Шетін және еріксіз тербелістер, олардың дифференциал теңдеулері. Еріксіз тербелістің амплитудасы мен фазасы, резонанс.

Тербелістердеп уақыт бойынша белглі бір қайталанушылықпен ерекшеленетін прцестерді айтады. Қайталанушылықтың мұндай қасиетіне мысалы, сағат маятнигінің тербелісі, шек тербелесі немесе, камертон аяқтары, радиоқабылдағыш контурындағы конденсатор орамалары арасындағы кернеу ие бола алады. Қайталанушы үрдістің физикалық табиғатына қарай тербелістер мынадай түрлерге бөлінеді: механикалық, электромагниттік, т.б.

Тербелуші жүйеге тигізетін әсерінің сипатына қарай еркін (немесе меншікті) тербелістер, еріксіз тербелістер, автотербелістер және параметрліктербелістерді кездестіреміз.

Ең қарапайым тербелістерге гармоникалық тербелістер жатады, яғни тербеліс кезінде тербелуші шама (мысалы маятниктің ауытқуы) уақыт өте келе синус пен косинус заңымен өзгереді. Тербелістердің бұл түрі әсіресе мына себептерге байланысты аса маңызды: біріншіден, тербелістер табиғатта және техникада гармониялық түрге өте жақын сипатта болады, және, екіншіден, бөтен формадағы периодтық үрдістер (уақытқа басқаша тәуелділіктегі) бірнеше гармониялық тербелістердің қабаттасуы ретінде көрінуі мүмкін.

Шетiн тербелiстер

Механикалық жүйенiң тербелмелi қозғалысында үйкелiс немесе кедергі күштерінің болатыны белгiлi. Осы күштерді жеңуге тербелмелi жүйе энергиясының белгiлi бiр бөлiгi жұмсалып отырады да, жүйенің толық энергиясы кемиді. Нәтижесінде тербелiс амплитудасы кеміп, тербеліс өшеді. Осындай тербелiстi өшетiн тербелiс деп аталады.

Бұл кездегi тербелмелi қозғалыс теңдеуi былай өрнектеледi:

-қайтарушы күш, _үйк кедергі ê¾øi, àë

,

екенiн ескерiп, жоғарыдағы өрнекті былай жазамыз:

немесе .

- белгiлеулерiн енгiзе отырып, өшетiн тербелiстiң дифференциалдық теңдеуiн аламыз:

.

мұндағы: b-өшу коэффициентi, w₀-жүйенiң меншiктi тербелiсiнiң циклдiк жиiлiгi,

b<w₀ - жағдайындағы ығысу шамасы:

,

мұндағы: -натурал логарифмнiң негiзi, -тербелiстiң бастапқы амплитудасы.

Өшетiн тербелiстердiң циклдiк жиiлiгi:

немесе .

Ерiксiз тербелiстер

Үйкелiс күшiнiң әсерiнен тербелiп тұрған жүйенiң тербелiсi бiрте-бiрте өше бастайды. Ал ендi тербелмелi жүйеге сырттан қосымша күшпен әсер ететiн болсақ, онда ол жүйе тербеле бастайды. Периодты сыртқы күштiң әсерiнен пайда болатын тербелiстi ерiксiз тербелiс деп атайды. Жүйеге әсер ететiн сыртқы күш (Ғ_с.к.) мына гармоникалық заңмен өрнектеледi:

,

мұндағы: Ғ₀- сыртқы күштiң амплитудасы, w- сыртқы күштiң циклдiк жиiлiгi.

Сырттан әсер ететiн күштiң жиiлiгi w, ал тербелiп тұрған жүйенiң жиiлiгiн w₀ десек, онда Ньютонның 2-шi заңы бойынша

немесе .

Осы өрнектiң екi жағын да m-ге бөлiп, белгiлеулерiн енгiзсек, ерiксiз тербелiстiң дифференциалдық теңдеуiн аламыз:

.

Теңдеудiң дербес шешiмі:

.

Бұл тербелiстiң амплитудасы мен фазасы:

және .

Егер сырттан әсер ететiн күштiң жиiлiгi (w) тербелiп тұрған жүйенiң меншікті жиiлiгiне (w₀) тең болса, онда ерiксiз тербелiстiң амплитудасы күрт артады. Оны амплитуданың соңғы формуласынан байқауға болады. Осы кезде байқалатын құбылысты, яғни амплитуданың өте тез артуын резонанс деп атайды.

Суретте 4-шi қисық өшу коэффициентi ең үлкен, 1-шi қисық ең кiшi болған жағдайдағы резонанстық графиктер берiлген.