Метод сечений. Понятия о напряжениях
В процессе деформации бруса под нагрузкой в нем появляются дополнительные (к силам физического взаимодействия между частицами тела) механические силы взаимодействия, которые и изучаются в сопротивлении материалов. Для выявления этих сил используются метод сечений: мысленно рассечем брус плоскостью и рассмотрим одну его
|
|
|
|
|
|
|
|
В сечении левой части возьмем произвольную точку О, в окрестности которой выделим малую площадку 
, на которую действует малая сила 
как результат действия отброшенной правой части.
Отношение 
среднее напряжение на площадке .
Величина 
полное напряжение в т. О, имеет размерность Н/м2 и физический смысл – интенсивность давления (поверхностная нагрузка).
В т. О проведем к сечению орт нормали 
(ню). Обычно направления векторов r и n не совпадают. Поэтому полное напряжение r можно разложить на две составляющие (компоненты): 
нормальное напряжение и 
касательное напряжение, действующее в плоскости сечения ( 
сигма, 
тау). Очевидно, что r 
геометрическая сумма векторов или в скалярном виде 
.
Пусть брус рассечен плоскостью, перпендикулярной к оси бруса, т.е. сечение левой части является поперечным (рис. 1.4). В т. О введем правые оси 
и т.к. сечение бруса поперечное, то ось 
совпадает с нормалью . А оси х и у будут расположены в сечении бруса.
В этом случае нормальное напряжение 
можно обозначить 
нормальное напряжение вдоль оси . Касательное напряжение 
можно разложить на составляющие по осям х и у, т.е.
или 
Обозначение напряжений: нормальные напряжения обозначаются 
, индекс определяет его направление по осям; касательные напряжения обозначаются 
с двумя индексами: первый определяет его направление, а второй – площадку, в которой он действует. Например: 
касательное напряжение, действует в направлении у на площадке перпендикулярной оси .
 |
Т.к. оси xyz декартовые, то очевидно:
или 
(1.1)
Для определения знаков всех напряжений введем следующие правила:
1. Вводим для бруса правые оси xyz.
2. Рассекаем брус плоскостью перпендикулярной к оси z. К сечениям левой и правой частей проводим внешние (т.е. наружу) орты нормалей 
. Площадка сечений считается положительной, если внешняя нормаль совпадает с направлением оси z (т.е. сечение левой части положительно, а сечение правой части – отрицательная площадка).
3. На положительной площадке положительные напряжения совпадают с положительными направлениями осей x, y, z. На отрицательной площадке – положительные напряжения направлены против осей x, y, z (это соответствует III закону Ньютона – действие и противодействие).
Итак: на рис. 1.4 сечение левой части – положительная площадка и все показанные напряжения 
положительны.
Напряжения в декартовой системе координат
Выделим из трехмерного тела малый прямоугольный элемент (кубик) с ребрами параллельными осям координат xyz (рис. 1.5а). Согласно введенному выше правилу видимые площадки кубика положительные (внешние нормали к ним совпадают с направлениями осей x, y, z), а невидимые площадки – отрицательны. На положительных площадках со стороны отброшенных частей тела действуют полные напряжения 
, а на отрицательных площадках – противоположно направленные 
. Каждое это полное напряжение можно разложить на компоненты по осям x, y, z по аналогии с разложениями (1.1).
Рис. 1.5
Положительные направления всех компонент на положительных (видимых) площадках показаны на рис. 1.5в. Аналогичные напряжения действуют и на отрицательных (невидимых) площадках, но противоположно направленные (на рис. 1.5 не показаны).
Итак, в самом общем случае нагружения трехмерного тела в нем могут появиться девять компонент напряженного состояния, которые в декартовых осях можно записать в виде тензора напряжений Тs
(1.2)
Закон парности касательных напряжений
Рассмотрим равновесие малого прямоугольного элемента с ребрами длиной 
и 
вырезанного из тела. По всем его площадкам действуют напряжения, показанные на рис. 1.5в. Рассмотрим моментное уравнение равновесия элемента относительно оси 
, проходящей через центр тяжести площадки, перпендикулярной к оси х, т.е. 
. При этом оставим на рис. 1.6 только те напряжения, которые дают такие моменты. На невидимых (отрицательных) площадках действуют сами напряжения 
и 
, а на видимых (положительных) – напряжения с малыми приращениями по соответствующей координате, т. е. 
и 
. Напряжения умножаем на площадки, где они действуют (получим силы на них) и составим . (ось 
на рис. 1.6 показана как точка )
 |
Рис. 1.6
|
Ввиду малости размеров 
и , приращения напряжений можно счи-тать малыми по сравнению с основны-
ми напряжениями 
и 
и их не учитывать. Сокращая в (1) на 
окончательно получим
= .
Аналогично, оставив моментные уравнения равновесия относительно осей 
и 
, проходящие через центр кубика, окончательно получим:
(1.3)
Эти соотношения и есть закон парности касательных напряжений: на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения, перпендикулярные к линии пересечения этих площадок, равны между собой. Поэтому тензор напряжений Тs (1.2) из девяти величин содержит только шесть независимых величин.
Понятия о перемещениях и деформациях
Под действием нагрузки тело деформируется, т.е. изменяются его форма и размеры. Отметим в теле до его нагружения точку «К» (рис. 1.7).
 Рис. 1.7 | После нагружения тела эта точка переместиться в пространстве и займет положение  . Отрезок  называют полным перемещением. Его можно разложить на компоненты по осям x, y, z, т.е.  . Здесь  перемещение точки тела вдоль оси х,  перемещение вдоль оси у,  вдоль оси . Каждая точка тела перемещается по-своему, поэтому компоненты перемещения точки явля- |
ютсяфункциями ее координат, т.е. 
, 
, 
.
Мысленно через т. К проведем малые отрезки KB и KC, параллельные осям y и z. После нагружения тела эти отрезки займут положение K1B1 и K1C1. Углы 
и 
малы при допустимых нагрузках. Величина 
называется относительной линейной деформацией вдоль оси у в т. К.
Аналогично имеют место и относительные линейные деформации вдоль оси 
, оси 
( 
эпсилон). 
положительны при деформациях удлинения (растяжения). Они безразмерны.
В процессе деформации тела первоначально прямой угол ВКС изменяется на величину 
деформация сдвига в плоскости 
. Аналогично могут возникнуть 
и 
деформации сдвига в плоскостях 
и 
. Они измеряются в радианах. Деформации сдвига положительны, если первоначально прямой угол становиться острым. Совокупность 
линейных деформаций и 
деформаций сдвига полностью определяют деформированное состояние в точке тела, которые также являются функциями координат точки тела ( 
гамма). Их можно записать в матричной форме в виде тензора деформаций 
. Очевидно, что 
(1.4)
Внутренние силы и моменты в брусе
Для определения внутренних силовых факторов в сечениях бруса, которые возникают от внешней нагрузки на брус 
, можно использовать также метод сечений, описанный выше и показанный на рис. 1.3. В каждой точке сечения левой части бруса действует полное напряжение 
. Разобьем все сечение левой части «А» на большое число малых площадок 
, 
. Систему малых сил 
по всему сечению бруса можно перенести в произвольную точку «О» сечения. При этом в т. О получим главный вектор силы 
и главный вектор момента 
, которые являются результатом действия отброшенной правой части.
Брус до рассечения находился в равновесии, поэтому левая часть должна находиться в равновесии под действием внешних сил 
, 
и 
. Следовательно, должны выполняться векторные уравнения равновесия
(А)
Пусть брус рассечен плоскостью, перпендикулярной к его оси, т.е. сечение левой части поперечное. За т. О примем центр тяжести сечения и построим правую систему координат , ось перпендикулярна к сечению, а оси х и у лежат в плоскости сечения левой части бруса (рис. 1.8). Главный вектор 
и главный момент 
можно разложить на компоненты по осям 
:
 Рис. 1.8 |  (В) Здесь:  внутренняя продольная сила, вызывает растяжение или сжатие бруса;  и  внутренние поперечные силы, вызывают деформации сдвига;  внутренние изгибающие моменты;  внутренний скручи- |
вающий момент в брусе. Положительные направления всех внутренних силовых факторов в сечении левой части бруса показаны на рис. 1.8: 
положительны, если направлены вдоль осей x, y, z; 
положительны, если направления этих моментов с концов соответствующих осей видны против хода часовой стрелки.
Векторные уравнения (А) с учетом разложений (В) можно записать в виде обычных шести уравнений статики для левой части бруса
(Г)
Здесь, например, 
компоненты в направлении оси 
внешних сил 
, действующих на левую часть бруса; 
моменты относительно оси сил действующих на левую часть. Ввиду равновесия бруса в целом, по III закону Ньютона
С учетом этого уравнения (Г) можно записать через нагрузки на правую отсеченную часть бруса
(Д)
Из соотношений (Г) и (Д) следуют общие формулы для определения внутренних силовых факторов в сечении левой части бруса через внешние нагрузки на левую или правую части бруса
(1.5)
Внешние силы (на левой и правой частях бруса) положительны, если направлены вдоль осей. Внешние моменты (от нагрузок на левую и правую части бруса) положительны, если направление этих моментов с концов соответствующих осей видны против хода часовой стрелки. Внутренние силовые факторы, действующие в сечении правой части бруса, равны по величине и противоположны по направлению действующим в сечении левой части (по III закону Ньютона).
Примечание: При вычислении внутренних силовых факторов по (1.5) нельзя заменять систему сил по разные стороны от сечения их равнодействующей, силу нельзя переносить вдоль линии ее действия из одной части бруса в другую.
Зависимость между напряжениями и
внутренними силовыми факторами
Внутренние силовые факторы в сечении бруса: 
, 
и 
есть равнодействующие внутренних напряжений 
, распределенных по сечению бруса. Поэтому, они связаны определенными зависимостями, которые легко установить из рис. 1.9, на котором показаны
 Рис. 1.9 | в сечении левой части бруса все положительные внутрен-ние силовые факторы и все положительные внутренние напряжения, действующие на малой площадке с положи-тельными координатами х и у. Умножаем напряжения на площадку , полученные силы и моменты от них относительно осей x, y, z, суммируем по всей площади А |
сечения (т.е. интегрируем по А), получим:
(1.6)
Дифференциальные уравнения равновесия прямого бруса
Рассмотрим прямой брус, нагруженный положительными погонными нагрузками 
, погонными моментами 
, некоторым набором сосредоточенных сил и сосредоточенными изгибающими и скручивающими моментами, т.е. брус произвольно нагружен.
Все эти нагрузки считаем приложенными к оси бруса. На участке бруса без сосредоточенных сил и моментов выделим поперечными сечениями а-а и в-в участок малой длины . Этот участок нагружен положительными , , а по торцам положительными внутренними силовыми факторами (рис.1.10). В сечении а-а (торец правой отсеченной части, его площадка отрицательна) действуют , , . Они направлены противоположно, чем положительные внутренние силовые факторы на торце левой отсеченной части, показанные на рис. 1.8. В сечении в-в ((торец левой отсеченной части) действуют ранее установленные положительные внутренние силовые факторы с приращениями на участке (рис. 1.10). Точки 
и 
в сечении бруса условно смещены влево и вправо (чтобы рис. 1.10 не перегрузился обозначениями силовых факторов).
Рис. 1.10
Под действием всех указанных силовых факторов (внешних и внутренних) рассматриваемый элемент бруса, как вырезанный из целого бруса, должен находится в равновесии. Составим шесть уравнений равновесия (погонные нагрузки умножаем на ):
1) 
Отсюда 
2) 
Отсюда 
3) 
Отсюда 
Моментные уравнения равновесия запишем относительно осей 
, проходящих через т. 
сечения в-в.
4) 
Отсюда 
Здесь, ввиду малости , последнее слагаемое отброшено как величина значительно меньше, чем другие слагаемые.
5) 
Отсюда 
6) 
.
Отсюда 
Итак, получим шесть зависимостей:
(1.7)
Эти зависимости играют важную роль при изучении «Сопротивления материалов». Их можно использовать для проверки правильности определения внутренних силовых факторов в сечении брусьев.