Свойства средней арифметической

Метод исчисления средней арифметической обладает рядом математических свойств, которые используются в статистике для упрощения техники расчетов. Важнейшие из этих свойств следующие:

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты средней:

Свойства средней арифметической - student2.ru (6.5)

Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна 0:

Свойства средней арифметической - student2.ru (6.6)

Если все осредняемые варианты увеличить или уменьшить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно увеличится или уменьшится на ту же величину

Свойства средней арифметической - student2.ru (6.7)

Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то средняя также соответственно уменьшится или увеличится в А раз:

Свойства средней арифметической - student2.ru (6.8)

Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не изменится:

Свойства средней арифметической - student2.ru (6.9)

Объединяя свойства средней арифметической, можно исчислить ее с помощью способа моментов:

Свойства средней арифметической - student2.ru (6.10)

где А – серединная варианта ряда с наибольшей частотой;

h – величина интервала ряда распределения;

е – произвольная величина.

Пример. Имеются следующие данные о времени горения электроламп для лампового завода (табл. 6.1). Необходимо рассчитать среднее время горения электроламп по способу моментов.

Таблица. 6.1

Группы электроламп по времени горения, час Число электроламп, fi xi xi-А= xi-1300 Свойства средней арифметической - student2.ru Свойства средней арифметической - student2.ru Свойства средней арифметической - student2.ru Свойства средней арифметической - student2.ru
800-1000 -400 -2 -4
1000-1200 -200 -1 -8
1200-1400
1400-1600
1600-1800
1800-2000
Итого        

А – середина интервала с наибольшей частотой fi=160;

h – величина интервала.

Решение.По формуле (6.10) рассчитываем среднее время горения:

Свойства средней арифметической - student2.ru часов.

Средняя гармоническая применяется, когда индивидуальные значения выражены в форме обратных показателей. Если вес каждого варианта равен единице, то при n вариантах формула средней гармонической имеет вид

Свойства средней арифметической - student2.ru (6.11)

Формула средней гармонической взвешенной следующая:

Свойства средней арифметической - student2.ru ( 6.12)

Пример. Издержки производства и себестоимость единицы продукции А по 3-м заводам характеризуются следующими данными (см. таблицу).

Номер завода Издержки производства, у.д.е. Себестоимость единицы продукции, у.д.е.

Исчислить среднюю себестоимость по 3-м заводам:

Свойства средней арифметической - student2.ru

Свойства средней арифметической - student2.ru

Средняя геометрическая применяется для расчетов средних темпов за определенный период, т.е. тогда, когда определяющий показатель (величина, определяющая вид средней) является не суммой значений, а их произведением:

Свойства средней арифметической - student2.ru

Средняя квадратическая применяется в тех случаях, когда приходится осреднять величины в виде квадратных функций (например, при расчетах диаметра труб, стволов); в статистике используется как мера вариации. Рассчитывается по формулам:

Свойства средней арифметической - student2.ru (простая); (6.15)

Свойства средней арифметической - student2.ru (взвешенная). (6.16)

Как было отмечено, применение той или иной средней величины зависит от сущности явления и исходной информации. Между средними существует следующее соотношение, названное правилом мажорантности средних:

Свойства средней арифметической - student2.ru

18. Структурные средние величины. Мода и медиана

Для характеристики структуры статистической совокупности применяются показатели, которые называют структурными средними.К ним относятся мода и медиана.

Мода (Мо )– чаще всего встречающийся вариант. Модойназывается значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределений.

Мода представляет наиболее часто встречающееся или типичное значение.

Мода применяется в коммерческой практике для изучения покупательского спроса и регистрации цен.

В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду модой считают центральный вариант интервала, который имеет наибольшую частоту (частность).

В пределах интервала надо найти то значение признака, которое является модой.

Свойства средней арифметической - student2.ru

где хо – нижняя граница модального интервала;

h – величина модального интервала;

fm – частота модального интервала;

fт—1 – частота интервала, предшествующего модальному;

fm+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Мода зависит от величины групп, от точного положения границ групп.

Мода– число, которое в действительности встречается чаще всего (является величиной определенной), в практике имеет самое широкое применение (наиболее часто встречающийся тип покупателя).

Медиана (Me – это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая – большие.

Медиана– это элемент, который больше или равен и одновременно меньше или равен половине остальных элементов ряда распределения.

Свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины.

Применение медианы позволяет получить более точные результаты, чем при использовании других форм средних.

Порядок нахождения медианы в интервальном вариационном ряду следующий: располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру; определяем для данного ранжированного ряда накопленные частоты; по данным о накопленных частотах находим медианный интервал:

Свойства средней арифметической - student2.ru

где хме– нижняя граница медианного интервала;

iMe – величина медианного интервала;

f/2 – полусумма частот ряда;

SMe—1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

fMe – частота медианного интервала.

Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где накопленная частота составляет половину или больше половины всей суммы частот, а предыдущая (накопленная) частота меньше половины численности совокупности.

Наши рекомендации