Гравитационное поле. Работа в гравитационном поле

Рассмотрим более подробно понятие поля сил. Опыт показыва-ет, что в случае гравитационных взаимодействий сила, действующая на тело (А) массой m со стороны окружающих тел (В), пропорцио-нальна массе. Эта сила может быть представлена в виде произведения двух величии:

F = Gm ,

(3.5.1)

где G − некоторый вектор (для гравитационных сил вблизи поверхно-сти Земли он совпадает с вектором ускорения свободного падения), зависящий как от положения тела (А) массой m, так и от свойств ок-ружающих тел (В).

Такое представление силы открывает возможность иной физи-ческой интерпретации взаимодействия, связанной с понятием поля. В этом случае говорят, что система тел (В) окружающих тело массой m создает_r в окружающем пространстве поле, характеризуемое вектором

G(r^r).Иначе можно сказать,что в каждой точке пространства система

тел (В) является источником поля и создает такие условия, при кото-рых тело массой m , помещенное в это поле, испытывает действие си-лы (3.5.1). Причем считают, что поле существует безотносительно к тому, есть ли в нем тело (А) или нет. При переходе к переменным по-лям выясняется, что понятие поля имеет глубокий физический смысл:

поле есть физическая реальность.

Вектор G(r^r) называют напряженностью поля. Если поле обра-

зовано несколькими источниками , результирующее поле равно сумме полей, созданных каждым из них. Это утверждение является одним из важнейших свойств полей и напряженность G результирующего поля в произвольной точке

r	N	r
G =∑Gi .	(3.5.2)
	i=1

где G^r_i − напряженность поля соответствующего источника в этой же

точке, N − число источников поля.

Формула (3.5.2) выражает так называемый принцип суперпози-ции (или наложения) полей, который является отражением опытных фактов и дополняет законы механики.

Обратимся теперь к потенциальной энергии тела. Согласно формулам (3.4.1) и (3.5.1), можно записать

mGdrr= −dП.	(3.5.3)
Поделим обе части этого уравнения на m
r r		П	(3.5.4)
Gdr	= −d	.
	m
и обозначив П/m = ϕ, получим
Gdrr= − d (ϕ)	(3.5.5)
или проинтегрировав
2 r	r	− ϕ2 .	(3.5.6)
∫Gdr =ϕ1

Введенная величина ϕ(r^r) называется потенциалом поля в точке с ра-

диус-вектором r .

Формула (3.5.6) позволяет найти потенциал гравитационного поля. Для этого достаточно вычислить интеграл по произвольному пути между точками 1 и 2 и представить затем полученное выражение в виде убыли некоторой функции, которая и есть потенциал ϕ(r^r) . Так,

потенциал гравитационного ноля точечной массы m

ϕ= −G m .	(3.5.7)
r

Потенциал гравитационного поля является энергетической ха-рактеристикой поля . Потенциал поля тяготения − это скалярная вели-чина, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля, или работой по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность.

В случае , когда поле создается многими источниками, то ре-зультирующий потенциал равен

r	N	r	(3.5.8)
ϕ( r ) = ∑ϕi ( r ) ,

i=1

где ϕ_i − потенциал, создаваемый i − телом в данной точке поля; N − число источников поля.

Потенциал, как и потенциальная энергия, может быть определен только с точностью до прибавления некоторой произвольной посто-янной , также совершенно несущественной. Поэтому ее обычно опус-кают, полагая равной нулю. Таким образом, поле можно описывать

или в векторном виде G(r^r) , или в скалярном ϕ(r ) . Оба способа экви-

валенты.		Определим работу, совершаемую сила-
			2
	dr α	ми гравитационного поля Земли при переме-
1	dS r2	щении в нем материальной точки массой m.
	β	При перемещении материальной точки на рас-
r	F		стояние dS совершается работа
			dA = FdS = FdS cosα = Fdr .	(3.5.9)
		R
			На некотором расстоянии r, согласно
	3
	Рис. 3.5.1	закону всемирного тяготения, на тело дейст-
	вует сила
				F = γ	M Зm	.	(3.5.10)
					r2

Подставляя (3.5.10) в (3.5.9) и интегрируя в пределах от r₁ до r₂ , получим

r	r		r	dr		mM З		mM З
A =∫2 dA = −∫2	γ M Зm dr = −γM Зm ∫2	= −(γ	− γ	) . (3.5.11)
r2	r2
r1	r1	r2	r1			r1

Знак «минус» появляется потому , что направления перемещения и силы противоположны. Из формулы (3.5.10) вытекает, что затрачен-ная работа в поле тяготения не зависит от траектории перемещения, а определяется лишь начальным и конечным положением материальной точки . Следовательно, силы тяготения являются консервативными си-лами,а поле тяготения является потенциальным.Сравнивая(3.5.11)с(3.4.1) получим, что потенциальная энергия в поле тяготения Земли равна

П = −γ Mm .	(3.5.11)
r