Плоскопаралельний рух тіла

Рух твердого тіла називається плоско паралельним або плоским, якщо траєкторії всіх його точок лежать у площинах, паралельних одній і тій же площині, що прийнята за нерухому.

Плоска фігура, утворена перетином тіла цією нерухомою площиною, весь час руху залишається в цій площині.

Положення плоскої фігури в її площині визначається положенням однієї точки плоскої фігури та кутом повороту навколо цієї точки (полюса).

Плоский рух тіла у будь-який момент часу розкладається на поступальний разом з деяким полюсом та обертальний навколо вісі, яка проходить через цей полюс та перпендикулярна площині руху тіла.

Поступальний рух залежить від вибору полюса, а величина і напрямок кута повороту не залежить від вибору полюса.

Вибрав за полюс точку А, рівняння плоского руху твердого тіла будуть мати вигляд

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru

Швидкість довільної точки В фігури при її плоскому русі визначається за формулою

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru .

Швидкість любої точки плоскої фігури дорівнює геометричній сумі швидкості полюса Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru та швидкості Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru точки В в обертальному русі плоскої фігури навколо полюса А.

Швидкість точки В в обертальному русі плоскої фігури навколо полюса А дорівнює добутку кутової швидкості Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru на відстань між точкою В та полюсом А Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru і направлена перпендикулярно відрізку АВ в площині фігури в сторону обертання фігури в даний момент часу.

Проекції швидкостей двох точок плоскої фігури на пряму, що з’єднує ці точки, рівні між собою.

Точка плоскої фігури, швидкість якої у даний момент часу дорівнює нулю, називається миттєвим центром швидкостей (МЦШ) цієї фігури.

Миттєвий центр швидкостей плоскої фігури, яка котиться без ковзання по нерухомому контуру, знаходиться у точці їх контакту.

Миттєвий центр швидкостей плоскої фігури при непаралельних напрямках швидкостей двох її точок (точок А та В), знаходиться у точці перетину перпендикулярів до напрямків цих швидкостей, що проведені з точок А та В.

Миттєвий центр швидкостей плоскої фігури при паралельних напрямках швидкостей двох її точок не існує, якщо пряма, що з’єднує ці точки, не перпендикулярна до напрямку цих швидкостей. Рух фігури у цьому випадку є миттєво поступальним. Якщо ж пряма, що з’єднує ці дві точки, перпендикулярна до напрямків швидкостей, то МЦШ фігури є точка перетину цієї прямої з тією прямою, яка з’єднує кінці векторів швидкостей.

Величина швидкості будь-якої точки А плоскої фігури у кожний момент часу дорівнює добутку модуля кутової швидкості обертання цієї фігури на відстань Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru від цієї точки до МЦШ Р. Вектор цієї швидкості перпендикулярний прямій РА, що з’єднує дану точку з МЦШ, та спрямований у сторону обертання фігури.

При поступальному русі твердого тіла, швидкості та прискорення всіх його точок – рівні між собою у будь-який момент часу.

При миттєво-поступальному русі твердого тіла швидкості руху його точок також рівні між собою, але лише у даний момент часу.

Прискорення ж цих точок не рівні, навіть у даний момент часу.

При обертальному русі твердого тіла, швидкості та прискорення усіх його точок на осі обертання рівні нулю.

При миттєво обертальному русі твердого тіла швидкості його точок на миттєвій осі обертання також рівні нулю, але прискорення – ні.

Положення МЦШ в деяких випадках

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru

Якщо МЦШ - ∞,

то Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru - мал. 2

Прискорення довільної точки В тіла при плоскому русі фігури дорівнює геометричній сумі прискорення полюса А та прискорення точки В в обертальному русі навколо полюса А.

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru або в розгорнутому вигляді Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru ,

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru - прискорення полюса,

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru - доцентрове прискорення точки В в обертальному русі фігури навколо полюса А.

Доцентрове прискорення обчислюється за формулою Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru і спрямоване від точки В до центру обертання А.

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru - обертальне прискорення точки В у обертальному русі фігури навколо полюса А. Це прискорення перпендикулярне відрізку АВ та спрямоване в сторону обертання фігури при її прискореному русі, і в сторону, протилежну обертанню фігури, - при сповільненому русі.

Модуль прискорення обчислюється за формулою

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru .

Приклад рішення завдання

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru

Кривошип ОА=r, кривошипно-шатунного механізму ОАВ, обертається з постійною кутовою швидкістю Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru . До шатуна АВ=l шарнірно прикріплений в точці С (АС=а) стержень СД, з’єднаний кінцем Д шарнірно з ланкою ДЕ, котра обертається навколо нерухомої вісі Е.

Побудувати миттєві центри швидкостей ланок АВ і СД, обчислити швидкості точок В, С, Д і кутову швидкість ланки АВ, а також прискорення точок В і С.

Якщо Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru см; l=120 см; а=40 см; Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru .

Дано: Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru см; l=120 см; а=40 см; Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru .

Знайти МЦШ ланок АВ та ДС, швидкості Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru , кутову швидкість Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru , прискорення точок В та С.

Рішення

1) Побудуємо схему механізму згідно з заданими кутами та розмірами.

Ланка ОА обертається навколо нерухомого центру О; ДЕ – Е.

Швидкість точки А перпендикулярна ОА, точки Д – перпендикулярна ДЕ.

Швидкість повзуна В направлена вздовж нерухомих горизонтальних направляючих.

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru

З точок А і В проведемо перпендикуляри до їх швидкостей і продовжимо до перетину в точці Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru , котра співпадає з точкою В.

Швидкість точки В Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru .

Знайдемо швидкість точки С: Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru .

Швидкість точки А: Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru .

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru см/с, кутова швидкість ланки АВ Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru (рад/с).

Швидкість точки С

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru (см/с).

Аналогічно, з точок С і Д проведемо перпендикуляри до їх швидкостей і продовжимо до перетину в точці Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru це і буде МЦШ ланки СД.

Запишемо співвідношення між швидкостями

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru (см/с)

Або можна було скористатися теоремою про проекції швидкостей

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru (см/с).

2) Обчислення прискорень точок А, В, С. Точка належить ланці ОА, що обертається рівномірно навколо нерухомого центру О.

Прискорення точки А

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru ,

де Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru (см/с2) і направлене від точки А до центру обертання О.

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru , так як Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru см/с2

Ланка АВ звершує плоский рух. Прийняв точку А за полюс, обчислимо прискорення точки В. За теоремою додавання прискорень маємо

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru (1)

+ – + + + + + –

А→0 В→А +АВ

Прискорення точки В направлено вздовж напрямної, за величиною невідоме. Прискорення точки А відоме і за величиною і за напрямком.

Доцентрове прискорення точки В в обертальному русі плоскої фігури навколо полюса А обчислюється за формулою

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru (см/с2)

і направлено від точки В до точки А.

Обертальне прискорення точки В навколо полюса А Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru за величиною невідоме, направлене перпендикулярно до АВ.

Спроектуємо векторне рівняння (1) на вибрані координатні осі

на Вх Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru (см/с2)

на Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru

Кутове прискорення ланки АВ Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru .

Обчислимо прискорення точки С.

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru

+ + + +

А→0 С→0

Прискорення точки С невідоме ні за величиною ні за напрямком.

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru (см/с2) і направлене від точки С до полюса А.

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru так як Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru , тоді Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru (см/с2)

Відповідь: Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru см/с; Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru см/с; Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru ; Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru рад/с;

Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru см/с2; Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru см/с2; Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru см/с2; Плоскопаралельний рух тіла - student2.ru .

Наши рекомендации