Скорость фильтрации. закон дарси
При изучении фильтрационного потока удобно отвлечься от размеров пор и их формы, допустив, что жидкость движется сплошной массой, заполняя весь объем пористой среды, включая пространство, занятое скелетом породы. Рассмотрим величину, называемую скоростью фильтрации.
Предположим, что объёмный расход жидкости в единицу времени через площадку 
, выделенную в пористой среде, равен 
.
Скорость фильтрации 
в пределах данной площадки 
. (II.3)
Скорость фильтрации в данной точке пласта 
. (II.4)
Установим связь между скоростью фильтрации и средней скоростью движения жидкости в порах 
.
Пусть 
— площадь просветов, находящихся на площадке ; просветность 
определяется как следующее отношение: 
. (II.5)
Если вычисляется средняя скорость движения в порах, то расчёт производится так:
. (II.6)
Подставив в (II.6) значение из (II.5) и учитывая, что 
получим:
(II.7)
Такова зависимость между скоростью фильтрации и средней скоростью движения.
Скорость фильтрации можно рассматривать как вектор. Если в данной точке области фильтрации вращать элементарную площадку и восстанавливать нормали к ней, направление нормали, соответствующее наибольшему расходу, будет направлением вектора скорости фильтрации.
Рис. 3 Схема наклонного пласта.
В середине прошлого столетия в результате экспериментального изучения движения воды через песчаные фильтры был установлен основной закон фильтрации — закон Дарси (или линейный закон фильтрации). Этот закон является хронологически первым законом теории фильтрации. Его можно записать так:
, (II.8)
где Кф — коэффициент фильтрации, имеющий размерность скорости; i — гидравлический уклон.
Коэффициент фильтрации Кф зависит от свойств пористой среды и свойств фильтрующейся жидкости. Наибольшее влияние на этот коэффициент оказывают размеры частиц породы. Величина Кф зависит также от формы частиц, степени шероховатости их поверхности, пористости среды, вязкости жидкости.
Видоизменим формулу (II.8).
Допустим, что в цилиндрической трубке, заполненной пористой средой, фильтруется жидкость в направлении, указанном стрелкой (рис. 3). Найдём потерю напора на данном участке длиной 
.
Если пренебречь величиной скоростного напора, можем считать напоры 
и 
равными соответственно:
(II.9)
где 
и 
— геометрические высоты крайних точек участка; 
и 
— давления в этих точках; 
— вес единицы объёма жидкости.
Потеря напора 
запишется так: 
, (II.10)
где 
— потеря давления, а 
.
Но гидравлический уклон 
можно с помощью формулы (II.10) записать так:
. (II.11)
Подставив значение из (II.11) в формулу (II.8), получим:
, (II.12)
где 
— приведённое давление, причём 
. (II.13)
В случае горизонтального пласта в формуле (II.12) надо положить 
; следовательно, закон Дарси запишется так: 
. (II.14)
В символах дифференциального исчисления формула (II.14) (закон Дарси) имеет следующий вид:
, (II.15)
где 
— величина градиента давления, а знак минус в правой части показывает, что скорость фильтрации направлена в сторону понижения давления.
Итак, закон Дарси заключает в том, что скорость фильтрации пропорциональна градиенту давления.
Закон Дарси имеет силу, если соблюдаются следующие условия:
1) мелкозернистая пористая среда или достаточно узкие поровые каналы;
2) малая скорость фильтрации или небольшой градиент давления;
З) незначительные изменения скорости фильтрации или градиента давления.
