Свободные незатухающие колебания

Пусть материальная точка совершает прямые гармонические колебания вдоль оси ОХ

, тогда

и

, где

– амплитуда скорости;

– амплитуда ускорения.

По второму закону Ньютона сила, действующая на материальную точку

.

Такая зависимость силы от смещения характерна для упругой силы.

Силы иной физической природы, удовлетворяющие тому же виду зависимости, называются квазиупругими.

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равна

или

.

Кинетическая энергия К изменяется от 0 до , совершая гармонические колебания с частотой 2ω₀ и амплитудой около среднего значения, равного .

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием квазиупругой силы, равна

или

.

Таким образом потенциальная энергия W периодически изменяется от 0 до , совершая гармонические колебания с циклической частотой 2ω₀ и амплитудой около среднего значения, равного .

Колебания потенциальной и кинетической энергии совершаются со сдвигом по фазе на π , так что полная механическая энергия материальной точки не изменяется при гармонических колебаниях:

E, K, W

E

K

W

Линейный гармонический осциллятор– (например, пружинный маятник).

или

Это уравнение является дифференциальным уравнением гармонических колебаний, решением которого является

,

где

Импульс гармонического осциллятора

.

Если из системы уравнений р(t) и x(t) исключить время то после преобразований приходим к уравнению, которое на координатной плоскости х, р (фазовой плоскости) является уравнением эллипса

.

График зависимости р = р(х) называют фазовой траекторией. Любая точка этой траектории соответствует состоянию осциллятора в некоторый момент времени. Ниже представлены фазовые траектории свободных незатухающих колебаний, образующих семейство подобных эллипсов (отношение длин полуосей равно k² ).

Каждому эллипсу соответствует определённый уровень энергии осциллятора. Площадь эллипса равна произведению его полуосей, умноженному на :

.

Следовательно, для полной энергии осциллятора можно записать ,

,

где интеграл представляет из себя площадь, охватываемую фазовой кривой.

Физический маятник – твёрдое тело, которое может вращаться под действием своей силы тяжести mg вокруг неподвижной горизонтальной оси О , не проходящей через центр масс тела и называемой осью качания маятника.

Если пренебречь силами трения в подвесе маятника, то момент относительно оси качания создаёт только mg и при отклонении маятника на угол α эта сила создаёт момент численно равный и стремящийся возвратить маятник в положение равновесия (α = 0).

В соответствии с основным законом динамики твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, уравнение движения физического маятника имеет вид

, где

– расстояние от центра масс маятника до оси качания;

J – момент инерции маятника относительно той же оси.

При малых колебаниях . Тогда

и угол α удовлетворяет дифференциальному уравнению гармонических колебаний

, где

– амплитуда колебаний угла .

Математический маятник – предельный случай физического маятника – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

В этом случае d = l – длина математического маятника, а J = ml².

Соответственно .

Длина математического маятника, имеющего такой же период колебаний, что и данный физический маятник называется приведённой длиной l_пр этого физического маятника

.

Точка О₁ , лежащая на прямой ОС на расстоянии l_пр от точки подвеса О , называется центром качания физического маятника. Точки О и О₁ обладают свойством взаимности.

Лекция 6