Електричний коливальний контур 1 страница

Коливальним контуром називають електричний ланцюг, який складається зі з’єднаних між собою конденсатора й котушки індуктивності. (Рисунок 17.1),

Для спрощення математичних викладок розглядатимемо ідеальний коливальний контур – це контур, у якому не відбувається втрат електромагнітної енергії під час здійснення електричних коливань. В ідеального коливального контуру електричний опір відсутній (R=0).

Власні електромагнітні коливання (явище)

1. Знайомство з явищем.

Якщо конденсатор коливального контуру зарядити (Рисунок 17.2) й від’єднати від джерела електричного струму за допомогою перемикача (перемкнути з положення 1 у положення 2), то в контурі виникнуть електричні коливання, які можна спостерігати за допомогою осцилографа.

Рисунок 17.2 До пояснення виникнення електричних коливань.

2. Визначення. Періодичну зміну значень заряду, сили струму й напруги називають електричними коливаннями.

Періодичну зміну електричних і магнітних полів називають електромагнітними коливаннями.

3. Умови виникнення явища. Коливання виникають за умови: а) наявність коливального контуру; б) у початковий момент потрібно надати енергію до коливального контуру, це можна зробити двома способами або на початку зарядити конденсатор коливального контуру, або за допомогою змінного магнітного поля створити ЕРС індукції в котушці коливального контуру.

Рисунок 17.3 Графіки електричних коливань утворених шляхом зарядки конденсатора

4. Математичний опис. Диференціальне рівняння власних електромагнітних коливань, що виникають у контурі має вигляд

, де .

Його розв’язок можна знайти графічно й аналітично. Причому вид графіків і рівнянь залежить від способу збудження коливань. При збудженні коливань зарядкою конденсатора графіки мають такий вигляд (Рисунок 17.3), а рівняння коливань такі:

q = Q₀cosωt; u = U₀cosωt; i = -I₀sinωt.

У разі збудження коливань створенням ЕРС індукції в котушці коливального контуру графіки мають вигляд (Рисунок 17.4), а рівняння коливань такі:

q = Q₀sinωt; u = U₀sinωt; i = I₀cosωt.

Де q – миттєве значення заряду; u – миттєве значення напруги; i– миттєве значення сили струму; Q₀ – амплітудне значення заряду U₀ - амплітудне значення напруги; I₀ – амплітудне значення сили струму; w - циклічна частота.

Рисунок 17.4 Графіки електричних коливань утворених шляхом індукування ЕРС в котушці коливального контуру

* Миттєві значення фізичних величин (сили струму, напруги, заряду) – це їхні значення в даний момент часу, тобто це змінні з часом величини.

* Амплітудні значення фізичних величин (сили струму, напруги, заряду) – це їхні максимальні значення.

Амплітудні значення фізичних величин незатухаючих електромагнітних коливань не залежать від часу.

5. Пояснення явища на основі закону збереження енергії.

Виведення диференціального рівняння власних коливань

Різниця потенціалів на обкладинках конденсатора завжди дорівнює ЕРС самоіндукції:

, оскільки , а , то маємо ,

Рисунок 17.5 Перетворення енергії у коливальному контурі.

де q - заряд однієї з пластин конденсатора в даний момент, а i - сила струму в котушці в той же момент. Сила струму i зумовлена тільки перетіканням заряду конденсатора з однієї обкладинки на іншу; тому . Тоді наведену вище рівність можна переписати у вигляді або . Якщо позначити , то маємо

або

17.2 Перетворення енергії в коливальному контурі. Виведення диференціального рівняння власних коливань. Формула Томсона

Перетворення енергії в коливальному контурі

Роздивимося рисунок 17.5.

Рисунок 17.5, 1) у момент часу t = 0 заряджають конденсатор – у середині конденсатора утворюється електричне поле з енергією W_Cmax.

Рисунок 17.5, 2) протягом часу від 0 до Т/8 конденсатор розряджається через котушку. У котушці з’являється електричний струм, який створює магнітне поле в котушці. Сила струму в котушці не наростає миттєво, оскільки йому протидіє ЕРС самоіндукції.

Таким чином енергія електричного поля конденсатора W_C поступовопереходить в енергію магнітного поля котушки W_L.

Рисунок 17.5 3) у момент часу t = Т/4 конденсатор повністю розряджається. Напруга на ньому відсутня. Але внаслідок явища самоіндукції, через котушку тече максимальний струм І₀. Тобто вся енергія електричного поля конденсатора W_Cmax перетворилася в енергію магнітного поля котушки W_Lmax. Далі сила струму в котушці починає зменшуватися, але його миттєвому зменшенню знову-таки протидіє ЕРС самоіндукції. Тобто тепер котушка відіграє роль джерела електричного струму, що заряджає конденсатор до початкового заряду; при цьому знак заряду на пластинах конденсатора стає протилежним попередньому.

Рисунок 17.5 4) у момент часу t = Т/2 вся енергія магнітного поля котушки перетворилася на енергію електричного поля конденсатора.

Далі процес повторюється.

Таким чином, для електромагнітних коливань виконується закон збереження енергії. W_Cmax = W_L + W_C = W_Lmax;

.

Формула Томсона

1. Період електромагнітних коливань залежить від індуктивності й ємності коливального контуру.

2. Визначення. Період власних електромагнітних коливань – це час одного повного електромагнітного коливання в коливальному контурі.

3. Період власних електромагнітних коливань – це скалярна величина.

4. , де L – індуктивність котушки контуру; С – ємність конденсатора контуру. Ця формула дістала назву формули Томсона, на честь видатного англійського фізика У. Томсона, який отримав її вперше.

5. [T] = с (Секунда).

17.3 Диференціальне рівняння затухаючих електричних коливань та його розв’язок. Вимушені електричні коливання, їх диференціальне рівняння

Диференціальне рівняння затухаючих електричних коливань та його розв’язок.

У реальному контурі мають місце такі втрати енергії:

1) теплові втрати, оскільки R≠0;

2) втрати в діелектрику конденсатора;

3) гістерезисні втрати в осерді котушки;

4) втрати на випромінювання та інше.

Через ці втрати коливання затухають.

Диференціальне рівняння затухаючих електричних коливань має вигляд:

, а його розв’язок .

У даних рівняннях q – заряд конденсатора коливального контуру, Q₀ – амплітуда заряду на початку затухаючих коливань, - коефіцієнт затухання, - циклічна частота затухаючих коливань, φ₀ – початкова фаза коливань..

Вимушені електричні коливання, їх диференціальне рівняння.

1. Якщо розглядати коливальний контур, то для отримання вимушених коливань потрібно включити послідовно з елементами контуру змінну ЕРС або, розірвавши контур, подати змінну напругу U=U₀cosw.

2. Визначення. Вимушені електричні коливання – це електричні коливання, які виникають під дією змінної ЕРС.

3. Умови виникнення: а) існування коливального контуру; б) наявність джерела змінного струму, приєднаного до контуру.

4. Диференціальне рівняння вимушених коливань в коливальному контурі має вигляд: , розв’язок цього рівняння такий

.

У даних рівняннях q – заряд конденсатора коливального контуру, - коефіцієнт затухання, Q₀ – амплітуда заряду вимушених коливань, - циклічна частота вимушених коливань, φ₀ – початкова фаза коливань, U₀ – амплітуда напруги вимушених коливань, L - індуктивність коливального контуру.

Рисунок 17.6 Графік миттєвої потужності вимушених електричних коливань.

5. Пояснення явища. Від джерела змінної ЕРС у коливальний контур безперервно надходить енергія, миттєва потужність якої p=iu. У початковий момент енергія, що надходить у коливальний контур, частково перетвориться в енергію коливань, що виникають у контурі, а частково необоротно перетвориться в тепло, що розсіюється в просторі. Миттєва потужність, необоротно перетвореної в тепло енергії, дорівнює p_q=i²R. Під час збільшення амплітуди електромагнітних коливань збільшується величина сили струму в контурі. Зі збільшенням струму зростає енергія, що надходить у контур, й енергія, яка необоротно перетворена в тепло.На рисунку 17.6 приведені графіки зміни миттєвої потужності енергії, що надходить у контур (р), і потужності необоротно перетвореної енергії (p_q). Тому що миттєва потужність енергії, що надходить у контур, пропорційна силі струму, а потужність необоротно перетвореної енергії пропорційна квадрату сили струму, то в деякий момент часу вся енергія, що надходить у контур, буде необоротно перетворюватися в теплоту (точка В на рисунку 17.6), відтепер амплітуда коливань у контурі збільшуватися не буде. У контурі встановлюються стаціонарні вимушені коливання, частота яких дорівнює частоті змінної ЕРС.

17.4 Резонансні криві коливального контуру. Характеристичний (хвилевий) опір контуру.Добротність коливального контуру

Резонансні криві коливального контуру

1. Знайомство з явищем. Якщо частота коливань змінної напруги, яку підводять до коливального контуру (Рисунок 17.7), співпадає з власною частотою електричних коливань у контурі, то амплітуда коливань сили струму різко зростає. Це явище використовують у радіо й телевізійних приймачах для налаштування каналів.

2. Визначення. Різке зростання амплітуди вимушених коливань струму в коливальному контурі при співпадінні частоти зовнішньої змінної напруги з власною частотою коливального контуру називають резонансом струмів.

*Прийнято називати резонанс, що виникає при послідовному з’єднанні котушки з конденсатором резонансом напруг, а резонанс, що виникає при паралельному з’єднанні котушки з конденсатором, резонансом струмів. Ми розглянемо резонанс струмів.

Рисунок 17.7 Резонансні криві коливального контуру

3. Умови виникнення явища: а)наявність коливального контуру; б) існування зовнішньої змінної напруги, яка утворює вимушені коливання в коливальному контурі; в) власна частота коливального контуру ω₀ повинна збігатися з частотою коливань зовнішньої змінної напруги ω.

4. Математичний опис. Резонанс наступає тоді, коли частота змінної напруги ω, що підводять до коливального контуру, збігається з власною частотою коливань коливального контуру ω₀ .

При електричному резонансі , тому з формули маємо , де L – індуктивність котушки контуру; С – ємність конденсатора, а R – електричний опір контуру.

5. Пояснення явища. При резонансі індуктивний і ємнісний опори коливального контуру стають однаковими й компенсують один одного, тому амплітуда коливань сили струму в контурі І₀ буде залежати тільки від напруги, що подається до коливального контуру U₀ і його активного опору R тобто . Оскільки активний опір у коливального контуру може бути малим, то амплітуда сили струму в контурі стає великою.

Графік залежності амплітуди коливань від частоти (рисунок 17.7) називають резонансними кривими.

*При резонансі коливальна система отримує максимальну енергію від зовнішнього джерела змінного струму.

*Зі збільшенням електричного опору коливального контуру амплітуда резонансних коливань сили струму зменшується. Так на малюнку 24 крива 1 відповідає коливальному контуру з мінімальним опором, а крива 3 – з максимальним.

Характеристичний (хвилевий) опір контуруρ

1. Характеристичне опір ρ є кількісною мірою оцінки енергії, запасеної реактивними елементами контуру - котушкою (енергія магнітного поля W_L) і конденсатором (енергія електричного поля W_С)

2. Визначення. Характеристичним (хвилевим) опором контуру ρ називається величина реактивного опору ємності й індуктивності контуру на резонансній частоті.

3. Це скалярна величина.

4. Характеристичний опір може бути обчислено таким чином: .

Рисунок 17.8 До пояснення добротності контуру.

5. [ρ] = Ом

Добротність коливального контуру Q

1. Добротність коливального контуру - характеристика, що визначає амплітуду й ширину амплітудно-частотних характеристик резонансу (Рисунок 17.8) й показує, у скільки разів запаси енергії в контурі більше, ніж втрати енергії за один період коливань.

2. Визначення. Добротністю називають відношення енергії, запасеної реактивними елементами контуру, до енергії омічних (резистивних) втрат за період коливань.

3. Це скалярна величина.

4. , де R, L і C - опір, індуктивність і ємність резонансного ланцюга.

5. [Q] = 1.

Запитання до лекції №17

1. Напишіть диференціальне рівняння гармонійних електричних коливань в коливальному контурі та його розв’язок.

2. Від чого залежить власна частота гармонійних електричних коливань у коливальному контурі? Напишіть відповідну формулу.

3. Напишіть, як змінюється різниця потенціалів з часом на конденсаторі в ідеальному коливальному контурі.

4. Покажіть, як змінюється сила струму із часом в ідеальному коливальному контурі.

5. Як змінюється з часом енергія електричного поля конденсатора при гармонійних коливаннях у коливальному контурі?

6. Як змінюється з часом енергія магнітного поля катушки індуктивності при гармонійних коливаннях у коливальному контурі?

Лекція 18. Механічні хвилі

18.1 Механічні хвилі. Рівняння плоскої хвилі. Хвильове число

Механічні хвилі (явище)

1. Знайомство з явищем. Якщо у воду кинути камінець, то навколо нього утворюються хвилі. Смикаючи вгору вниз кінець шнура, також можна спостерігати плоску хвилю. Звук теж являється хвилею, що поширюється в пружних середовищах.

2. Визначення. Явище поширення механічних коливань у пружних середовищах називають механічними хвилями.

Рисунок 18.1 Графічне зображення плоскої хвилі.

Пружне середовище - це середовище, що складається з великої кількості зв’язаних одна з одною частинок.

3. Умови виникнення явища: а) наявність джерела механічних хвиль (тіла, що здійснює коливання в пружному середовищі); б) наявність пружного середовища (у вакуумі механічні хвилі не поширюються).

4. Математичний опис. У одновимірному випадку хвильове рівняння записується так: , де х – зміщення точок хвилі, r - відстань від джерела до точки спостереження (просторова координата), t - час, v - фазова швидкість поширення хвилі.

Розв’язок хвильового рівняння - це рівняння плоскої хвилі , де А - амплітуда коливань точки хвилі, ω - циклічна частота коливань джерела хвиль, v - швидкість поширення хвилі, k – хвильове число.

5. Пояснення явища. Тверді, рідкі й газоподібні тіла можна розглядати як середовища, що складаються з окремих, зв’язаних силами зв’язку, частинок. Збудження коливань частинок в одному місці викличе вимушені коливання сусідніх частинок, а ті, у свою чергу, викликають коливання наступних і т.д. Частота коливань усіх частинок однакова, а фаза змінюється.

Швидкість зміни фази коливань, або фазова швидкість хвилі, залежить від властивостей середовища.

Поширення хвиль пояснюють принципом Гюйгенса – Френеля.

Рисунок 18.2 До пояснення принципу Гюйгенса – Френеля.

Кожна точка середовища, до якої дійшло збудження, сама стає джерелом елементарних хвиль. Наступний фронт хвилі є результат накладання елементарних хвиль(Рисунок 18.2).

*Фронт хвилі – це геометричне місце точок, до яких дійшли коливання в момент часу t.

*Хвильова поверхня – це поверхня, на якій усі точки коливаються в однаковій фазі.

*Промінь – це лінія перпендикулярна хвильовій поверхні, уздовж якої поширюються хвилі.

Хвильове число k

1. Хвильове число – це один із параметрів хвилі.

2. Визначення Хвильове число – це кількість довжин хвилі, що поміщаються в 2π одиниць довжини.

3. Це скалярна величина.

4.

5. [k] = м^-1

18.2 Види хвиль. Характеристики хвиль. Властивості хвиль

Види хвиль. Існують три види хвиль: поперечні, повздовжні й поверхневі.

Рисунок 18.3 Поперечні й поздовжні хвилі.

Поперечні хвилі – це хвилі, у яких коливання частинок середовища здійснюються під прямим кутом до напрямку поширення хвилі (Рисунок 18.3а).

Поперечні хвилі поширюються тільки у твердих тілах. У рідинах і газах поперечні хвилі не виникають, тому що в цих середовищах при деформаціях зсуву не виникають сили пружності.

Поздовжні хвилі – це хвилі, у яких напрямок коливання частинок середовища співпадає з напрямком поширення хвилі (Рисунок 18.3б).

Поздовжні хвилі можуть поширюватися в будь-яких пружних середовищах.

Рисунок 18.4 Поверхневі хвилі.

Поверхневі хвилі – це не поздовжні й не поперечні хвилі. Вони поширюються на межі розподілу двох середовищ. Хвилі на воді - один із прикладів поверхневих хвиль. Якщо довжина хвилі менше за глибину водойми, то кожна частинка водяної поверхні рухається по колу, під поверхнею – по еліпсу, а біля дна відбуваються тільки поздовжній рух частинок води (Рисунок 18.4)

Основні характеристики хвиль

До основних характеристик хвиль відносять: фазу коливань точки хвилі, довжину хвилі λ; частоту хвилі u; період хвилі Т ; циклічну частоту ω.

Фаза коливань точки хвилі j (ф.в.)

1. Фаза коливань – це характеристика механічних коливань, яка визначає координату точки хвилі в даний момент часу.

2. Визначення. Фаза коливань – це аргумент періодичної функції sin, (або cos) у рівнянні механічних хвиль.

3. Це скалярна величина.

4. j= w(t+r/v).

5. [j] = рад

Циклічна частота коливань ω (ф.в.)

1. Циклічна частота - це характеристика механічних хвиль, яка показує на скільки змінюється фаза коливань точки хвилі з часом.

2. Визначення.Циклічна частота – це швидкість зміни фази, вона рівна кількості коливань точки хвилі за 2p секунд.

3. Це скалярна величина.

4. ; ω=2πu

5. [w] =рад/с

Період хвилі T (ф.в.)

1. Період хвилі - це характеристика хвиль.

2. Визначення. Період хвилі – це час одного повного коливання точок хвилі.

3. Період хвилі – це скалярна величина.

4. T=t/N, де t – час проходження хвиль повз спостерігача, N - кількість повних коливань точки хвилі, що пройшла повз спостерігача.

5. [T] = с (секунда).

Частота хвилі u (ф.в.)

1. Частота хвилі - це характеристика хвиль.

2. Визначення. Частота хвилі – це кількість коливань, що здійснюють точки хвилі за 1 секунду.

3. Частота хвилі – це скалярна величина.

4. u=N/t; u=1/T

5. [u] =1/с = Гц ( Герц )

6. Один герц – це частота, при якій за 1 с точки хвилі здійснюють 1 повне коливання.

Довжина хвилі l (ф.в.)

1. Довжина хвилі – це характеристика хвиль, яка показує на скільки поширюється хвиля за час рівний одному періоду хвилі.

2. Визначення. Довжина хвилі – це відстань між двома найближчими точками хвилі, що здійснюють коливання в однаковій фазі (Рисунок 18.5).

Рисунок 18.5 Довжина хвилі.

3. Довжина хвилі – це скалярна величина.

4.---

5. [l] = м (метр)

18.3 Властивості механічних хвиль. Хвильовий вектор. Фазова швидкість. Групова швидкість хвилі

Властивості механічних хвиль

1. Механічні хвилі переносять енергію.

2. Механічні хвилі не переносять речовину.

3. Механічні хвилі відбиваються від перешкод.

4. Механічні хвилі заломлюються при переході з одного середовища в інше.

5. Для механічних хвиль характерні явища: інтерференції, дифракції, дисперсії й поляризації.

6. Для механічних хвиль виконується принцип суперпозиції.

Визначення. Хвилі не взаємодіють, а накладаються одна на одну й після накладання їхні властивості не змінюються. Отже, хвилі просто накладаються, не обурюючи одна одну.

Хвильовий вектор

1. Хвильовий вектор – це один із параметрів хвилі, який визначає напрямок і характерний розмір періодичності монохроматичної плоскої хвилі.

2. Визначення. Хвильовий вектор - це градієнт фази хвилі φ.

3. Це векторна величина, напрямок якої перпендикулярний фазовому фронту біжучої хвилі.

4. - модульне значення хвильового вектора дорівнює хвильовому числу .

5. [k] = м^-1

Фазова швидкість хвилі v (ф.в.)

1. Фазова швидкість хвиль - це характеристика хвиль, яка характеризує швидкість поширення фази коливань у пружних середовищах. Це швидкість, що входить в рівняння біжучої хвилі.

2. Визначення. Фазова швидкість хвиль - це швидкість поширення коливань у пружному середовищі.

3. Фазова швидкість хвиль - це векторна величина.

4. v=λu; v=λ/T

5. [v] = м/с (метр на секунду)

*Довжина хвилі залежить від речовини й температури середовища, у якому вона поширюється.

*Частота хвилі задається джерелом і не залежить від властивостей середовища, тому в різних середовищах швидкість поширення однієї й тієї ж хвилі різна.

*В одному середовищі поперечні й поздовжні хвилі мають однакову фазову швидкість поширення.

Групова швидкість хвилі u

1. Групова швидкість - це величина, що характеризує швидкість поширення «групи хвиль».

Рисунок 18.6 До пояснення групової швидкості.

Групова швидкість вводиться для хвильового пакета - групи хвиль різних частот, що поширюються в одному й тому ж напрямку. Тільки хвильовий пакет може нести інформацію, оскільки нескінченна синусоїдальна хвиля сама по собі ніякої інформації передати не може - для цього потрібні якісь зміни, які можна уявити як розповсюдження хвильового пакета (Рисунок 18.6).

2. Визначення. Групова швидкість - це миттєва швидкість розповсюдження хвильового пакета.

3. Групова швидкість хвиль - це векторна величина.

4. Групова швидкість відрізняється від фазової швидкості в дисперсійному середовищі, тобто в середовищі з нелінійною залежністю хвильового вектора від частоти. У цьому випадку групова швидкість дорівнює зворотній похідній хвильового числа k від частоти ω:

У недисперсійному середовищі групова швидкість рівна фазовій u = v.

5. [u] = м/с (метр на секунду)

18.4 Енергія хвильового руху. Вектор Умова

Енергія хвильового руху має швидкість і густину поширення й описується такими характеристиками: потік енергії хвилі Ф_W, густина енергії хвиль w, густина потоку енергії j, вектор Умова.

Швидкість поширення енергії хвилі u

Поширення хвиль у пружному середовищі нерозривно пов’язане з процесом передавання енергії від одних ділянок середовища до інших. Саме тому при хвильовому русі об’ємна густина енергії w коливань у кожній точці середовища змінюється в часі.

Швидкість u поширення енергії хвилі дорівнює швидкості переміщення в просторі поверхні, яка відповідає максимальному значенню об’ємної густини енергії w. Рівняння поверхні має вигляд: