Теорема умножения вероятностей.

Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

Докажем теорему умножения для схемы случаев. Пусть возможные исходы опыта сводятся к случаям, которые мы снова для наглядности изобразим в виде точек:

Предположим, что событию благоприятны случаев, а событию благоприятны случаев. Так как мы не предполагали события и несовместными, то вообще существуют случаи, благоприятные и событию , и событию одновременно. Пусть число таких случаев . Тогда

.

Вычислим , т.е. условную вероятность события в предположении, что имело место. Если известно, что событие произошло, то из ранее возможных случаев остаются возможными только те , которые благоприятствовали событию . Из них случаев благоприятны событию . Следовательно,

.

Подставляя выражения и в формулу (3.3.1), получим тождество. Теорема доказана.

Очевидно, при применении теоремы умножения вполне безразлично, какое из событий и считать первым, а какое вторым, и теорему умножения можно записать в таком виде:

.

Отметим следствия, вытекающие из теоремы умножения.

Следствие 1. Если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события .

Доказательство. Дано, что событие не зависит от , т.е.

. (3.3.2)

Требуется доказать, что и событие не зависит от , т.е.

.

При доказательстве будем предполагать, что .

Напишем теорему вероятности в двух формах:

,

,

откуда

или, согласно условию (3.3.2),

. (3.3.3)

Разделим обе части равенства (3.3.3) на . Получим:

,

что и требовалось доказать.

Из следствия 1 вытекает, что зависимость или независимость событий всегда взаимны. В связи с этим модно дать следующее новое определение независимых событий.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

Понятие независимости событий может быть распространено на случай произвольного числа событий. Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Следствие непосредственно вытекает из определения независимых событий.

Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий. В общем виде она формулируется так.

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

. (3.3.4)

Доказательство может быть дано тем же методом полной индукции.

В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид:

, (3.3.5)

т.е. вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Применяя знак произведения, теорему можно записать в виде:

. (3.3.6)