Характеристики линейных систем ожидания

ТЕОРИЯ ОЧЕРЕДЕЙ

Основы знаний о линиях обслуживания, часто называемые теорией очередей, являются важной частью П/ОМ и ценным инструментом операционного менеджера. Линии обслуживания являются общим понятием; это могут, например, быть автомоби­ли, ожидающие ремонта в центре автосервиса, или это очередь печатных работ, скомплектованная в заказ на печать, или студен­ты, ожидающие консультации профессора. Табл. 5.1 содержит список лишь малых приложений П/ОМ из моделей теории оче­редей.

Как деревья решений и линейное программирование (глава 3) и прогнозирование (глава 4) служат моделями, применяемыми в широком диапазоне операционных решений, так и модели теории очередей успешно используются в производственной области и секторе сервиса. Анализ очередей в терминах длин очереди, сред­него времени ожидания и других факторов помогает нам устано­вить сервисные системы (такие, как телефонные станции), орга­низовать деятельность по обслуживанию (ремонт сломанного обо­рудования) и деятельность по контролю. Совершенно очевидно, что пациенты, ожидающие приема у врача, и сломанный свер­лильный станок, ожидающий ремонта на предприятии, имеют участь, общую с точки зрения перспективы П/ОМ. И для исполь­зуемых человеческих ресурсов, и для ресурсов оборудования восстанавливаются производственные ценности (люди и машины) до хорошего состояния.

Таблица 5.1. Общие ситуации ожидания

Ситуации	Пребывающие в очередь	Сервисный процесс
Супермаркет	Покупатели бакалейного магазина	Выдача чеков на чековом аппарате
Автозаправка	Автомобили	Заправка бензином
Приемная врача	Пациенты	Лечение у врача и уход
Компьютерная система	Программы на обработку	Работа компьютерного процессора
Телефонная станция	Абоненты	Подключение оборудования к поступающим звонкам
Банк	Клиенты	Выполнение трансакций
Обслуживание машин	Сломанные машины	Ремонт машин
Порт	Корабли и баржи	Докерские работы по погрузке и разгрузке

Операционным менеджерам требуется знать место между за­тратами, требуемыми для хорошего сервиса, и затратами време­ни на обслуживание покупателей или машин. Менеджеры хотят иметь очереди настолько короткие, чтобы покупатели не были недовольны, когда покупатели или не делают покупку, или поку­пают, но никогда потом не возвращаются. Таким образом, менед­жеры желают такого ожидания, которое представляло бы баланс для значительных сбережений в затратах на сервис.

Одно средство изменения сервиса – это посмотреть общие затраты (рис. 5.1). Общие затраты являются суммой расчетных сервисных затрат и расчетных затрат ожидания.

Сервисные затраты показаны возрастающими при попытке фирмы увеличивать уровень сервиса. Менеджеры в таком сервис­ном центре могут варьировать мощность установкой машин и персонала на специальных сервисных станциях, предотвращать или сокращать излишне .длинные очереди. На складах бакалейных магазинов менеджеры и служащие могут работать, когда это необ­ходимо, за чековыми аппаратами. В банках и аэропортах частично занятые работники могут быть позваны на помощь. По мере совершенствования сервиса (например, его ускорение) уменьша­ются затраты времени, расходуемые на ожидание обслуживания, что показано убывающей линией. Затраты ожидания могут отра­жать потерянную производительность рабочих, пока их инстру­менты или машины ожидают ремонта, или просто могут быть оценены затратами потери покупателей по причине плохого сер­виса и длинных очередей. В таких сервисных системах (например, в неотложной «скорой помощи») цена долгого ожидания может быть невыносимо высока.

ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ОЖИДАНИЯ

В этом параграфе мы даем обзор трех частей линейных систем ожидания, или очередей:

1) прибытия, или входы системы;

2) дисциплина очереди, или собственно система ожидания;

3) сервисное оборудование.

Эти три компонента имеют определенные характеристики, которые должны быть изучены прежде, чем математические мо­дели очереди могут быть разработаны.

Характеристики прибытия.Входной источник, который гене­рирует прибытия или клиентов сервисной системы, имеет три главные характеристики. Такими тремя важными характеристика­ми являются размер источника, модели прибытия в систему оче­редей и поведения прибытия.

Размер источника.Размер прибытия рассматривается либо как неограниченный (практически бесконечный), либо как огра­ниченный (конечный). Когда число клиентов или прибытий в любой момент происходит лишь малыми порциями от числа потенциальных прибытий, источник прибытий рассматривается неограниченным, или бесконечным. В практической жизни приме­рами неограниченных источников могут быть автомобили на автозаправках, покупатели в супермаркете, студенты, записы­вающиеся на занятия в большом университете. Большинство моделей очередей допускают такие неограниченные источники прибытий.

Пример ограниченного, или конечного, источника – это центр копирования только с восьмью копировальными аппаратами, ко­торые могут выйти из строя и потребовать обслуживания.

Образец прибытий в систему.Заказчики приходят в пункт обслуживания либо по какому-то известному расписанию (напри­мер, один пациент каждые 15 минут или один студент на консуль­тацию каждые полчаса), либо случайным образом. Прибытия считаются случайными, если они независимы друг от друга и их появление невозможно точно предсказать.

Часто в теории очередей число прибытий за единицу времени может быть определено с помощью распределения вероятности, известного как распределение Пуассона. Для любого заданного количества прибытий (два заказчика в час или четыре грузовика в минуту) дискретное распределение Пуассона может быть определено формулой:

Рис. 5.2. Примеры распределения Пуассона для конкретных значений а а) распределение для а = 2; b) распределение для а = 4

Р (х) = e^-a a^x / x! для x = 0, 1, 2, 3, 4 ... (5.1)

где Р (х) – вероятность х прибытий;

х – число прибытий в единицу времени;

a – среднее количество прибытий;

е – основание натурального логарифма 2,7183.

С помощью таблицы эти значения легко вычислить. Рис. 5.2 иллюстрирует распределение Пуассона для a = 2 и a = 4. Это озна­чает, что если среднее количество прибытий заказчиков в час a = 2, то вероятность прибытия 0 заказчиков за любой случайный час – около 13 %, вероятность прибытия одного заказчика – око­ло 27 %, двух – около 27 %, трех – около 18 %, четырех – около 9 % и т. д. Шансы, что появятся девять или более заказчиков, практически нулевые. Такие прибытия, конечно, не всегда распределяются по закону Пуассона (они могут распределяться и иначе), и, прежде чем применять это распределение, следует удостовериться, что эти прибытия хорошо аппроксимируются распределением Пуассона.

Поведение прибытий.Большинство моделей очередей полагают, что приходящие заказчики являются «терпеливыми». Терпе­ливые клиенты – это люди или машины, которые ожидают своей очереди до тех пор, пока их не обслужат, и не меняют очередь. К сожалению, жизнь сложнее, поскольку люди не всегда бывают терпеливыми. Клиенты, которые являются нетерпеливыми, отка­зываются присоединиться к очереди, потому что она слишком длинная, что не соответствует их запросам и интересам. Другая разновидность нетерпеливых клиентов – это те, которые, стано­вясь в очередь, затем оказываются нетерпеливыми и покидают ее без завершения действия. Действительно, обе эти ситуации только подчеркивают необходимость теории очередей и анализа ожида­ния в очередях.

Характеристика очереди.Сама по себе очередь ожидания – это второй компонент системы очередей. Длина очереди может быть или ограниченной, или неограниченной. Очередь является ограниченной, если она не может по закону или физическим ограничениям увеличиваться до бесконечности. Это может быть в случае небольшой парикмахерской, которая имеет только ограни­ченное количество мест для ожидания. Аналитические модели очередей, рассматриваемые в этой главе, работают с неограничен­ными по длине очередями. Очередь является неограниченной, если нет ограничений на ее размер, как в примере обслуживания прибывающих автомобилей.

Вторая характеристика очередей относится к дисциплине оче­реди. Это касается правила, по которому клиенты в очереди получают обслуживание. Большинство систем использует дисцип­лину очереди, известную как правило: «первый пришел – первый ушел» (FIFO).

В госпитале или в супермаркете на экспресс – узле расчета различные приоритеты могут не соответствовать правилу FIFO. Пациенты в госпитале, которые находятся в критическом состоя­нии, могут идти вперед с приоритетом на обслуживание по срав­нению с пациентами с легкими травмами. Покупатели менее чем с десятью покупками могут проходить на экспресс-узел расчета (но тогда они обслуживаются, как «первый пришел – первый обслужен»).

Выполнение компьютерных программ – другой пример сис­тем очередей, которые работают по распределению приоритетов. В большинстве крупных компаний, если компьютер выписывает платежное поручение на конкретную дату, платежная программа имеет наивысший приоритет перед другой программой.

Термин FIFS («первый пришел – первый обслужен») исполь­зуется как заменитель FIFO, а другая дисциплина LIFS («послед­ний пришел – первый обслужен») распространена, когда мате­риалы уложены так, что достать их можно только сверху.

Характеристики узла обслуживания.Третья часть любой системы очередей – это узел обслуживания. Две основные харак­теристики важны:

q конфигурация системы обслуживания;

q модель времени обслуживания.

Основные конфигурации системы очередей.Системы об­служивания обычно классифицируются по числу каналов, напри­мер по числу серверов, и числу фаз, по числу позиций обслужи­вания, которые должны быть пройдены.

Одноканальная система очереди – с одним сервером, напри­мер, банк, который имеет только одно открытое окно обслужива­ния, или одна точка обслуживания в ресторане быстрого обслужи­вания. С другой стороны, если банк имеет нескольких клерков и каждый клиент ожидает в одной общей очереди к первому осво­бодившемуся окошку, тогда мы имеем многоканальную систему очереди. Большинство банков сегодня – это многоканальные сис­темы обслуживания, так же как большинство парикмахерских, касс продажи авиабилетов и отделений связи.

Однофазная система обслуживания – это такая, в которой кли­ент получает обслуживание только от одной станции и затем покидает систему. Ресторан быстрого обслуживания, в котором человек, принимающий заказ, также приносит еду и получает деньги, – это однофазная система. Так, в офисе по выдаче води­тельских удостоверений, в котором лицо, принимающее заявле­ние, также проводит тестирование и собирает деньги, имеет место однофазная система. Если ресторан требует разместить заказ в одном месте, заплатить в другом и взять еду в третьем, он стано­вится многофазной системой. Соответственно, если агентство по выдаче водительских прав большое или в нем очень много посе­тителей, клиент, вероятно, вынужден будет прождать в очереди, чтобы заполнить заявление (первая остановка в обслуживании), затем стоять снова на экзамен (вторая остановка в обслуживании) и, наконец, в третьем месте заплатить деньги.

Чтобы помочь разобраться с концепцией каналов и фаз, рис. 5.3 представляет возможные конфигурации.

Распределение времени обслуживания.Модели обслужива­ния похожи на модели прибытия в том смысле, что они могут быть или постоянными, или случайными. Если время обслуживания постоянно, это означает, что одно и то же время уделяется каждому клиенту (случай автоматической мойки машин). Более часто время обслуживания распределено случайно.

Во многих случаях мы полагаем, что случайное время обслу­живания описывается отрицательным экспоненциальным вероят­ностным распределением. Это математически удобная посылка, если прибытия распределены согласно распределению Пуассона.

Рис. 5.4 иллюстрирует случай, когда время обслуживания со­ответствует этому распределению, поэтому вероятность любого очень долгого времени обслуживания низка. Когда среднее время обслуживания 20 минут, редко бывает, что клиент потребует больше чем 90 минут в узле обслуживания. Если среднее время обслуживания 1 час, то вероятность затратить более чем 180 минут на обслуживание, практически равна нулю.

Измерение состояния очереди.Модели очередей помогают менеджерам принять решения, которые балансируют требуемые затраты на сервис с затратами на ожидание в очереди. Ниже при­водятся некоторые из множества измерителей состояний очереди.

1. Среднее время, которое тратит каждый клиент в очереди.

2. Средняя длина очереди.

3. Среднее время нахождения клиента в системе (время ожи­дания плюс время обслуживания).

4. Среднее число клиентов в системе.

5. Вероятность того, что узел обслуживания будет свободен.

6. Коэффициент использования системы.

7. Вероятность определенного числа клиентов в системе.

Рис. 5.4. Примеры отрицательного экспоненциального распределения для времени обслуживания