Корость фильтрации; линейный закон фильтрации Дарси.

Рассмотрим модель пористой среды - пласта с площадью поперечного сечения ; давления на концах модели Р₁ и Р₂ (рис. 2). Пусть Р₁ > Р₂.

Под действием разности давлений DР = Р₁ - Р₂ жидкость начинает двигаться. Движение жидкости будет происходит через площадь просветов , которую называют живым сечением потока. Исходя из теории статики, можно считать для однородной пористой среды площадь просветов w_п в любом поперечном сечении модели пласта будет иметь одинаковое значение. Заметим, что всегда w_п< w.

Рис. 2

Скорость фильтрации называется фиктивная скорость движения жидкости (флюида), определяемая отношением объемного расхода Q жидкости (флюида) к площади поперечного сечения пласта w (нормального к направлению движения жидкости).

. (1.6)

Как видно из (1.6) скорость фильтрации u это та скорость, с которой двигалась бы жидкость, если бы пористая среда отсутствовала (m=1). Вполне очевидно, что действительная (истинная) скорость движения жидкости будет определяться соотношением объемного расхода жидкости Q к площади просветов w_п, т.е.

. (1.7)

Поскольку , поэтому .

Установим связь между V и V_Д. Для этого рассмотрим два сечения на расстоянии dx друг от друга (рис. 2). За время dt жидкость переместилась из одного сечения в другое. Тогда объем жидкости dV, удаленный из области между этими двумя сечениями, можно рассчитать двумя путями:

dV= Q*dt - произведение расхода на время;

dV= w*dx*m - объем пустот в элементе dx;

Отсюда Q*dt= wdxm

Или

Но

Поэтому V= mV_д . (1.8)

Заметим, что из (1.8) с учетом выражений (1.6) и (1.7) получаем

Одним из основных законов теории фильтрации является закон Дарси (1856 г.), устанавливающий линейную связь между потерей напора DH=H₁- H₂ и объемным расходом Q жидкости в трубке тока поперечного сечения w.(Рис. 3).

ис. 3

Дарси экспериментально установил: расход жидкости через трубку с пористой средой прямо пропорционален потере напора и площади поперечного сечения трубки (модели пласта) и обратно пропорционален длине трубки (пласта), т.е.

(1.9)

где С - коэффициент фильтрации, зависящий как от свойств пористой среды, так и от свойств фильтрующейся жидкости;

H₁ и H₂ - полные напоры в начальном и конечном сечениях образца пористой среды(модели пласта).

Обычно скоростным напором V²/2g пренебрегают в виду его малости. Поэтому Н = Z+P/g , где Z - высота положения, P/g = P/rg - пьезометрический напор.

Учитывая, что - гидравлический уклон, поэтому

, (1.10)

или

(1.11)

Так как i- величина безразмерная, поэтому коэффициент фильтрации имеет размерность скорости, т.к. [c]=м/с

В теории фильтрации нефти и газа закон Дарси записывается по-иному (были разделены влияния простой среды и жидкости):

или , (1.12)

где k- коэффициент проницаемости, характеризующий пористую среду;

- коэффициент абсолютной вязкости фильтрующейся жидкости;

g= rg - объемный вес жидкости;

Р = gН - приведенное(к плоскости отсчета напоров) давление;

очевидно оно совпадает с истинным при Z=0

Сравнивая (1.9) и (1.12), находим связь между коэффициентами фильтрации С и проницаемости k:

С= (1.13)

Закон Дарси можно записать и в дифференциальной форме. Для этого возьмем трубку тока переменного сечения и выделим два поперечных сечения на расстоянии dS друг от друга (Рис. 4).

ис. 4

Для установившегося ( стационарного) движения Н=Н(S). Поэтому можно записать: Н₁= Н(S); Н₂⁼Н(S+dS)=Н(S)+ Тогда основной закон Дарси (1.9), представленный через скорость фильтрации, примет вид:

(1.14)

или с учетом (23)

. (1.15)

Знак «минус», появившийся в формуле (1.15), указывает на то, что приведенное давление (или напор) уменьшается в направлении S(t) движения жидкости.

Заметим, что производная dP/dS (по направлению S) совпадает с производной dP/dn ( по нормали к сечению w(S)), поэтому dP/dS=dP/dn=grad P - градиент давления Р.

Поэтому закон Дарси (1.15) можно записать в векторной форме

` , (1.16)

где grad P - величина векторная.

В случае нестационарной фильтрации, когда Н=Н(S,t), выражения (1.14) и (1.15) записываются в частных производных:

и (1.17)

здесь ¶Н/¶S и ¶Р/¶S принято называть градиентом напора и градиентом давления.

Определим размерность коэф. проницаемости k.

Из формулы (1.13) , используя физическую систему единиц , получаем:

В технической системе единиц и в системе СИ [К] = М².

В смешанной системе единиц, которая применяется в нефтепромысловой практике, проницаемость измеряется в единицах - дарси. Для этого необходимо принимать в расчетных формулах: [Q] = cм³/с, [m] = cпз; [P]= кГ/см³; [ ]=см; [w]=см²; тогда [k]=дарси.

За единицу проницаемости 1 дарси(Д) принимают проницаемость такой пористой среды, при фильтрации через образец которой площадью поперечного сечения 1 см², длиной 1 см при перепаде давления 1 кг/см³ расход жидкости вязкостью 1 спз составляет 1 см³/с.

Из закона Дарси (1.12) находим, что:

k = 1 дарси = 1,02*10^-12м²