РГР - 2 Кінематичний аналіз плоского важільного механізму

Умова завдання. Задана кінематична схема плоского важільного механізму (таблиця 2).

Потрібно:

1) Побудувати кінематичну схему механізму в заданому положенні.

2) Побудувати план швидкостей. Визначити швидкості точок А, В, S₂ механізму і кутові швидкості ланок 2 і 3.

3) Побудувати план прискорень. Визначити прискорення точок А, В і S₂ механізму і кутові прискорення ланок 2 і 3.

Додаткові умови: ведуча ланка - ланка ОА; кутова швидкість ведучої ланки w₁=const; розміри ланок дорівнюють ; точка S₂ знаходиться посередині ланки 2.

Таблиця 2

Таблиця 2 (продовження)

Таблиця 2 (продовження)

Таблиця 2 (продовження)

Приклад розв’язання РГР - 2

На рис.2.1 зображена кінематична схема плоского важільного механізму у заданому положенні.

Рис. 2.1

Дано: ОА – ведуча ланка, w1 – кутова швидкість ланки ОА; e1 – кутове прискорення ланки ОА; – задані розміри.   Потрібно: 1) Побудувати запропоновану кінематичну схему механізму в заданому положенні.   2) Побудувати план швидкостей. Визначити швидкості точок А, В, D механізму і кутові швидко-сті ланок 2 і 3.   3) Побудувати план прискорень. Визначити прискорення точок А, В і D механізму і кутові приско-рення ланок 2 і 3.

Розв'язок

1. Побудова кінематичної схеми механізму.

Для проведення кінематичного аналізу механізму побудуємо окремо його кінематичну схему в заданому положенні, користуючись умовним масштабом m _l (рис.2.2,а). *

2. Побудова плану швидкостей. Визначення швидкостей точок А, В, D механізму і кутових швидкостей ланок 2 і 3.

Побудову плану швидкостей виконуємо у послідовності:

- побудова векторів швидкостей особливих точок (за особливі точки приймаємо точки рухомого поєднання ланок, тобто пов’язані з кінематичними парами);

- побудова векторів швидкостей інших точок, що належать механізму і потребують визначення.

а) Визначимо швидкість точки А , як точки, яка належить кривошипу ОА, що обертається навколо нерухомого центра О з кутовою швидкістю w₁:

, (м/с) (2.1)

Вектор перпендикулярний до кривошипа ОА і спрямований в бік його обертання. Швидкість зображаємо на плані швидкостей в масштабі m _v відрізком ра, приймаючи ра = 50¸60 мм. Тоді масштабний коефіцієнт швидкостей обчислимо за допомогою (2.2):

, (2.2)

Із довільної точки р, прийнятої за полюс плану швидкостей, відкладаємо перпендикулярно до ланки ОА вектор (рис.2.2,б). Цей вектор є вектором швидкості .

б) Визначимо швидкість точки В, яка належить кінематичній парі, що з’єднує ланки 2 і 3. Запишемо 2 векторних рівняння:

, (2.3)

де

Розв’язуємо систему рівнянь (2.3) графічно. Для цього через точку а проведемо пряму, перпендикулярну до АВ, а через точку с, яка збігається з полюсом р, проведемо пряму, перпендикулярну до ВС. На перетині цих перпендикулярів відмічаємо точку в. Вектор зображає абсолютну швидкість точки В. Напрям швидкості визначається напрямком вектора . Вектор зображає швидкість точки В у відносному обертанні навколо точки А.

в) Швидкість точки D знайдемо з векторних рівнянь:

. (2.4)

Розв’язуємо цю систему рівнянь графічно. Через точку а проведемо пряму, перпендикулярну до DА, а через точку в – пряму, перпендикулярну до DB. На перетині цих перпендикулярів відмічаємо точку d. Вектор відображає абсолютну швидкість .

План швидкостей побудовано.*

г) Використовуючи план швидкостей, знаходимо величини швидкостей точок і кутових швидкостей ланок.

Лінійні швидкості точок, (м/с):

(2.5)

Кутові швидкості ланок 2 і 3 , (рад/с):

(2.6)

Визначимо напрями кутових швидкостей w₂ і w₃. Для цього умовно переносимо вектор в точку В і розглянемо рух точки В відносно точки А. Знаходимо, що w₂ спрямована за годинниковою стрілкою. Аналогічно, переносимо вектор в точку В і розглянемо рух точки В відносно точки С. Бачимо, що w₃ також спрямована за годинниковою стрілкою. Наносимо ці напрями кутових швидкостей на план механізму (рис.2.2,а).

3. Побудова плану прискорень. Визначення прискорень точок А, В, D механізму і кутових прискорень ланок 2 і 3.

Побудову плану прискорень виконуємо у послідовності:

- побудова векторів прискорень особливих точок (точки рухомого поєд-нання ланок);

- побудова векторів прискорень інших точок, що належать механізму і потребують визначення.

а) Визначимо прискорення точки А , як точки, яка належить кривошипу ОА, що обертається з миттєвою кутовою швидкістю w₁ і кутовим прискоренням e₁.

Повне прискорення точки А дорівнює геометричній сумі нормального та тангенціального прискорень:

(2.7)

Модулі цих прискорень знайдемо за формулами:

(м/с²) (2.8)

(м/с²) (2.9)

Зображаємо прискорення відрізком pn₁. Приймаємо pn₁=70¸80мм. Тоді масштабний коефіцієнт прискорень:

, (2.10)

З довільної точки p, прийнятої за полюс плану прискорень, відкладаємо вектор , спрямований паралельно ланці ОА від точки А до точки О. Через точку n₁ проводимо вектор , який в масштабі зображає прискорення . Довжину відрізка n₁а знаходимо за формулою:

, (мм) (2.11)

Цей вектор, перпендикулярний до ОА, і спрямований за напрямком кутового прискорення e₁. З’єднавши прямою точки p і а, отримаємо вектор . Цей вектор є вектором повного прискорення точки А.

б) Визначимо прискорення точки В, як точки, яка належить водночас ланкам 2 і 3, що виконують плоско-паралельний рух.*

Запишемо два векторних рівняння:

(2.12)

Прискорення а_С=0, тому що точка С нерухома.

Величини нормальних прискорень обчислюються за формулами:

(м/с²); (м/с²) (2.13)

В прийнятому масштабі ці прискорення зобразимо відрізками аn₂ і pn₃.

Величини цих відрізків дорівнюють:

, (мм); , (мм) (2.14)

Розв’язуємо систему (2.12) графічно. З точки авідкладаємо відрізокаn₂, який зображає вектор . Відрізок аn₂ проводимо паралельно до ланки АВ в напрямі від точки В до точки А. Через точку n₂ проводимо перпендикулярно до АВ пряму, по якій буде спрямований вектор . Відповідно другому рівнянню системи (2.12) з полюса p паралельно ВС в напрямі від В до С відкладаємо відрізок pn₃. Через точку n₃ перпендикулярно до ВС проводимо пряму, по якій буде спрямований вектор до перетину в точці в з прямою, по якій спрямований вектор . Відрізок pв зображає вектор прискорення точки В. Відрізки n₂в і n₃в – тангенціальні прискорення , . З’єднавши прямою точки а і в, отримаємо відрізок ав, що зображає вектор .

в) Прискорення точки D знаходиться побудовою , подібного і з подібним розташуванням вершин, тому що теорема подібності, сформульована для плану швидкостей, справедлива і для плану прискорень.

З плану прискорень визначаємо величини прискорень, (м/с²):

(2.15)

г) Величини кутових прискорень e₂ і e₃ знаходимо з формул:

, (рад/с²) ; , (рад/с²) (2.16)

Визначаємо напрями кутових прискорень e₂ і e₃. Умовно перенесемо вектор в точку В і розглянемо рух точки В навколо точки А. Виходячи з цього, знаходимо, що прискорення e₂ спрямовано проти ходу годинникової стрілки. Перенесемо вектор в точку В і розглянемо її рух навколо точки С. Бачимо, що e₃ спрямовано також проти ходу годинникової стрілки. Наносимо ці кутові прискорення на план механізму (рис.2.2,а).

Графічна частина

Рис.2.2