Тақырыбы: Қатты дене жүйесінің айналмалы қозғалысы

Есеп шарты: Механизм өзара тісті немесе қайысты бірлестігі 1;2;3; сатылы дөңгелектерден, 4 тісті рейкадан және жіптің шетіне байлап дөңгелектің біріне оралған 5-ші жүктен тұрады (сурет 4.). Дөңгелектердің сатыларының радиусы сәйкесінше : r₁ = 20мм; R₁=40 мм; r₂ =60 мм; R₂ = 80 мм;г₂ = 120 мм; R₃ =160 мм – ге тең. (r-дөңгелектің кіші радиусы, R-дөнгелектің үлкен радиусы. Сандық индекс дөңгелектің есеп схемасындағы номерін білдіреді). Деңгелектің бойында А , В және С нүктелері орналасқан.

Берілген қозғалыс заңы үшін көрсетілген звеноның немесе оның жылдамдығының өзгеру заңын уақыт моментін анықтау үшін, 4 кестеде көрсетілген шамаларды анықтау керек, және осы шамалардың векторларын есеп схемасында көрсетіндер. φ және ω сағат тілінің бағытына қарсы болса, ал S₄, S₅ бағыттарытөмен бағытталса оң деп саналады.

Есепті шығару үшін жалпы әдіс.

1.Сызықтық масштабты сақтай отырып сатылы дөңгелектерді есеп схемасында бейнелейміз.

2.Берілген звеноның қозғалыс заңы бойынша оның жылдамдығын , уақыттың

функциясы ретінде анықтаймыз (V₄= dS/dt немесе V₅=dS₅/dt), немесе ол арқылы

нүкте жылдамдығын және үдеуін өрнектеуге болады.

3.Жылдамдықтан уақыт бойынша бірінші туындысын алып үдеуді уақыттың

функциясы ретінде анықтаймыз.

4.Берілген уакыттың мәнін өрнекке қойып жылдамдықтың және үдеудің

сандық мәндерін табамыз.

5.Жылдамдық және үдеу үшін масштаб алып табылған шамалардың

векторларын тұрғызамыз. Үдеудің векторын түрғызу үшін оны нормаль және

жанама үдеуге бөлу керек.

Сурет 4. №4 есебінің схемасы.

Кесте 4

№4 есебінің варианттарының берілгені.

№4 есебіне мысал:

Есептің шарты: Механизм 1; 2; 3 сатылы дөңгелектерден, тісті рейка 4 және 5 жүктен тұрады (сурет 4.1). Дөңгелектердің радиустары сәйкесінше : r₁ = 20мм; R₁=40 мм; r₂ =60 мм; R₂=80 мм; г₂ = 120 мм; R₃ =160 мм. Рейканың қозғалыс заңы берілген S₄ = 9t-5t², мұндағы S-см, t-секундпен. t₁ =3,2 с уақыт моменті үшін анықтау керек: ω₃, V_4, Е_3, а_4, а_5, Рейканың қозғалысының оң бағыты - төмен.

Сурет 4.1. №4 есептің мысалына есептеу схемасы.

Шешуі:

1.Дөңгелектің сыртқы құрсауындада жаткан нүктенің жылдамдығын R радиуске сәйкес индексімен , ал ішкі құрсауындағы - г аркылы белгілеуге шарттасылған.Рейканың жылдамдығын қозғалыс заңынан уақыт бойынша бірінші туынды ретінде анықтаймыз:

V₄ = dS₄/dt=9-10t (см/с) (1)

2.Рейкамен 2-ші дөңгелектің сыртқы құрсауы іліністе болғандықтан ,V₂=V₄=9-10t (см/с), олай болса 2-ші дөңгелектің бұрыштық жылдамдығы:

w₂= V₂/ R₂=1/R₂*(9-10t) (c^-1) (2)

Бұрыштық жылдамдық мәні дөңгелектің барлық нүктелері үшін бірдей болғандықтан , 2-ші дөңгелектің ішкі құрсауының сызықтық жылдамдығы:

U₂= w₂* r₂= r₂/R₂*(9-10t) (см/с) (3)

Екінші дөңгелектің ішкі құрсауымен 3-шідөнгелектің сыртқы құрсауы іліністе болғандықтан , олардың айналу жылдамдықтары тең, демек

V₃ = U₂ = r₂/R₂*(9-10t) (см/с) (4)

олай болса 3-ші дөнгелектің бұрыштық жылдамдығы:

w₃= V₃/ R₃= r₂/R₂ R₃*(9-10t) (c^-1) (5)

осы арқылы 3-ші дөңгелектің ішкі құрсауының айналу жылдамдығын анықтаймыз.

Бірінші дөңгелектің сыртқы құрсауының айналу жылдамдығы да олармен іліністе болғандықтан осы мәнге сәйкес болады:

V₁=U₃= r₂ r₃/ R₂ R_3*(9-10t) (см/с) (6)

Бірінші дөңгелектің бұрыштық жылдамдығы келесі түрде анықталады:

w₁= V₁/ R₁= r₂ r₃ /R₂ R₃R₁*(9-10t) (c^-1) (7)

Осы жылдамдық бойынша 1-ші дөңгелектің ішкі құрсауының айналу жылдамдығын және 5 жүктің жылдамдығын анықтаймыз.

Бірінші дөңгелектің ішкі құрсауының айналу жылдамдығын және 5-ші жүктің жылдамдықтары тең болғандықтан осы жылдамдық бойынша анықтаймыз:

V₅=U₁=w₁ r₁ = r₂ r₃ r₁ / R₂ R₃ R_1*(9-10t) (см/с) (8)

w₃ - тен уақыт бойынша бірінші туынды алып анықтаймыз:

e₃= -10 r₂/R₂ R₃ (c^-2) (9)

Тап осылай А нүктесінің жанама үдеуін және 5-ші звеноның үдеуін табамыз:

a_А^t= dV₃/dt=-10 r₂/R₂ (см/c²) (10)

a₅= dV₅/dt=-10 r₂ r₃ r₁ / R₂ R₃ R₁ (см/c²) (11)

А нүктесінің нормаль үдеуі келесі өрнектен анықталады :

a_Аⁿ= V₃²/R₃ = r₂²/R₂² R_{3 *}(9-10t) ² (см/c²) (12)

ал осы нүктенің толық үдеуі:

(13)

(1), (5), (9), (10),(11), (12), (ІЗ) теңдеулерге берілген шамалардың сандық мәнін бір өлшем бірлікте қойып , сәйкесінше табатынымыз:

V₄ = 9-10*3,2=-23 (см/с)

w₃= 6/ 8*16= (9-10*3.2)=-1,08 (c^-1)

e₃= -10 *6/ 8*16=-0,469 (c^-2)

a₅= -10 *6*12*2/ 8*16*4=-2,81 (см/c²)

a_А^t= -10*6/8=-7,5 (см/c²)

a_Аⁿ= 6²/8² _*16_*(9-10*3,2) ² =18,6 (см/c²)

(см/c²)

Жылдамдықтар және үдеулер векторларын тұрғызу үшін алатынымыз;

- жылдамдықтар масштабын μ_v =0,13

- үдеулер масштабын μ_а =0,13

Олай болса жылдамдықтар және үдеулер векторлары:

a_А^t= 1 см

a_Аⁿ= 2,5см

a_А= 2,7см

a₅= - 0,37см

V₄ = -3 см

Есеп №5