Определение момента инерции тел методом трифилярного подвеса

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Экспериментальное определение с помощью трифилярного подвеса момента инерции тел простой формы (диска, полого цилиндра, прямоугольного бруска).

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ

Трифилярный подвес.

Секундомер.

Рулетка или линейка.

Штангенциркуль.

Весы.

Набор тел (диск, полый цилиндр, прямоугольный брусок).

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ.

ВЫВОД РАСЧЕТНОЙ ФОРМУЛЫ

Трифилярный подвес (рис.1) состоит из двух цилиндрических дисков разного диаметра, соединенных упругими нитями длиной ℓ.

Точки крепления нитей на дисках расположены симметрично по вершинам равностороннего треугольника. Верхний диск Q жестко закреплен. Нижний диск P имеет возможность совершать крутильные колебания относительно оси ОО'. Для этого нижний диск необходимо повернуть вокруг вертикальной оси на некоторый угол φ₀ и отпустить. Период колебания диска зависит от его момента инерции и упругих свойств нити. Если на диск Р помещать разные тела, то период колебаний будет меняться. Это обстоятельство используется для экспериментального определения момента инерции тел.

Выведем расчетную формулу для определения момента инерции твердых тел.

При закручи-вании диска Р на угол φ₀ его центр масс поднимается на высоту (рис. 2). В этом положении диск, имею-щий массу m, обладает максимальной потенциаль-ной энергией .

В отсутствии трения в системе механи-ческая энергия сохраняет-ся

Через промежуток времени, равный четверти периода колебаний , диск Р проходит положе-ние равновесия. Потенци-альная энергия переходит в кинетическую энергию

,

где – момент инерции диска относительно вертикальной оси ОО', – угловая скорость диска при прохождении положения равновесия.

Из закона сохранения механической энергии следует, что кинетическая энергия диска в положении равновесия равна максимальному значению его потенциальной энергии. Следовательно, момент инерции диска

. (1)

Для вычисления момента инерции диска необходимо определить и .

Для свободных гармонических крутильных колебаний диска угол поворота относительно оси вращения с течением времени t изменяется по закону

,

где – амплитуда угла поворота, Т – период колебаний.

Найдем угловую скорость вращения диска

В момент времени от начала движения диска, соответствующий прохождению диском положения равновесия, абсолютное значение угловой скорости

(2)

Определим высоту в формуле (1). При закручивании диска Р на угол (рис.2) точка крепления одной из нитей переходит из положения А в положение А₁. Центр масс диска поднимается на высоту . Из прямоугольных треугольников ABC и A₁BC₁ находим

, (3)

,

где х=А₁С₁, ℓ=АВ=А₁В, H=ВС.

По теореме косинусов длину отрезка х найдем из треугольника О₁С₁А₁.

, (4)

где r=О₁С₁, R=О₁А₁.

Решая совместно уравнения (3) и (4) получим

(5)

При выводе выражения (5) принимаем , а – малая величина, которой можно пренебречь. Для малых углов закручивания . В результате выражение для принимает вид

(6)

Подставляя в уравнение (1) значения (2) и (6), получим выражение для момента инерции

. (7)

Величины в правой части формулы (7) могут быть непосредственно измерены в опыте.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Определение момента инерции диска.

1. Измерьте несколько раз диаметры дисков Р и Q с помощью штангенциркуля, вычислите среднее значение величин и найдите радиусы дисков R и r.

2. Измерьте длину нити ℓ с помощью линейки или рулетки.

3. Убедитесь, что колебания трифилярного подвеса являются гармоническими колебаниями.

Для этого поверните нижний диск Р вокруг вертикальной оси на угол φ₀≤30º и отпустите. Определите число колебаний N, за которое их амплитуда уменьшается в 2–3 раза. Если N≥10, то затухание маятника мало и можно считать колебания гармоническими.

Измерьте с помощью секундомера время t для 15–20 полных колебаний. Определите период колебаний диска Р по формуле , N – число полных колебаний. Измерения повторите 5 раз и вычислите среднее значение периода колебаний.

4. По средним значениям измеренных величин вычислите момент инерции диска I_д по формуле (7).

Определение момента инерции полого цилиндра.

1. На диск Р поместите полый цилиндр и так же, как в предыдущем опыте, определите период колебаний системы диска с полым цилиндром.

2. По формуле (7) вычислите момент инерции системы I_с. Масса системы равна сумме масс диска и цилиндра.

3. Величину момента инерции полого цилиндра вычислите, как разность момента инерции системы и момента инерции диска по формуле I_ц=I_c–I_д.

Определение момента инерции прямоугольного бруска.

1–3. Поместите на диск Р прямоугольный брусок и так же, как в предыдущем опыте определяли момент инерции полого цилиндра, найдите момент инерции бруска I_Б.

Результаты измерений и вычислений моментов инерции тел занести в таблицу (см. образец, табл.1). Массы диска m_Д, полого цилиндра m_Ц и прямоугольного бруска m_Б указаны на телах. При необходимости можно произвести взвешивание тел на технических весах.

Таблица 1

Опыт	m,кг	Т,с	R,м	r,м	ℓ,м	Ic, кг·м2	Iт, кг·м2
Диск
Диск и цилиндр
Диск и брусок

Сравнение экспериментальных и теоретических значений моментов инерции тел. Оценка погрешности

1. Измерьте с помощью штангенциркуля внутренний R₁ и внешний R₂ радиусы полого цилиндра (рис. 3), длину ℓ и ширину d бруска (рис. 4). Измерения проведите несколько раз и определите среднее значение указанных величин.

2. Вычислите теоретические значения моментов инерции тел.

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно плоскости диска

, (8)

момент инерции полого цилиндра относительно оси, проходящей через его ось симметрии

(9)

момент инерции прямоугольного бруска относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости бруска

. (10)

3. Вычислите относительные погрешности , и – экспериментальное и теоретическое значения моментов инерции исследуемых тел. Результаты вычислений и моментов инерции занесите в таблицу (см. образец, табл.2).

Таблица 2

	Диск (8)	Полый цилиндр (9)	Брусок (10)
Эксперимент Момент инерции , кг·м2
Теория Момент инерции , кг·м2
, %

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Сформулируйте основную идею эксперимента. Какие физические законы применяются для решения задач эксперимента?

2. Выведите рабочую формулу для вычисления момента инерции с помощью трифилярного подвеса.

3. Что такое период колебаний? Каковы единицы его измерения?

4. Опишите экспериментальную установку. Из каких основных частей она состоит?

5. Какие колебания называются гармоническими?

6. При каких условиях крутильные колебания будут гармоническими?

7. Сохраняется ли механическая энергия при гармонических колебаниях? Запишите закон сохранения механической энергии для данного опыта.

8. Как рассчитывается момент инерции материальной точки?

9. Как определяется момент инерции твердого тела относительно оси? Каков физический смысл момента инерции?

10. Что является мерой инертности в поступательном движении? В колебательном? Во вращательном?

11. Как момент инерции зависит от массы тела?

12. Как распределение массы тела вдоль радиуса вращения влияет на момент инерции?

13. Сколько моментов инерции у стержня? у обруча? у цилиндра?

14. Выведите формулу для момента инерции полого цилиндра относительно оси, проходящей через центр инерции.

15. Выведите формулу для момента инерции прямоугольного бруска относительно оси, проходящей через центр инерции.

16. Выведите формулу для кинетической энергии тела твердого тела, вращающегося вокруг закрепленной оси.

17. Запишите выражение для работы момента силы относительно оси.

18. От чего и как зависит кинетическая энергия вращающегося тела?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Савельев, И. В. Курс физики. В 3-х т. Т. 1. Механика. Молекулярная физика./ И. В. Савельев.- М.: Наука, 1989.- 352 с.

2. Иродов, И. Е. Механика. Основные законы./ И. Е. Иродов.- М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.- 256 с.

3. Волков, В. Н. Физика. В 3-х т. Т. 1. Механика. Молекулярная физика./ В. Н. Волков, Г. И. Рыбакова, М. Н. Шипко; Иван. гос. энерг. ун-т.- Иваново, 1993. -230 с.

Лабораторная работа № 1.4