Метод наименьших квадратов

Рассмотрим случай линейной функции одного аргумента (рис.3).

Рис.3 График экспериментальной линейной функции.

Найдем уравнение прямой

, (18)

наилучшим образом согласующейся с опытными точками. Такая прямая (18) может быть получена по методу наименьших квадратов (см. прил.2).

Найти параметры линейной зависимости a и b в данном методе можно по опытным значениям и согласно формулам:

и (19)

где для простоты введены обозначения

, , , , , . (20)

Погрешности косвенного измерения этих параметров a и b можно рассчитать согласно формулам:

, , (21)

где .

Используя уравнение (18), подставив в него найденные коэффициенты a и b, можно построить график линеаризованной зависимости. Для этого нужно взять произвольные значения и абсцисс двух точек. Затем, согласно уравнению прямой вычислить соответствующие им координаты по формулам

и .

Отметив на графике две точки с координатами ( ) и ( ) можно провести через них единственную прямую (рис.2б).

Вариант I

Измерение объема тела цилиндрической формы

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ:

1. Штангенциркуль.

2. Тело цилиндрической формы.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Измерение длин

В науке и технике для определения длин и расстояний используется большое количество приборов, обеспечивающих измерение их с различной точностью. Деления шкал измерительных приборов не могут быть очень мелкими - иначе они будут практически неразличимы (это не относится к цифровым приборам). Широко применяются для измерения длин масштабные линейки, расстояние между ближайшими соседними отметками шкалы которых (цена деления) равно одному миллиметру. Неточность измерения масштабной линейки не превышает половины цены деления, т.е. 0,5 мм. Для более точного измерения длин используют приборы, снабженные линейным нониусом или микрометрическим винтом.

Нониус представляет собой небольшую дополнительную шкалу 1 (рис.4), которая может перемещаться вдоль основной шкалы 2. Расстояние между соседними штрихами дополнительной шкалы меньше, чем расстояние между какими-либо (не обязательно соседними) штрихами основной шкалы на 1/n долю деления последней. Обычно n = 10 или 20. Нулевое деление служит указателем. Если указатель совпадает с каким-либо целым делением основной шкалы, то n-е деление нониуса также совпадает с целым делением шкалы. Если же указатель отстоит на k/n долей от какого-либо деления шкалы, то с целым делением шкалы совпадает k-е деление нониуса.

Таким образом, мы получаем следующее правило отсчета по шкале с нониусом. Следует отсчитать число целых делений шкалы, предшествующих положению нуля нониуса, и прибавить к нему число n - ых долей деления, равное номеру того деления нониуса, которое совпадает с каким-либо штрихом основной шкалы. Так на рис.4 длина измеряемого тела составляет 7,6 мм.

Рис. 4. Нониус

Цена деления нониуса равна С/n, где С - цена деления основной шкалы, n – число делений нониуса.

Штангенциркуль

Линейный нониус применяется в конструкции штангенциркуля (рис. 5).

Рис.5.Устройство штангенциркуля.

Основные компоненты штангенциркуля: штанга 1, губки для наружных измерений 2, подвижная рамка 3, винт для зажима рамки 4, нониус 5, линейка глубиномера 6, микрометрическая подача 7, шкала штанги 8, губки для внутренних измерений 9.

Шкала прибора 8 жестко связана со щекой А. Нониус 5 жестко связан со щекой В и может перемещаться вдоль шкалы прибора. Когда между щеками А и В зазор отсутствует, нулевые метки нониуса и прибора совпадают. Для определения наружных размеров предмета его помещают между щеками АВ, которые сдвигают до соприкосновения с предметом, закрепляют подвижную щеку В зажимом 4 и производят отсчет. Число целых миллиметров отсчитывается непосредственно по шкале прибора до нулевой метки нониуса, а число долей миллиметров - по нониусу. При измерении внутренних размеров употребляются щеки АВ, толщина которых известна – указана на щеке А (к полученному отсчету прибавляется толщина щек АВ). Для измерения глубины отверстий применяется рейка 6, которая жестко связана с подвижной щекой В.

Штангенциркули изготовляются с нониусами, у которых n = 10, 20, 50. Цена деления и класс точности штангенциркуля указаны на подвижной рамке под шкалой нониуса.

Микрометр

Микрометрический винт (рис.6) имеет постоянный шаг по всей длине (величину поступательного перемещения конца винта при повороте его на один оборот).

Микрометрические винты применяются в конструкциях микрометра. Микрометр (рис.7) представляет собой массивную металлическую скобу 1, в концах которой находятся друг против друга неподвижный упор (пятка) 2 и микрометрический винт 3, жестко связанный с барабаном 6, свободно вращающийся в стебле 5.

Рис. 6. Микрометрический винт.

Для равномерного нажима микрометрического винта на поверхность измеряемых тел микрометр снабжается фрикционной головкой 9 (трещеткой) включающей храповик 7 и подпружиненный стержень 8, вращение которой вызывает перемещение винта только до упора его в поверхность измеряемого тела с определенным нажимом, после чего фрикционная головка прокручивается. Микрометр снабжен устройством 4, позволяющим стопорить микровинт и гайкой 10 для регулировки зазора в паре микровинт - микрогайка.

Рис 7. Устройство микрометра.

На барабане равномерно нанесено n делений. При повороте барабана на одно деление винт смещается поступательно на мм, где h - шаг винта в мм (обычно h=0,5 мм или 1 мм). Величина называется точностью микрометрического винта.

Смещение конца микрометрического винта при повороте барабана меньше, чем на один оборот, очевидно, определяется , где m - число делений барабана, на которое был повернут барабан. Отсчет целого числа оборотов N производится при помощи линейки, вдоль которой перемещается острый срез барабана.

Цена деления масштабной линейки соответствует шагу винта. Тогда любое перемещение l конца микрометрического винта равно:

. (21)

Измеряемое тело заключают между упорами 2 и 3, затем, держа за храповик, микрометрический винт поворачивают до 3-х щелчков трещетки и производят отсчет этого размера. Число целых миллиметров определяется по шкале до острого среза винта, а доли миллиметра отсчитываются по шкале барабана до продольной метки, пересекающей шкалу.

Цена деления шкалы микрометра указывается на барабане (рис.6).

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Запишите характеристики приборов, используемых в работе (см. прил.3).

2. С помощью штангенциркуля измерьте в 5-ти разных точках диаметр цилиндра по всей его высоте, полученные значения занесите в таблицу 2.

Таблица 2

Результаты измерений диаметра и высоты тела цилиндрической формы

№
1.
2.
...
5.

3.Вычислите среднее значение диаметра согласно формуле (1) по данным таблицы 2.

4.Вычислите среднее квадратичное отклонение диаметра и случайную погрешность измерения его значения по формулам (2) и (3).

5.Определите значение неисключенной систематической погрешности штангенциркуля (см. п.4).

6.Рассчитайте полную погрешность измерения диаметра (см. п.5).

7.Результат измерения диаметра представьте в виде:

, .

8.Повторите аналогичные операции (пункты 2-7) для обработки результатов измерения высоты цилиндра . Полученный результат представьте в виде

, .

9.Рассчитайте среднее значение объема цилиндра по формуле:

.

10. Исходя из результатов прямых измерений и , определите относительную погрешность измерения объема цилиндрического тела:

,

где при .

11. По значению g рассчитайте доверительную границу абсолютной погрешности результата измерения объема

.

12. Запишите результат измерения в виде:

, с относительной погрешностью при доверительной вероятности .

13. Сделайте вывод по проделанной работе.

Контрольные вопросы

1. Что такое измерение? Какие виды измерений вы знаете? Приведите примеры.

2. Что такое погрешность, какие виды погрешностей вы знаете? Приведите примеры.

3. Как рассчитывают случайную погрешность прямого измерения?

4. Как количественно оценивают систематическую погрешность?

5. Каким образом находят суммарную погрешность окончательного результата измерения, учитывающую систематическую погрешность?

6. Как рассчитать погрешность косвенного измерения?

7. Вывести формулу для определения относительной погрешности.

8. Как определить характеристики прибора: цену деления, предел измерения, класс точности прибора?

9. Перечислите правила округления и записи окончательного результата измерения в стандартной форме.

10. Сформулируйте правила используемые при построении графиков.

Приложение