Коэффициенты переноса для идеального газа

Диффузия

Пусть в газе имеется неравномерное распределение концентри-ческих частиц n = n(x) (рис. 11.3.1). Тогда вследствие хаотичности дви-жения молекул будет происходить выравнивание концентрации по объему. Согласно упрощенным представлениям, количество молекул, переходящих через площадку за время dt из одного слоя в другой равно

n
n1				n(x)
n(x)
n2				dS
	x −			x
λ	x +λ
				Рис. 11.3.1

dN =¹₆ n υ dSdt . (11.3.1)

Число молекул пер-вой компоненты, проле-тающих через площадку dS за время dt в направлении оси Ox равно dN₁ , а число молекул, пролетающих в

x противоположном направ-лении − dN₂ . Разность этих чисел дает поток молекул через площадку dS

dN = dN1− dN2.					(11.3.2)
Согласно формуле (11.3.1), dN =	1 n	υ dSdt , а dN		=	1 n υ dSdt .
Таким образом,
dN =1	υ dSdt (n − n	).				(11.3.3)

Через поверхность dS будут пролетать молекулы, претерпевшие последнее соударение на расстоянии от площадки, равном средней длине свободного пробега. Поэтому n₁ и n ₂ разумно представить как

n = n ( x − λ)= n (x)− dn λ	и	n = n ( x +λ)= n (x)+ dn	λ. (11.3.4)
			dx				dx
n − n	= n	( x − λ )	− n ( x +λ ) = − dn 2λ ,	(11.3.5)
							dx
dN = −		υ dS dn 2λ dt = − 1	υ λ dn dSdt .	(11.3.6)
			dx				dx
Умножим уравнение (11.3.6) на массу одной молекулы m0
dNm = − 1 υ λ d (nm0 ) dSdt .	(11.3.7)
					dx
Учитывая, что dm = dNm0 , а ρ = nm0 окончательно получим
		dm = −1	υ λ dρ dSdt .		(11.3.8)
					dx
Сопоставление с формулой (11.1.1) дает для коэффициента
диффузии следующее выражение
			D =		υ λ.			(11.3.9)

Внутреннее трение

Рассмотрим газ, у которого слои движутся с различными скоро-стями. Каждая молекула участвует в двух движениях: хаотическом теп-ловом, средняя скорость которого равна 〈υ〉 и упорядоченном движении со скоростью u, которая много меньше средней скорости. Пусть различ-ные слои газа имеют разную скорость упорядоченного движения и = и(х) (рис. 11.3.2). В этом случае при переходе молекул из одного слоя в

u								другой они	будут	переносить
u1								различные	значения	импульса
							т0 и,соответствующего направ-
u(x)								ленному движению слоев газа.
							Попав в другой слой, молекула
u2								претерпевает соударения с мо-
				dS			лекулами этого слоя. В резуль-
							тате соударений она либо отдает
								избыток своего импульса дру-
	x −			x				x гим молекулам,либо увеличи-
λ		x +λ
				Рис. 11.3.2				вает свой импульс за счет дру-
							гих молекул. В итоге импульс

более быстро движущегося слоя убывает, а более медленно движущегося − возрастает. Таким образом, слои ведут себя так, как если бы к первому слою (скорость которого больше) была приложена тормозящая его движение сила, а ко второму слою (скорость которого меньше) − такая же по величине ускоряющая его движение сила.

Импульс, переносимый молекулами за время dt в направлении оси Ох будет равен dp₁ = m₀ dN₁ u₁ , а в противоположном направлении

dp₂= m₀ dN₂ u₂.

Результирующий импульс, переносимый молекулами за время

dt,будет равен
dp = dp1− dp2= m0(u1 dN1− u2 dN2).	(11.3.10)

Если учесть, что поток частиц в обе стороны приблизительно одинаковый dN₁ ≅ dN₂ = dN, получим

dp = m0 dN (u1− u2).

(11.3.11)

С учетом формулы (11.3.1) импульс, переносимый молекулами за время dt

p =	1 n υ dSm	( u −u		)dt .	(11.3.12)

Так как в среднем, последнее соударение происходит на рас-стоянии, равном длине свободного пробега молекулы. Поэтому моле-кулам, летящим в направлении оси Ох, припишем значение скорости u₁= u(x −λ),а молекулам,летящим в противоположном направлении,− значение скорости u₂ = u(x + λ).

Учитывая, что υ₁ − υ ₂ = υ ( x − λ ) − υ ( x +λ ) = − ^d_dx^υ 2λ , и приняв во внимание, что nm₀ = ρ − плотность газа, получим

dp =	1 n υ dSm	[ u	− u	]= − 1	υ ρdS du 2λdt = − 1	υ λρdυdSdt . (11.3.12)
						dx		dx
	Сравнивая полученную формулу с соотношением (11.1.3) полу-
чим выражение для коэффициента динамической вязкости
						η= 1 υ λρ.		(11.3.13)

Теплопроводность

Перемещаясь вследствие теплового движения, молекулы пере-

носят запасенную ими	энер-	T
гию. Рассмотрим газ, в кото-
ром каким-то способом под-	T1
держивается	градиент	темпе-	T(x)
ратуры вдоль направления Ox.
Мысленно	представим	пло-
щадку dS, перпендикулярную к	T2					dS
этому направлению. Будем ис-
ходить из предположения, что
каждая молекула несет с собой		x −			x			x
λ	x +λ
энергию ε =	i	kT .Эта энергия					Рис. 11.3.3

соответствует температуре то-го места, где произошло ее последнее столкновение с другой молеку-

лой. В среднем это соударение происходит на расстоянии от площад-ки, равном средней длине свободного пробега λ. Поэтому молекулам,

летящим

в направлении

оси

Ox,припишем

энергию

ε =

i

kT =

i

kT ( x − λ),а

молекулам,

летящим в противоположном

i

i

направлении, − энергию ε

=

kT

=

kT ( x +λ).

Тогда для потока тепла через площадку dS получается выра-

жение

dQ = dN1ε1− dN2ε2.

(11.3.14)

Учитывая, что dN₁ ≅ dN₂ = dN из выражения (11.3.14) получаем

dQ =1 n υ dS

i kT − i kT

dt =1 n υ dS

i k ( T −T )dt . (11.3.15)

Учитывая, что

T − T = T ( x − λ)− T ( x +λ)= − dT 2λ,получим

dx

dQ = −

n

υ

dS

i

k

dT

2λ dt = −

i

kn

dT

dSdt .

(11.3.15)

dx

υ λ

dx

Выражение

i

kn

можно

представить,

как

i

kn =

i

kn

m0 N A

=

m N

A

i

kNA ⋅ nm0=

i

R ⋅ρ

iR

=

=ρc уд ( c уд

=

− удельная теплоемкость при

2 m0 NA

M

V

V

2M

V = const).

dQ = −

1 n υ dS i k dT

2λ dt = −

1 υ λρc уд dT dSdt .

(11.3.16)

dx

V

dx

Сравнивая с формулой (11.1.4), получим выражение для коэф-

фициента теплопроводности

1 υ cудλρ.

χ =

(11.3.17)

V