. Воспользовавшись уравнениями Лагранжа, заменим производные на выражение :

Перепишем последнее выражение в виде

Сумма, стоящая в скобках, по определению называется энергией системы и в силу равенства нулю полной производной от неё по времени она является интегралом движения (то есть сохраняется).

Билет 14

Сила трения скольжения — силы, возникающие между соприкасающимися телами при их относительном движении. Если между телами отсутствует жидкая или газообразная прослойка (смазка), то такое трение называется сухим. В противном случае, трение называется «жидким». Характерной отличительной чертой сухого трения является наличие трения покоя.

Опытным путём установлено, что сила трения зависит от силы давления тел друг на друга (силы реакции опоры), от материалов трущихся поверхностей, от скорости относительного движения и не зависит от площади соприкосновения. (Это можно объяснить тем, что никакое тело не является абсолютно ровным. Поэтому истинная площадь соприкосновения гораздо меньше наблюдаемой. Кроме того, увеличивая площадь, мы уменьшаем удельное давление тел друг на друга.) Величина, характеризующая трущиеся поверхности, называетсякоэффициентом трения, и обозначается чаще всего латинской буквой «k» или греческой буквой «μ». Она зависит от природы и качества обработки трущихся поверхностей. Кроме того, коэффициент трения зависит от скорости. Впрочем, чаще всего эта зависимость выражена слабо, и если большая точность измерений не требуется, то «k» можно считать постоянным.

В первом приближении величина силы трения скольжения может быть рассчитана по формуле:

, где

— коэффициент трения скольжения,

— сила нормальной реакции опоры.

Билет 15

В системе, в которой действуют также неконсервативные силы, например силы трения, полная механическая энергия системы не сохраняется. Следовательно, в этих случаях закон сохранения механической энергии несправедлив. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом и заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии — сущность неуничтожимости материи и ее движения.