Формулы и обозначения для модели очередей D – с ограниченным размером источника

D – вероятность того, что единица будет ожидать в очереди;

F – коэффициент эффективности;

Н – среднее число обслуженных единиц;

J – среднее число обрабатываемых единиц;

L – среднее число единиц, ожидающих обслуживания;

М – число каналов обслуживания;

N – число потенциальных клиентов;

Т – среднее время обслуживания;

U – среднее время между единицами, поступающими на обслуживание;

W – среднее время ожидания в очереди единицы;

X – сервисный показатель.

Для расчета мы выполняем четыре шага.

1. Рассчитываем Х (сервисный показатель, где ).

2. Находим X и соответствующее М (где М – число каналов обслуживания).

3. Устанавливаем соответственно D и F.

4. Рассчитываем L, W, J, H или что-либо другое, необходимое для измерения работы системы обслуживания.

ПРИМЕР 5

Раисе определялось, что каждый из пяти лазерных компьютерных принтером в департаменте энергетики (DOE) требует ремонта после примерно 20 часов работы. Поломки определяю]с» распределением Пуассона. Один техник может отремонтировать принтер м среднем за два часа и соответствии с экспоненциаль­ным распределением. Поломка принтера обходится и $ 120 / 4, техникам платят $ 25 / 4. Должен ли департамент энергетики принять второго техника?

Предположим, второй техник может чинить принтер в среднем за два часа. Считаем, что ограниченный источник равен пяти принтерам, чтобы сравнить затраты одного или двух техников:

1) отмечаем, что Т = 2 ч и U = 20 ч;

2) тогда = 2 / 22 = .091 (округляем до .090);

Этот анализ показал, что, имея только одного техника на дежурстве, мы получим малую экономию в размере нескольких долларов в час ($ 105.20 – 101.80 = $ 3.40).

ОБОБЩЕНИЕ

Очереди являются важной частью мирового операционного менеджмента. В этой главе мы описали ряд систем очередей и представили математические модели для их анализа.

Модель, иллюстрируемая одноканальной, однофазной систе­мой с пуассоновым распределением появления заявок и экспонен­циальным временем обслуживания,— это модель А; модель В — многоканальный эквивалент модели А; модель С характеризуется постоянным временем обслуживания; модель D — с ограничен­ным размером источника появления заявок. Все четыре модели связаны с пуассоновым распределением заявок, дисциплиной обслуживания («первым пришел — первым ушел») и с однофаз­ным сервисом. Типичными операционными характеристиками рассматривают среднее время ожидания в очереди и в системе, среднее число заявок в очереди и в системе, время простоя и коэффициент использования системы.

Отметим, что существует набор моделей очередей, для кото­рых все требования традиционных моделей не удовлетворяются. В этих случаях мы используем более сложные математические мо­дели или методы, называемые моделированием Монте-Карло.

Лекция 3.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ОЧЕРЕДЕЙ

Многие экономические задачи связаны с системами массового обслужи-вания, в которых происходит удовлетворение требований на выполнение каких-либо услуг. Исследованием систем массового обслуживания зани-маетс теория очередей, на начальное развитие которой оказали особое влияние труды датского ученого А. К. Эрланга (1878-1929) в области про-ектирования и эксплуатации телефонных станций.

Общая схема системы массового обслуживания показана на рис 33.

Требование на обслуживание(например, неисправный автомобиль) посту-пает в обслуживающую систему (автомастерскую). Если есть свободные каналы обслуживания (мастера), то требование выполняется. Если все кана-лы заняты, то требование ставится в очередь по определенным правилам

или покидает систему не обслуженным. Основная задача теории массового обслуживания сводится к определению оптимального соотношения между

входным потоком требований и числом обслуживающих каналов, при котором общие суммарные затраты минимальны. Общие суммарные затраты складываются из затрат обслуживания и затрат ожидания, причем по мере увеличения сервиса затраты обслуживания увеличиваются, а затраты

ожидания уменьшаются. (см. рис. 3.1).

Рис. 3.1. Виды затрат в теории очередей

Систему массового обслуживания можно описать, задавая следующие ее компоненты:

1. входной поток требований,

2. дисциплину очереди;

3. механизм обслуживания.

Входной поток требований характеризуется вероятностным законом распределения моментов поступления требований в систему и количеством требований в каждом поступлении. В настоящее время теоретически наи-более разработаны и удобны в практических приложениях методы решения

таких задач теории очередей, в которых поток требований является прос-тейшим (пуассоновским). (см. рис. 3.2).

Рис. 3.2.Закон Пуассона графически

Простейший поток событий обладает тремя свойствами:

А) стационарностью — постоянным количеством событий в ед. времени;

Б) отсутствием последействия — независимостью количества событий после любого момента времени от количества событий до него;

В) ординарностью — практической невозможностью одновременного

поступления нескольких требований.

Для простейшего потока частота наступления событий подчиняется закону Пуассона, т. е. вероятность того, что за время t произойдет а событий, определится по формуле:

где X — количество событий в единицу времени (интенсивность потока).

Вероятность выхода из строя одной установки (а = 1) при отказе в среднем в единицу времени двух установок. Вероятность отсутствия вышедших из строя установок за любой случайный час —1 3 % , вероятность выхода из строя одной установки — 2 7 % ,двух — 2 7 % , трех — 1 8 % , четырех— 9% и т. д. (рис. 34).

Различают следующие виды систем массового обслуживания. В зави-симости от условий ожидания требованием начала обслуживания различают СМО с отказами и с ожиданием.

В системах с отказами требования, поступающие в момент, когда все каналы обслуживания заняты, получают отказ и утрачиваются. В системах с ожиданием требование, застав все обслуживающие каналы занятыми, ста-вится на очередь вплоть до освобождения любого из каналов. Системы, допускающие очередь, но с ограниченным числом требований в ней, назы-ваются системами с ожиданием и ограниченной длиной очереди. Системы, допускающие очередь, но с ограниченным сроком пребывания каждого требования в ней, называются системами с ограниченным временем ожи-дания. Системы массового обслуживания, допускающие очередь,но с ограниченным числом циркулирующих в системе требований, называются системами с ограниченным потоком требований. По числу каналов обслу-живания различают одноканальные и многоканальные системы.

По числу фаз обслуживания — однофазные и многофазные (последова-тельная обработка требований на нескольких каналах).

Мы будем рассматривать СМО С НЕОГРАНИЧЕННОЙ ДЛИНОЙ ОЧЕРЕДИ. Эти системы предполагают ограниченное число каналов об-служивания в системе и неограниченную возможность для образования очереди требований, поступающих на обслуживание. Каждый канал может выполнять только одну работу. Если в момент поступления очередного требования все каналы заняты, то оно становится в очередь и ожидает

начала обслуживания. В систему поступает простейший (пуассоновский) поток требований с параметром X. Время обслуживания каждого требования является случайной величиной, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром m .

В целом, можно сказать, что данная СМО имеет следующий вид:

Ожидание Обсуживание

Рассмотрим следующий пример. Пусть под погрузку поступает в сред- нем 3 автомобиля в час. ( a=3). Грузчик Федя может загрузить 4 автомобиля в час. (m = 4). Нужен ли второй грузчик – Маня? Зарплата водителей равна 60 руб. в час., грузчика – 30 руб. в час. Рассчитать параметры СМО при од-

ном и двух грузчиках. Для решения построим следующую таблицу.

Обоз. велич.	Наименование	Формула расчета	грузч.	грузч.

При наличии двух мастеров время пребывания в очереди существенно сокращается и суммарные затраты меньше.Следовательно, целесообразнее иметь двухканальную систему, чем одноканальную.

Задание 1. Определить оптимальное число причалов промышленного речного порта, принимающего сыпучие материалы. Поток поступления барж простейший с параметром 0,5 ш т . / с у т к и . Время разгрузки одной баржи подчинено экспоненциальному закону распределения с параметром 0,5 шт./сутки. Цена оборудования одного причала 100 000 руб., текущие затраты на содержание работающего причала 400 руб./сутки, а простаивающего — 200 руб./сутки, приведенные затраты на содержание груженой баржи

1000 руб./сутки. Если груз с момента прибытия ожидает более двух суток, то условия его разгрузки усложняются и связаны с дополнительными затратами в 600 руб.

. Задание 2. Определить оптимальное число станков в мастерской, если цена одного станка 20 000 руб., среднее время обработки одного комплекта деталей 4 ч, текущие затраты на обслуживание работающего станка 5 р у б . / ч , а неработающего — 3 р у б . / ч , содержание запаса деталей0,2 руб./ч. на один комплект, среднее число деталей, поступающих в обработку 2 комп-лекта/ч. Статистический анализ показал, что поток комплектов деталей является простейшим, а время обработки распределено по экспоненци-альному закону.

Таблица 62

Задание 3. На заводе имеется 5 испытательных стендов готовых изделий. Статистическим обследованием установлено, что поток готовых изделий — пуассоновский с параметром а=5 ш т . / ч , а время испытания — случайное и распределено по показательному закону с параметром 4 ш т . / ч .Если все стенды заняты, то изделия ожидают испытаний в порядке очереди. Ограни-чений на длину очереди нет. Требуется оценить работу системы, если цена одного стенда 2000 руб., текущие расходы на обслуживание работающего

стенда 30, а стоящего 20 руб./сутки, приведенные затраты на содержание ожидающих изделий 10 руб./сутки. Рассмотреть целесообразность сокра-щения числа стендов.

СИСТЕМА С ПОСТОЯННЫМ ВРЕМЕНЕМОБСЛУЖИВАНИЯ

Пример 4. Грузовики ожидают разгрузки на складе 15 мин. Простой гру-зовика в очереди обходится в 60 руб./ч. Покупка нового автопогрузчика позволит сократить процесс разгрузки до 5 мин (и = 12 автомобилей в час). В среднем на складе пребывает X = 8 автомобилей в час. Затраты на аморти-зацию нового погрузчика составляют 3 руб. на разгрузку. Оценить параметры системы.

Р е ш е н и е .

1. Средняя длина очереди:

156 157

L =

Вывод. Заказчик практически никогда не получит отказа в обслуживании,

но и загрузка машин будет очень мала.

СИСТЕМА С ОГРАНИЧЕННЫМ ПОТОКОМ ТРЕБОВАНИЙ

Система состоит из л обслуживающих каналов. Каждый из них может одновременно обслуживать только одно требование. В систему поступает простейший (пуассоновский) поток требований с параметром а. Если в момент поступления очередного требования в системе на обслуживании

уже находится не меньше л требований (все каналы заняты), то это требо-вание ставится на очередь и ждет начала обслуживания. Требования на обслуживание поступают от m обслуживаемых объектов, т. е. поток поступающих требований ограничен. Время обслуживания каждого требования является случайной величиной, которая подчиняется экспо-ненциальному закону распределенияс параметром ц.

160 161

Та блица 63

162 163

Таблица 64

Задание 6. Участок технологического процесса включает прокатный стан и агрегат резки. На стан поступает поток заготовок, который можно считать пуассоновским спараметром а=60 ш т . / ч ; перед станом и перед агрегатом резки допускается образование очереди заготовок, ожидающих обработки. Длина заготовок меняется, что приводит к изменению времени их обработки на агрегатах. Статистический анализ показал, что время занятости стана и

агрегата резки характеризуется экспоненциальным законом распределения с параметрами 120 ш т . / ч и 75 ш т . / ч. соответственно. Требуется оценить работу участка, если цена стана1 млн. руб., агрегата резки — 200 ООО руб., текущие затраты на обслуживание работающего и стоящего агрегата на стане

200 р у б . / ч и 120 руб./ч, а на агрегате резки — 25 руб./ч и 5 р у б . / ч соответственно. Затраты на содержание запаса металла 0,5 руб./шт. х ч.

Рассмотреть влияние производительности агрегата резки на экономии-ческую оценку работы участка.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1. Определить оптимальное число контролеров, проверяющих продукцию на конечном этапе сборочного конвейера. Если подошедшее по конвейеру изделие застает всех контролеров занятыми, то оно проходит без

контроля. Статистическое обследование показало, что поток изделий на конвейере — простейший с параметром а = 0,5 шт./мин. Время контроля одного изделия случайное и распределено по экспоненциальному закону с параметром 0,25 шт./мин. Затраты на оснащение рабочего места контро-лера— 500 руб.; текущие затраты на работу одного контролера— 30 руб./сутки; потери у потребителя изделий отвозможного получения брака 50 руб. Годовой фонд времени работы контролеров — 6000 ч.

Задание 2. На конвейере возле операции с нестандартным временем вы-полнения установлено бункерное устройство. Если изделие, подошедшее на конвейере, застает рабочего занятым обработкой предшествующего изделия, то оно встает в очередь (попадает в бункер). Поток изделий —пуассоновский с параметром 0,5 шт./мин. Время обработки изделия распределено по экспоненциальному закону с параметром 0,5 шт./мин.

Оценить работу на указанной операции и выбрать оптимальный пара-

метр для з а к о н а распределения времени обработки. Ценой оборудования на рабочем месте можно пренебречь.Текущие затраты на рабочем месте рав-няются 20 р у б . / ч . Приведенные затраты на содержание изделий в бун-

кере — 5 р у б . / ч на одно изделие. Изменение средней пропускной способ-ности операции на 0,05 шт./мин сопровождается изменением текущих затрат на 1 руб./ч и затрат на содержание изделий в бункере на 0,5 р у б . / ч на одно

изделие.

Задание3. Рабочий обслуживает 20 станков. Сам устраняет мелкие неис-правности и производит наладку станков. Статистическим обследованием установлено, что моменты выхода станков из строя образуют поток, близкий к простейшему, с параметром 2 ш т . / ч , а время устранения неисправностей — случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону с параметром 3 ш т . / ч . Если рабочийзанят ремонтом станка, то очередной станок, вышедший из строя, ожидает ремонта в порядке очереди.

Требуется оценить работу станков, приняв цену станка— 1000 руб., текущие затраты на работающий станок —10 руб./сутки, а на стоящий — 5руб./сутки, оплата труда рабочего составляет 5 р у б . / с у т к и .

Задание 4. Рассмотреть работу участка технологического процесса, включающего операции осмотра и упаковки. Поступает поток изделий, который можно считать пуассоновским с параметром 200 ш т . / с у т к и . Длительность осмотра и упаковки изменяется в зависимости от габаритов и

массы изделий. Закон распределения длительности имеет экспоненциальный вид с параметрами 300 и 200 ш т . / с у т к и соответственно перед первой и второй операциями.Требуется оценить работу системы, если ценой обору-дования можно пренебречь, текущие затраты на операциях при работе

15 р у б . / ч , а при простое 10 р у б . / ч , затраты на содержание изделий в очереди перед первой и второй операциями 40 руб./шт. х ч, фонд времени работы системы 6000 ч. Рассмотреть влияние интенсивности входного потока на экономическую оценку работы системы.