Исследование колебаний упругой системы
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Цель работы:
1. Определение частоты собственных колебаний.
2. Ознакомление с явлением резонанса.
3. Определение коэффициента затухания колебаний.
4. Определение амплитуды вынужденных колебаний при резонансе.
Общие сведения
Если упругую систему отклонить от положения статического равновесия, а затем предоставить самой себе, то система придет в колебательное движение благодаря наличию внутренних упругих сил. Такие колебания называются свободными или собственными.
В качестве упругой системы исследуется консольная балка с грузом на свободном конце (рис. 1). Круговая частота свободных колебаний упругой системы, то есть число колебаний за 2p секунд, определяется по формуле
где g – ускорение при свободном падении тела; Dcm – статическое перемещение точки приложения груза.
В этом случае статическое перемещение балки (рис. 1) определяется по формуле
где Q = Q1+ bQ2, Q1 – вес мотора с эксцентриками; Q2 – вес балки; b – коэффициент приведения массы балки (в нашем случае b=0,25);
l – расстояние от заделки до колеблющегося груза; Е – модуль Юнга материала; 
–момент инерции поперечного сечения балки.
Вынужденными называются колебания упругой системы, вызываемые действием возмущающих сил. Возмущающая сила представляет собой центробежную силу инерции, возникающую вследствие вращения неуравновешенных масс эксцентриков. Возмущающая сила представляет собой периодическую силу, изменяющуюся во времени по закону синуса или косинуса. Частота вынужденных колебаний равна частоте возмущающей силы. Круговая частота возмущающей силы, а следовательно, и частота вынужденных колебаний Q, определяется по формуле
где n – число оборотов в минуту вала мотора.
Амплитуда вынужденных колебаний равна
где Smax – амплитудное значение возмущающей силы; m – масса колеблющегося груза; h – коэффициент затухания колебаний, который определяется опытным путем по формуле
где Ai и Ai+1 – две последовательные амплитуды колебаний, замеренные на графике свободных колебаний при учете затухания; 
– период свободных колебаний.
Для получения более точных результатов нужно измерять по графику движения не амплитуды Ai, а размахи Ri = 2Ai (рис. 2, а).
Среднее значение коэффициента затухания определяется по формуле
где k – число периодов между Ri и Ri+k размахами.
Когда частоты свободных и вынужденных колебаний совпадают (w = Q), имеет место явление резонанса.
При резонансе амплитуда вынужденных колебаний равна (рис. 2, б)
Описание установки
Экспериментальная установка состоит из двух основных частей (рис. 1):
а) колеблющейся упругой системы;
б) записывающего устройства.
Упругая система представляет собой стальную консольную балку 1, на свободном конце которой установлен электромотор 2.
Скорость вращения электромотора может во время опыта изменяться с помощью реостата, включенного в сеть. На валу мотора укреплены два эксцентрика 3 с массой mэ, при вращении которых возникает инерционная сила
где mэ – масса эксцентриков;
r – расстояние от центра тяжести эксцентриков до оси вращения.
Направление инерционной силы непрерывно меняется. Изгиб балки вызывается вертикальной составляющей этой силы, равной
Для записи колебаний перед балкой установлено записывающее устройство, состоящее из мотора, редуктора и барабана 4. Цилиндрический барабан вращается с постоянной угловой скоростью. Боковая поверхность барабана обернута миллиметровой бумагой. На конце консольной балки укреплен карандаш 5, который при помощи пружины прижимается к барабану.
Для записи графика свободных колебаний конец балки отклоняется от положения статического равновесия, а затем опускается, одновременно включается мотор барабана. Карандаш вычерчивает на бумаге траекторию движения конца балки относительно вращающегося барабана, то есть график свободных колебаний (см. рис. 2, а). Для исследования вынужденных колебаний включается мотор с эксцентриками. С помощью реостата можно изменять число оборотов мотора, а следовательно, и частоту вынужденных колебаний балки, приближая её к частоте свободных колебаний балки. Амплитуда колебаний достигает максимума в тот момент, когда наступает резонанс. При включении мотора барабана карандаш вычерчивает график резонансных колебаний (см. рис. 2, б). При дальнейшем вращении рукоятки реостата частота возмущающей силы становится больше частоты свободных колебаний балки и система выходит из состояния резонанса. Амплитуда колебаний при этом значительно уменьшается, балка практически перестает колебаться. Если уменьшить число оборотов мотора, то можно наблюдать процесс колебаний балки в обратном порядке.
Порядок выполнения работы
1. Выписать исходные данные экспериментальной установки (из таблицы, приложенной к установке).
2. Проверить правильность закрепления карандаша в оправе.
3. Наклеить бумагу на барабан.
4. Записать график свободных колебаний балки. Для этого:
а) отклонить конец балки вниз на 20-25 мм и резко отпустить;
б) одновременно включить мотор вращения барабана;
в) выключить мотор в момент прекращения колебаний балки.
5. Записать график вынужденных колебаний балки. Для этого:
а) включить мотор с эксцентриками;
б) путем плавного поворачивания рукоятки реостата найти положение, при котором размахи колебаний будут наибольшими (резонанс);
в) включить мотор вращения барабана;
г) рукояткой реостата вывести систему из резонанса, увеличивая или уменьшая число оборотов мотора;
д) выключить мотор вращения барабана;
е) вывести рукоятку реостата в нулевое положение;
ж) выключить мотор с эксцентриками,
з) разрезать и снять бумагу с барабана.
6. Определить теоретическое значение частоты свободных колебаний балки по формуле (1).
7. Определить опытное значение частоты свободных колебаний балки по графику колебаний (см. рис. 2, а). Для этого:
а) определить окружную скорость вращения барабана по формуле
,
где d – диаметр барабана; t – время полного оборота барабана;
б) выделить из графика свободных колебаний балки (рис. 2, а) участок произвольной длины l1 (2-3 см) и определить время t1, в течение которого карандаш прошел путь l1
;
в) найти техническую частоту 
свободных колебаний балки по формуле
;
где n1 - число колебаний на длине участка l1;
г) определить круговую частоту свободных колебаний балки по формуле wоп = 2p .
8. Сопоставить теоретическое и опытное значения частот свободных колебаний балки и определить процент расхождения между ними
.
9. Определить коэффициент затухания колебаний для данной установки по формуле (5).
10. Определить теоретическое значение амплитуды вынужденных (резонансных) колебаний балки по формуле (6).
11. Определить опытное значение амплитуды вынужденных (резонансных) колебаний из графика (см. рис. 2, б).
12. Сопоставит теоретическое и опытное значения амплитуд вынужденных колебаний балки и определить процент расхождения между ними
.
13. Результаты исследований представить по прилагаемой форме.
ОТЧЕТ 17
Цель работы:…………………..…………………………………………………..
…………………………………………………………….…………………………
…………………………………………………………….…………………………
…………………………………………………………….…………………………
Схема установки
Размеры балки:
длина L = …………см;
ширина сечения b = …………см;
высота сечения h = ………….см.
Модуль Юнга материала Е = 200 ГПа.
Осевой момент инерции сечения балки
…………………..………=……………м4.
Вес мотора с эксцентриками Q1 = …………Н.
Вес балки Q2 = …………Н.
Статический прогиб балки от действия груза:
…………=……….м,
где Q = Q1+ bQ2, b = 0,25 - коэффициент приведения массы балки.
Теоретическое значение частоты собственных колебаний системы
………………=……………..с-1,
где g = 9,81 м/c2 - ускорение свободного падения.
Опытное значение частоты собственных колебаний системы
…………………..=…………………. с-1,
где S - участок произвольно длины на графике свободных колебаний;
n1 - число колебаний балки на длине S;
d - диаметр барабана;
t - время полного оборота барабана.
Процент расхождения между теоретическим и опытным значениями частот собственных колебаний системы
…………………100%=………………….%.
Опытное значение коэффициента затухания колебаний
…………………………=………………………,
где Ri и Ri+k - два последовательных размаха колебаний, замеренные на графике свободных колебаний с учетом затухания (рис. 1);
k - число периодов между Ri и Ri+k размахами.
Теоретическое значение амплитуды вынужденных (резонансных) колебаний балки
…………………………….=…………………….м.
где Smax - максимальная величина вертикальной составляющей инерционной силы;
m - масса мотора;
Q - частота возмущающей силы (частота вынужденных колебаний).
На рис.1 представить график свободных колебаний балки с учетом затухания и на рис.2 - график вынужденных (резонансных) колебаний балки.
 |
Рис.1
Опытное значение амплитуды вынужденных (резонансных) колебаний балки из графика (рис. 2)
Аоп =…………м.
Рис. 2
Процент расхождения между теоретическим и опытным значениями амплитуд вынужденных (резонансных) колебаний балки
=…………………..100% =……….%.
Выводы по работе…………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………….
Отчет принял
……………………………..