Застосування принципу можливих переміщень до визначення реакцій опор складеної конструкції

1. Можливим переміщенням механічної системи називається будь-яка сукупність нескінченно малих переміщень точок системи, які допускаються в даний момент усіма накладеними на систему в’язями.

Можливі переміщення повинні задовольняти двом умовам:

- вони повинні бути нескінченно малими, тому що при кінцевих переміщеннях система перейде в інше положення, де умови рівноваги можуть бути іншими;

- вони повинні бути такими, щоб всі накладені в даний момент часу на систему в’язі зберігалися, інакше може змінитися вид розглядуваної механічної системи.

При стаціонарних в’язях, тобто в’язях, які не залежать від часу, дійсне переміщення збігається з одним з можливих переміщень .

При нестаціонарних в’язях дійсне переміщення не збігається з жодним з можливих переміщень.

2. Число незалежних між собою можливих переміщень механічної системи називається числом ступенів вільності цієї системи.

Число ступенів вільності для тіла, або системи тіл, визначається як різниця між числом рівнянь рівноваги в вибраній декартовій системі координат для всіх тіл системи і числом накладених в’язей.

Для плоского розташування тіл і системи сил:

S=3n-k. (1)

Для просторового розташування тіл і системи сил:

S=6n-k, (2)

де S– число ступенів вільності системи;

n - число тіл в системі;

k – число накладених в’язей.

3. Можливою роботою сили називається робота сили на одному з можливих переміщень точки її прикладання:

(3)

Ідеальною називається в’язь, сума робіт сил реакцій якої на будь-якому можливому переміщенні точок системи дорівнює нулю, тобто:

або . (4)

де – реакція в’язі, що діє на i-ту точку системи;

– можливе переміщення i-тої точки системи;

n– число матеріальних точок системи.

Якщо сума можливих робіт реакцій в’язей відрізняється від нуля, то в’язь називається неідеальною

4. Принцип можливих переміщень формулюється так: для рівноваги механічної системи з утримуючими стаціонарними ідеальними в’язями необхідно і достатньо, щоб алгебраїчна сума можливих робіт всіх активних сил, прикладених до системи, на будь-якому можливому переміщенні системи дорівнювала нулю:

(5)

Умову рівноваги механічної системи називають також рівнянням можливих робіт.

5.Принцип можливих переміщень ефективний при розв’язуванні задач про рівновагу системи твердих тіл. Такі системи не мають жодного ступеня вільності. Якщо треба визначити яку-небудь реакцію ідеальної в’язі, то слід, застосовуючи принцип звільнення від в’язей, відкинути відповідну в’язь і замінити її дію шуканою реакцією в’язі, яку в подальшому вважаємо активною силою. При цьому механічна система, що звільнена від однієї в’язі, отримує один ступінь вільності.

Надають системі можливе переміщення, яке відповідає цьому ступеню вільності і встановлюють зв'язок між можливими переміщеннями тіл системи.

Складають рівняння можливих робіт усіх сил (заданих сил і шуканої сили реакції в’язі) на відповідних можливих переміщеннях точок їх прикладання і цю суму прирівнюють до нуля. З отриманого рівняння визначають шукану реакцію.

1. В’язі і еквівалентні їм схеми в’язей і реакції

№пп	Вид в’язі	Еквівалентна схема в’язі і реакції
	Жорстке защемлення .

	Нерухомий циліндричний шарнір
	Рухомий циліндричний шарнір

Приклади виконання завдання Д-15

Задача 1(рис.1).

Застосовуючи принцип можливих переміщень, визначити реакції опор складеної конструкції, що зображена на рис.1. Усі розміри на рисунку задані в метрах. Навантаження: q=1 кН/м, P₁=2кН, P₂=3кН, M=4кН·м.

Розв’язання.

1. Замінимо рівномірно розподілене навантаження зосередженою силою, прикладеною в середині завантаженої ділянки (рис.1):

кН.

2. Визначення (рис.2).

Для визначення горизонтальної складової жорсткого защемлення замінимо жорстке защемлення в точці А повзуном в горизонтальних напрямних, жорстко скріпленим з тілом АС, і прикладемо до нього реакцію . Надамо лівій частині конструкції можливе переміщення – поступальне переміщення вправо. Поворот повзуна в напрямних неможливий. Можливі швидкості точок В і С правої частини конструкції напрямлені по горизонталі. Миттєвий центр обертання тіла ВС знаходиться в нескінченності. Тіло ВС здійснює миттєвий поступальний рух. Складемо рівняння можливих робіт, яке виражає принцип можливих переміщень:

Звідки кН.

Знак «мінус» показує, що горизонтальна складова жорсткого защемлення напрямлена в протилежну сторону.

3. Визначення (рис.3).

Для визначення вертикальної складової жорсткого защемлення відкинемо в’язь, яка перешкоджає вертикальному переміщенню точки А, замінивши жорстке защемлення повзуном А в вертикальних напрямних, жорстко з’єднаним з тілом АС, і прикладемо до нього реакцію . Надамо лівій частині конструкції можливе переміщення – поступальне переміщення вверх. Права частина конструкції буде здійснювати плоский рух, а точка В буде миттєвим центром обертання.

Знайдемо залежність між можливими переміщеннями і :

, або

Складемо рівняння можливих робіт, яке виражає принцип можливих переміщень:

.

Підставимо замість його значення

,

звідки кН.

4. Визначення (рис.4).

Для визначення реактивного момента відкинемо в’язь, що перешкоджає повороту тіла АС, замінивши жорстке защемлення нерухомим циліндричним шарніром і моментом . Надамо системі можливе переміщення, повернувши АС навколо шарніра А на кут за стрілкою годинника. Права частина конструкції буде здійснювати плоский рух, а точка О буде її миттєвим центром обертання. Знайдемо залежність між можливими переміщеннями і :

З подібності трикутників АDС і СВО, випливає:

Складемо рівняння можливих робіт, яке виражає принцип можливих переміщень:

Підставимо замість його значення .

,

звідки кН·м

5. Визначення (рис.5).

Для визначення реакції рухомої шарнірної опори В відкинемо цю в’язь, замінивши її дію реакцією . Можливим переміщенням правої частини конструкції є її поворот навколо шарніра С на кут , ліва частина конструкції залишається нерухомою. Складемо рівняння можливих робіт, яке виражає принцип можливих переміщень:

,

звідки кН.

6.Перевірка правильності розв’язання задачі. (рис.6).

Відповідь: = -4,60 кН; =2,33 кН; =2,40 кН·м; =1,17 кН.

Задача 2 (рис.1).

Застосовуючи принцип можливих переміщень, визначити реакції опор складеної конструкції, що зображена на рис.1. Усі розміри на рисунку задані в метрах. Навантаження: =2 кН, =3кН, М=5кН·м.

Розв’язання.

1. Визначення (рис.2).

Для визначення горизонтальної складової реакції шарнірної опори А відкинемо в’язь, яка перешкоджає горизонтальному переміщенню точки А, замінивши в’язь в точці А повзуном в горизонтальних напрямних і реакцією . Надамо конструкції можливе переміщення: повернемо ВС на кут навколо нерухомого шарніра В; можливі швидкості точок А і С напрямлені по горизонталі вправо. Миттєвий центр обертання ланки АС знаходиться в нескінченності. Тіло АС здійснює миттєвий поступальний рух. Знайдемо залежності між можливими переміщеннями і : .

Складемо рівняння можливих робіт, яке виражає принцип можливих переміщень:

.

Підставимо замість його значення

.

звідки кН.

2. Визначення (рис.3).

Замінимо нерухомий циліндричний шарнір А повзуном в вертикальних напрямних і реакцією . Надамо складеній конструкції можливе переміщення: повернемо ВС на кут

навколо нерухомого шарніра В; можлива швидкість точки С напрямлена по горизонталі вправо, а можлива швидкість точки А – по вертикалі. Миттєвий центр обертання ланки АС знаходиться в точці О. Знайдемо залежності між можливими переміщеннями і : . Складемо рівняння можливих робіт, яке виражає принцип можливих переміщень:

Підставимо замість його значення

,

звідки кН.

3. Визначення (рис.4).

Складемо рівняння можливих робіт: , звідки кН.

4. Визначення (рис.5).

З подібності трикутників ОВС і АDС випливає: , . Залежність між можливими переміщеннями: Складемо рівняння можливих робіт:

,

,

кН.

5. Перевірка (рис.6).

Відповідь: = -1,0 кН; =-0,3 кН; = -1 кН; = 2,0 кН.

ДОНБАСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ   Секція «Теоретична механіка»     РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНА РОБОТА № 6   ДИНАМІКА Д-19 Застосування загального рівняння динаміки до дослідження руху механічної системи з одним ступенем вільності   Д-23 Дослідження вільних коливань механічної системи з одним ступенем вільності   Варіант №_________________ Виконав студент групи ___ __________________________ Перевірив_________________   Макіївка 2009

Короткі відомості з теорії і методичні вказівки,