Распространение колебаний в упругой среде
Механические колебания, распространяющиеся в упругой среде (твердой, жидкой или газообразной), называются механическими или упругими волнами.
Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом или волной. Частицы среды, в которой распро-страняется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение. Они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь со-стояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн , независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.
В зависимости от направления колебаний частиц по отношению
к направлению, в котором распространяется волна, различают про-
дольные и поперечные волны.
Упругая волна называется продольной, если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны. Продоль-ные волны связаны с объемной деформацией растяжения − сжатия среды, поэтому они могут распространяться как в твердых телах, так и
в жидкостях и газообразных средах.
| Упругая волна называется поперечной, если колебания частиц | |||
| S | среды происходят в плоскостях, перпенди- | ||
| λ | кулярных к направлению распространения | ||
| υ | волны Поперечные волны могут возникать | ||
| только в такой среде, которая обладает уп- | |||
| ругостью формы, т. е. способна сопротив- |
x 
ляться деформации сдвига. Этим свойст-вом обладают только твердые тела.
λ На рис. 6.1.1 представлена гармони-
| x | ческая поперечная волна, распространяю- |
| Рис. 6.1.1 | щаяся вдоль оси 0х. График волны дает за- |
висимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны. Длина волны также равна тому расстоянию,на которое рас-пространяется определенная фаза колебания за период колебаний
| λ = υ T = | υ . | (9.1.1) |
| ν |
Колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси 0х, а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Геометриче-ское место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны. Фронт волны представляет собой ту по-верхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, назы-вается волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провес-ти через любую точку пространства, охваченного волновым процес-сом. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно вол-на в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество парал-лельных друг другу плоскостей, а в сферической − множество концен-трических сфер.
Уравнение плоской волны
Уравнением плоской волны называется выражение, которое да-ет смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат x, y, z и времени t
| S = S (x, y, z,t ). | (6.2.1) |
Эта функция должна быть периодической как относительно времени t, так и относительно координат x, y, z. Периодичность по времени вытекает из того, что смещение S описывает колебания час-тицы с координатами x, y, z, а периодичность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоянии, равном длине волны, колеблются одинаковым образом.
Предположим, что колебания носят гармонический характер, а ось 0х совпадает с направлением распространения волны. Тогда вол-новые поверхности будут перпендикулярны оси 0х и, поскольку все
точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение S бу-дет зависеть только от координаты х и времени t
| S = S(x, t). | (6.2.2). |
Рассмотрим некоторую частицу среды, находящуюся от источ-ника колебаний О на расстоянии х. Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0 имеют вид
| S (0;t )= A cos(ωt +ϕ0). | (6.2.3) |
Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению х. Для того, чтобы пройти путь от плоско-сти х = 0 до плоскости х, волне требуется время τ = x/υ. Следователь-но, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости х = 0 и описываться уравнением
| S ( x; t )= A cosω( t − τ)+ϕ | = A cos | ω t − | x | +ϕ | . (6.2.4) | |||||
| υ |
где А − амплитуда волны; ϕ 0 − начальная фаза волны (определяется выбором начал отсчета х и t).
Зафиксируем какое-либо значение фазы ω(t − x 
υ ) +ϕ 0 = const .
Это выражение определяет связь между временем t и тем местом х, в котором фаза имеет фиксированное значение. Продифференцировав данное выражение, получим
| dx | ||||||||
| ω dt − | dx | = 0 | ⇒ υ= | dt | . | (6.2.5) | ||
| υ | ||||||||
Таким образом, скорость распространения волны есть скорость пере-мещения фазы, и называется фазовой скоростью.
При υ > 0 волна распространяется в сторону возрастания х. Вол-на, распространяющаяся в противоположном направлении, описыва-ется уравнением
| x | |||||
| S ( x , t )= A cosω t + | +ϕ0 . | (6.2.6) | |||
| υ |
Придадим уравнению плоской волны симметричный относи-
тельно х и t вид. Для этого введем величину k = 2λπ , которая называ-
ется волновым числом, которое можно представить в виде
| k =2π= | 2 πν | = ω . | (6.2.7) | |||||
| λ | λν | υ | ||||||
| Тогда уравнение плоской волны будет иметь вид | ||||||||
| ω t − | ω | ⇒ | S (x;t )= Acos(ω t − kx +ϕ0). (6.2.8) | |||||
| S ( x;t )= Acos | υ | x +ϕ0 | ||||||
Мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х. Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия вол-ны не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника коле-баний постепенно уменьшается, т. е. наблюдается затухание волны. В однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному
закону A = A0 e−β x . Тогда уравнение плоской волны для поглощающей среды имеет вид
| S (x , t )= A e −βx cos(ωt − kx +ϕ). | (6.2.9) | |
Волновое уравнение
Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении, будет иметь вид
| S = Acos(ω t − k ⋅ rr+ϕ0), | (6.3.1) |
где rr − радиус-вектор, точки волны; k = k ⋅nr − волновой вектор; nr − единичный вектор нормали к волновой поверхности.
Волновой вектор −это вектор,равный по модулю волновомучислу k и имеющий направление нормали к волновой поверхности на-
| зывается. | |||
| Перейдем от радиус-вектора точки к ее координатам x, y, z | |||
| r | r | (6.3.2) | |
| k | ⋅ r = k x x + k y y + kz z . | ||
| Тогда уравнение (6.3.1) примет вид | |||
| S (x , y , z ; t )= A cos(ω t − k x x − k y y − k z z +ϕ0). | (6.3.3) |
Установим вид волнового уравнения. Для этого найдем вторые частные производные по координатам и времени выражение (6.3.3)
| ∂2S | r | r | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂t | = −ω Acos | ( ωt − k ⋅ r | +ϕ 0 ) = −ω S; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂2S | r | r | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂x | = − k x A cos( ω t − k | ⋅ r | +ϕ 0 ) = −k x S | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| . | (6.3.4) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂2S | r | r | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂y | = − k y A cos | ( ωt − k ⋅ r | +ϕ 0 ) = −k y S; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂2S | r | r | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂z | = − k z A cos( ω t − k | ⋅ r | +ϕ 0 ) = −k z S | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Сложив производные по координатам, и с учетом производной | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| по времени, получим | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂ | 2 | 2 | ∂ | 2 | ∂ | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||
| S2 | + ∂ | S2 | + | S2 | = − ( k x2 + k y2 + k z2 )S | = − k 2S = | k | S2 . | (6.3.5) | ||||||||||||||||||||||||||||
| ∂t | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂x | ∂y | ∂z | ω | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Произведем замену | k | = | ω2 | = | и получим волновое уравнение | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| ω | υ | ω | υ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂ 2 S | + | ∂ 2 S | + | ∂ 2 S | = | 1 ∂2S | или | S = | 1 ∂2S | , | (6.3.6) | ||||||||||||||||||||||||||
| ∂x 2 | ∂y 2 | ∂z 2 | υ 2 ∂t2 | υ2 ∂t2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| где = | ∂ 2 | + | ∂ 2 | + | ∂2 | − оператор Лапласа. | |||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂x 2 | ∂y 2 | ∂z2 |