Методика эксперимента, вывод формул

Цель работы

С помощью баллистического маятника определить скорость пуль с различными массами. Рабочую формулу для экспериментального определения скорости пули и теоретическую зависимость скорости пули от ее массы получить исходя из законов сохранения импульса и энергии.

Описание установки

 
  Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru

Баллистический маятник представляет собой массивный цилиндр Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru , заполненный пластилином. В цилиндр в горизонтальном направлении производят выстрел пулей массы Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru из пружинного пистолета Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru , неподвижно закрепленного вблизи маятника (Рис. 1). Пуля проникает в пластилин, застревает в нем и дальше продолжает двигаться вместе с маятником (абсолютно неупругий удар). Маятник закреплен так, чтобы в процессе отклонения он совершал поступательное движение. Максимальное отклонение маятника от его положения равновесия фиксируется механизмом Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru .

Рис. 1.1

Методика эксперимента, вывод формул

1.Вывод формулы зависимости скорости пули от ее массы

Выбрав пулю массы Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru , зарядим пистолет, сжав его пружину. При этом в пружине будет запасена потенциальная энергия

Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru , (1.1)

где Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru - коэффициент упругости пружины,

Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru - деформация пружины.

Предположим, что вся энергия сжатой пружины при выстреле полностью превращается в кинетическую энергию пули. Это означает, что мы пренебрегаем потерями энергии на преодоление трения между пулей и стволом пистолета и на сообщение кинетической энергии самой пружине. Учтем, кроме того, что геометрические размеры всех пуль одинаковы, а, значит, одинакова деформация пружины для любой пули и, следовательно, одинакова запасаемая пружиной потенциальная энергия. Тогда из закона сохранения механической энергии следует, что пули различных масс Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru , вылетая из пружинного пистолета, должны иметь одинаковые кинетические энергии:

Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru , (1.2)

где Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru - скорость i – ой пули после выстрела.

Из (2) получаем зависимость скорости пули после выстрела от ее массы:

Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru . (1.3)

Поскольку величины Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru и Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru для всех пуль одинаковы, то график ожидаемой зависимости скорости пули Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru от Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru должен, согласно формуле (1.3), представлять собой прямую линию, проходящую через начало координат.

2. Вывод рабочей формулы

Пролетев небольшое расстояние между пистолетом и маятником, пуля входит в пластилин, заполняющий цилиндр, и за счет вязкого трения быстро теряет скорость. При этом часть механической энергии пули расходуется на неупругую деформацию и превращается во внутреннюю энергию пластилина и пули, то есть пластилин и пуля нагреваются. Такой удар пули и маятника, в результате которого они начинают двигаться как единое целое, называется абсолютно неупругим. Механическая энергия в процессе такого удара не сохраняется (убывает).

Процесс удара является кратковременным. Если масса маятника достаточно велика по сравнению с массой пули ( Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru ), то за время удара он в силу своей инерционности не успевает выйти из положения равновесия. Это позволяет считать систему маятник-пуля в момент удара замкнутой в горизонтальном направлении, так как сила тяжести и сила натяжения подвеса направлены вертикально при вертикальном положении маятника. Для замкнутой системы можно применить закон сохранения импульса

Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru , (1.4)

где Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru - скорость пули до удара (при этом скорость маятника равна нулю),

Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru - скорость, приобретенная системой маятник-пуля сразу после удара.

Маятник вместе с пулей, получив за счет неупругого удара импульс, отклоняется от положения равновесия на угол Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru . В процессе отклонения на маятник действуют сила тяжести (вниз) и сила упругости подвеса (перпендикулярно направлению мгновенной скорости маятника). Если пренебречь потерями энергии на трение в подвесе и на сопротивление воздуха, то работу при отклонении маятника совершает только гравитационная сила. Это позволяет воспользоваться законом сохранения механической энергии:

Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru , (1.5)

где Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru - наибольшая высота, на которую поднимается маятник (Рис. 1.2).

 
  Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru

Слева в этой формуле стоит кинетическая энергия при поступательном движении маятника сразу после удара (в этой точке потенциальную энергию принимаем равной нулю), а справа – потенциальная энергия системы в момент ее остановки на высоте Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru .

Рис. 1.2

Выразим высоту Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru через соответствующее горизонтальное смещение маятника Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru , которое удобнее измерять. Предположим, что угол отклонения маятника от положения равновесия Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru мал. Из рис. 1.2. видно, что

Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru , (1.6)

где Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru - длина нити подвеса.

Из (1.6) получаем

Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru . (1.7)

Уравнения (1.4), (1.5) и (1.7) образуют систему, решая которую получим скорость пули Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru перед ударом

Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru . (1.8)

Выражение (1.8) позволяет, осуществив прямые измерения смещения маятника Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru и зная значения остальных величин, входящих в эту рабочую формулу, определить скорость пули Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru путем косвенных измерений. Измерив скорости Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru для пуль с разными массами Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru можно, следовательно, убедиться в справедливости теоретической зависимости (1.3).

3. Вывод формулы для определения погрешности косвенных измерений скорости Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru

Методика оценки истинных значений и погрешности при прямых и косвенных измерениях изложена в [1].

Проведя прямые многократные измерения смещения маятника Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru для одной и той же пули (см. задание к работе) можно (см. [1]) оценить истинное значение Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru и доверительную погрешность Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru этой величины, записав результат в виде Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru м. Истинные значения остальных аргументов рабочей формулы (1.8) и их доверительные погрешности определены заранее и указаны в таблице исходных данных, расположенной около установки. Подставляя истинные значения аргументов в рабочую формулу (1.8) получим оценку истинного значения скорости пули

Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru , (1.9)

где черта означает «оценка истинного значения».

Теперь (см. [1]) можно оценить доверительную абсолютную погрешность этой величины. В формуле (1.8) пять аргументов ( Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru ), каждый из которых определен с некоторой погрешностью. Следовательно, формула для определения абсолютной погрешности скорости пули имеет вид

Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru (1.10)

Пользуясь формулой (1.8), вычислим частные производные от скорости по каждому из аргументов. В результате получим следующее выражение

Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru (1.11)

В формулу (1.11) входит пять квадратичных членов, каждый из которых определяет вклад погрешности одного из пяти аргументов формулы (1.8) в погрешность величины Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru . Прежде чем применять формулу (1.11), следует отдельно вычислить (приближенно) каждый из пяти квадратичных членов, чтобы сравнить их друг с другом. Сравнение покажет, точность определения каких аргументов мало влияет на абсолютную погрешность скорости. Эти члены из формулы (1.11) надо исключить, и только после этого, применив (1.11), получить оценку погрешности скорости Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru . Численные результаты, полученные с помощью формул (1.9) и (1.11), записываются в виде

Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru . (1.12)

Задание к работе

1. Сделайте заготовку протокола к лабораторной работе.

2. Получите допуск к выполнению лабораторной работы у преподавателя.

3. Соблюдая правила техники безопасности, зарядите пружинный пистолет пулей с наибольшей массой.

4. Подготовьте устройство Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru к измерению горизонтального смещения маятника. Запишите численное значение начальной координаты Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru маятника по линейке отсчетного устройства Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru .

5. Осуществите первый выстрел пулей с наибольшей массой, нажав спусковую кнопку пистолета. Запишите численное значение конечной координаты Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru , определив его по линейке отсчетного устройства Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru . Вычислите смещение маятника при первом опыте:

Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru .

Запишите величину Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru в таблицу измерений.

6. Проведите опыт с той же пулей пять раз, чтобы в дальнейшем провести статистическую обработку этих прямых измерений.

7. Проведите однократные измерения смещения маятника для пуль с другой массой (п. 3,4,5).

8. Проведите статистическую обработку прямых многократных измерений смещения маятника для первой пули согласно методике, описанной в [1]. Результаты внесите в таблицу измерений.

9. По формуле (1.9) получите оценку истинного значения скорости пули Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru , для которой были проведены многократные измерения. Результат внесите в таблицу измерений. Рекомендуется для получения скорости пули использовать результаты индивидуального задания для членов бригады, выполняющих лабораторную работу на одной установке.

10. Получите оценку абсолютной погрешности косвенных измерений скорости этой пули (формула (1.11)). Прежде чем применять формулу (1.11), следует отдельно вычислить (приближенно) каждый из пяти квадратичных членов, чтобы сравнить их друг с другом. Сравнение покажет, от каких аргументов сильнее всего зависит величина погрешности Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru , а какие члены формулы (1.11) можно не учитывать. Результат внесите в таблицу измерений.

11. Вычислите скорости пуль с другой массой (формула (1.9)). Погрешность для этих однократно проведенных опытов оценивать не надо. При этом также (см. п. 9) рекомендуется использовать результаты индивидуального задания.

12. Учитывая, что для проведенных опытов должна выполняться зависимость (1.3) постройте оси графика этой зависимости в координатах Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru для диапазона численных значений, соответствующего используемым в опытах массам пуль и полученным для них скоростям.

13. Нанесите на этот график точки, соответствующие полученным в опытах значениям скорости для каждой пули. Обратите внимание, лежат ли экспериментальные точки на одной прямой.

14. Укажите на этом графике для каждой экспериментальной точки диапазон, внутри которого лежит истинное значение скорости, то есть графически укажите найденную погрешность. При этом считайте, что погрешность, найденная для скорости только одной пули, является такой же для скоростей остальных пуль.

15. Сделайте выводы.

Контрольные вопросы

1. Цель данной лабораторной работы.

2. Какой закон сохранения позволяет получить зависимость скорости пули, выпущенной из пружинного пистолета, от ее массы? Какие предположения при этом делаются?

3. Выполняется ли закон сохранения механической энергии системы маятник-пуля при ударе?

4. В какой момент опыта выполняется закон сохранения импульса для системы маятник-пуля?

5. Начиная с какого момента опыта можно использовать закон сохранения механической энергии для системы маятник - пуля?

6. Как рассчитать долю кинетической энергии пули, которая расходуется на неупругую деформацию при ударе?

7. Запишите систему уравнений для получения скорости пули через горизонтальное смещение маятника после удара. Решив систему, получите рабочую формулу.

8. Где при выводе рабочей формулы используется тот факт, что маятник движется поступательно?

9. Как изменится смещение маятника, если изменить его массу?

10. Как изменится смещение маятника, если изменить длину подвеса?

11. Какие величины в опыте определяются путем прямых, а какие путем косвенных измерений?

12. Как оценить истинные значения при прямых и как при косвенных измерениях?

13. Как оценить доверительную погрешность при прямых и как при косвенных измерениях? Какой смысл этой погрешности, почему результат измерений записывают в виде Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru ?

14. Какой смысл, строить график зависимости скорости пули от ее массы в координатах Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru ?

Индивидуальные задания для членов бригады, выполняющих лабораторную работу на одной установке

Номер члена бригады Индивидуальное задание
Постройте график зависимости скорости пули Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru перед ударом от горизонтального смещения маятника Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru для пули массой Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru (формула (8)). Рекомендуемый диапазон изменения величины Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru от 0 до 10см. Численные значения массы маятника Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru , массы пули Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru , длины подвеса Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru возьмите в таблице исходных данных, помещенной около лабораторной установки, на которой Вам предстоит выполнять опыты.
Выполните задание аналогичное заданию для первого номера, но для пули массой Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru .
Выполните задание аналогичное заданию для первого номера, но для пули массой Методика эксперимента, вывод формул - student2.ru .

Литература

1. Введение (эти методические указания).

Наши рекомендации