Нехай задана послідовність чисел

Ряд

(1)

називається степеневим рядом. Числа - коефіцієнти степеневого ряду. Покладемо в (1) , отримаємо числовий ряд

(2)

Якщо числовий ряд збіжний, то про степеневий ряд (1) говорять, що він збігається в точці .

Означення. Множина значень , для яких ряд (1) збігається називається областю збіжності степеневого ряду.

Структура області збіжності степеневого ряду обгрунтовується за допомогою теореми Абеля.

Теорема (Абеля). 1) Якщо степеневий ряд (1) збіжний в точці ( ), то він абсолютно збіжний для всіх , що .

Якщо степеневий ряд розбіжний в точці , то він розбігається для всіх значень таких .

Доведення. 1) Згідно з умовою теореми при отримаємо збіжний ряд (2), для якого згідно з необхідною ознакою збіжності

.

А це означає, що всі члени цього ряду є обмеженими, тобто існує число таке, що для всіх

. (3)

Розглянемо тепер ряд із абсолютних величин ряду (1)

(4)

.

Відповідно до нерівності (3) запишемо новий ряд

(5)

Позначимо . Згідно умови теореми , тому . Отже, ряд (5) є сумою нескінченно спадної геометричної прогресії, а, значить, збіжний. За ознакою порівняння ряд (4) теж збігається.

Друга частина теореми доводиться від супротивного. Подальше доведення опускаємо.

За допомогою теореми Абеля вияснимо область збіжності степеневого ряду (1). Для цього розглянемо додатний ряд (4), до якого застосуємо ознаку Даламбера:

,

Позначимо через останню границю, тобто

, (6)

яку назвемо радіусом збіжностіЗгідно теореми Абеля степеневий ряд збігається абсолютно для всіх

.

Отже частиною області збіжності є інтервал . Щоб отримати повністю всю область збіжності степеневого ряду необхідно окремо дослідити збіжність рядів в точках

і .

Приклад. Знайти області збіжності степеневих рядів.

.

Розв’язання. 1. Знайдемо радіус збіжності , тобто ряд абсолютно збігається в інтервалі .

Перевіримо збіжність в точках .

При маємо За ознакою Лейбніца , ряд збіжний.

При маємо - гармонійний розбіжний ряд. Отже, областю збіжності даного степеневого ряду є .

2. , . За формулою (6) .

Отже, степеневий ряд збігається на всій числовій осі.

3. , , . : - ряд розбіжний.

Аналогічно, розбіжний для .Отже, область збіжності .

Приклади. Знайти область збіжності кожного з поданих рядів.

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .

Відповіді: 1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. . 7. .

8. .

Ряд Маклорена

Нехай функція нескінченно раз неперервно диференційовна. Припустимо, що її можна представити у вигляді степеневого ряду

(1)

Поклавши в (1) , знайдемо

.

Щоб знайти , продиференціюємо почленно ряд (1). Це можна зробити, бо в області збіжності степеневі ряди можна диференціювати. Отримаємо

(2)

При .

Аналогічно знайдемо інші коефіцієнти

(3)

При і т.д.

.

Підставляючи значення коефіцієнтів в (1) отримаємо ряд Маклорена

(4)

Умова збіжності ряду Маклорена до функції , яка його породжує, дається теоремою.

Теорема. Якщо функція і всі її похідні обмежені на деякому інтервалі одним і тим же числом , тобто

то ряд Маклорена абсолютно збіжний в цьому інтервалі.

Розглянемо розвинення деяких функцій в степеневі ряди.

Знаходимо

……………………………

……………………………

За формулою (4) маємо

(5)

Радіус збіжності ряду (5) ми знайшли в попередньому параграфі. Рівність (5) виконується для .

За допомогою рівності (5) ми обчислили значення числа . Підставляючи в (5) , можна знайти значення . Таким же чином складається таблиця значень .

Знайдемо

, , , , ,…

, , , , ,…

(6).

Аналогічно знаходиться

(7)

знаходимо

, ,

, ,

, ,

, ,…

За формулою (4) отримуємо

(8)

Можна довести, що інтервал збіжності ряду (8) (-1,1).

Приклади. Розвинути в ряд Макларена функції та вказати проміжки збіжності отриманих рядів.

1. .

2. .

3. .

4. .	5. .
6. .	7. .
8. .	9. .
10. .

Відповіді: 1. .

2. .

3. .

4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. .

10.

Деякі застосування рядів

Шляхом розвинення функцій в степеневі ряди можна знаходити границі деяких функцій, обчислювати наближено значення функцій, обчислювати значення коренів, обчислювати визначені інтеграли, які “не беруться” і т.п.

Приклади. Обчислити

1. , 2. , 3. , 4. , 5. .

Розв’язання. 1. Покладемо в рівність (6) x = 1 отримаємо:

Поскільки ряд знакопереміжний, то похибка не перевищує першого члена, який відкидаємо. В першому параграфі цього розділу ми мали

; ; .

Тому ,

де похибка не перевищує 0,0002.

Більш точне значення .

2.

Поскільки ,

то ,

при цьому похибка не перевищує 0,0002.

3. .

Покладемо в рівність (8) , отримаємо

.

Поскільки ряд знакопереміжний і то знаходимо наближено

.

з похибкою 0,001.

4. Скористаємось розвиненням

тоді

.

5.

Поскільки ,

то

з похибкою меншою ніж 0,002.