Гравитационное поле. Работа в гравитационном поле

Рассмотрим более подробно понятие поля сил. Опыт показыва-ет, что в случае гравитационных взаимодействий сила, действующая на тело (А) массой m со стороны окружающих тел (В), пропорцио-нальна массе. Эта сила может быть представлена в виде произведения двух величии:

F = Gm , (3.5.1)

где G − некоторый вектор (для гравитационных сил вблизи поверхно-сти Земли он совпадает с вектором ускорения свободного падения), зависящий как от положения тела (А) массой m, так и от свойств ок-ружающих тел (В).

Такое представление силы открывает возможность иной физи-ческой интерпретации взаимодействия, связанной с понятием поля. В этом случае говорят, что система тел (В) окружающих тело массой m создаетr в окружающем пространстве поле, характеризуемое вектором

G(rr).Иначе можно сказать,что в каждой точке пространства система

тел (В) является источником поля и создает такие условия, при кото-рых тело массой m , помещенное в это поле, испытывает действие си-лы (3.5.1). Причем считают, что поле существует безотносительно к тому, есть ли в нем тело (А) или нет. При переходе к переменным по-лям выясняется, что понятие поля имеет глубокий физический смысл:

поле есть физическая реальность.

Вектор G(rr) называют напряженностью поля. Если поле обра-

зовано несколькими источниками , результирующее поле равно сумме полей, созданных каждым из них. Это утверждение является одним из важнейших свойств полей и напряженность G результирующего поля в произвольной точке

r N r  
G =∑Gi . (3.5.2)
  i=1    


где Gri − напряженность поля соответствующего источника в этой же

точке, N − число источников поля.

Формула (3.5.2) выражает так называемый принцип суперпози-ции (или наложения) полей, который является отражением опытных фактов и дополняет законы механики.

Обратимся теперь к потенциальной энергии тела. Согласно формулам (3.4.1) и (3.5.1), можно записать

mGdrr= −dП. (3.5.3)  
Поделим обе части этого уравнения на m    
r r   П (3.5.4)  
Gdr = −d .  
  m    
и обозначив П/m = ϕ, получим        
Gdrr= − d (ϕ) (3.5.5)  
или проинтегрировав        
2 r r − ϕ2 . (3.5.6)  
Gdr =ϕ1  
       

Введенная величина ϕ(rr) называется потенциалом поля в точке с ра-

диус-вектором r .

Формула (3.5.6) позволяет найти потенциал гравитационного поля. Для этого достаточно вычислить интеграл по произвольному пути между точками 1 и 2 и представить затем полученное выражение в виде убыли некоторой функции, которая и есть потенциал ϕ(rr) . Так,

потенциал гравитационного ноля точечной массы m

ϕ= −G m . (3.5.7)
r  

Потенциал гравитационного поля является энергетической ха-рактеристикой поля . Потенциал поля тяготения − это скалярная вели-чина, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля, или работой по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность.

В случае , когда поле создается многими источниками, то ре-зультирующий потенциал равен



r N r (3.5.8)  
ϕ( r ) = ∑ϕi ( r ) ,  

i=1

где ϕi − потенциал, создаваемый i − телом в данной точке поля; N − число источников поля.

Потенциал, как и потенциальная энергия, может быть определен только с точностью до прибавления некоторой произвольной посто-янной , также совершенно несущественной. Поэтому ее обычно опус-кают, полагая равной нулю. Таким образом, поле можно описывать

или в векторном виде G(rr) , или в скалярном ϕ(r ) . Оба способа экви-

валенты.   Определим работу, совершаемую сила-  
      2  
  dr α ми гравитационного поля Земли при переме-  
1 dS r2 щении в нем материальной точки массой m.  
  β При перемещении материальной точки на рас-  
     
r F   стояние dS совершается работа    
    dA = FdS = FdS cosα = Fdr . (3.5.9)  
    R    
      На некотором расстоянии r, согласно  
  3    
       
  Рис. 3.5.1 закону всемирного тяготения, на тело дейст-  
  вует сила    
           
        F = γ M Зm . (3.5.10)  
           
          r2    

Гравитационное поле. Работа в гравитационном поле - student2.ru Подставляя (3.5.10) в (3.5.9) и интегрируя в пределах от r1 до r2 , получим

r r   r dr   mM З   mM З    
A =∫2 dA = −∫2 γ M Зm dr = −γM Зm ∫2 = −(γ − γ ) . (3.5.11)  
r2 r2    
r1 r1 r2 r1     r1  

Знак «минус» появляется потому , что направления перемещения и силы противоположны. Из формулы (3.5.10) вытекает, что затрачен-ная работа в поле тяготения не зависит от траектории перемещения, а определяется лишь начальным и конечным положением материальной точки . Следовательно, силы тяготения являются консервативными си-лами,а поле тяготения является потенциальным.Сравнивая(3.5.11)с(3.4.1) получим, что потенциальная энергия в поле тяготения Земли равна

П = −γ Mm . (3.5.11)
r  

Наши рекомендации