Вывод формул операторных функций

В.А Михайлов, Э И. Султанов

РАСЧЕТ ЧАСТОТНЫХ И ПЕРЕХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНЕЙНЫХ АКТИВНЫХ ЦЕПЕЙ

Методическое пособие по курсовой работе

Казань 2001

УДК 621. 372 (075)

Расчет частотных и переходных характеристик линейных активных цепей: методическое пособие по курсовой работе. В.А. Михайлов, Э.И. Султанов. Казан. гос. техн. ун-т. Казань, 2001, 27 с.

Методическое пособие по курсовой работе по курсу “Основы теории цепей” для студентов 2-го курса направления 552500 “Радиотехника’’, специальностей 2007, 2010, 2012. Даются краткие теоретические сведения и методические советы. Приведен пример выполнения курсовой работы.

Табл. 4. Ил.7. Библиогр: 3 назв.

Рецензент: канд.техн. наук, доц. Е.Ф.Базлов (кафедра теоретической радиотехники и электроники КГТУ им.А.Н.Туполева).

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1. Вывод формулы операторной функции активной цепи . . . . . . . . . 5

2. Вычисление особых точек. Построение полюсно - нулевой карты . . . 7

3. Вывод формул частотных характеристик . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

4. Расчет и построение частотных характеристик . . . . . . . . . . . . . 11

5. Вывод формулы переходной характеристики . . . . . . . . . . . . . . 14

6. Расчет и построение переходной характеристики . . . . . . . . . . . . 17

7. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

8. Рекомендации по оформлению курсовой работы . . . . . . . . . . . . .19

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1. Частотные характеристики, построенные в разных масштабах по осям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

Приложение 2. Образец титульного листа курсовой работы . . . . . . . .22

Приложение 3. Пакет контролирующих и вычислительных программ

для курсовой работы по Основам теории цепей . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Предисловие

Курсовая работа по курсу “Основы теории цепей” ставит целью закрепить навыки аналитического расчета входных и передаточных функций, а также численного расчета частотных и переходных характеристик линейных активных цепей на ЭВМ. Работа выполняется студентами в период изучения всего курса.

Работа посвящена численному расчету и исследованию частотных и переходных характеристик линейного активного четырехполюсника. При выполнении курсовой работы студенты должны закрепить основные понятия теории цепей: электрическая цепь, четырехполюсник, схема замещения операционного усилителя, амплитудно-частотные, фазо-частотные и переходные характеристики и т. д. Применить на практике методы анализа активных электрических цепей и расчета характеристик с помощью ЭВМ.

Каждому студенту на первой консультации выдается индивидуальное задание: вид исследуемой цепи, значение параметров элементов, вид рассчитываемых параметров и характеристик.

В пособии все теоретические вопросы применены при решении примера, подобного по содержанию заданию по курсовой работе.

Пример:

Курсовая работа по ОТЦ. Вариант 402.

Исследовать частотные и переходные характеристики линейного активного четырехполюсника – электрического фильтра (принципиальная схема цепи изображена на рис.1).

1. Вывести операторную функцию коэффициента передачи по напряжению К_U(р);

2. Рассчитать и построить карту особых точек (нулей и полюсов) функции;

3. Рассчитать и построить частотные характеристики K_U(jω);

4. Рассчитать и построить переходную характеристику U_вых(t).

Параметры элементов: R1=R2=R4=0.5 kOм, R3=0,5 kOм, R5=10 кОм, С1=С2=10 нФ, C3=20 нФ.

Вывод формул операторных функций

Активной линейной цепи

Операторные функции цепи могут быть получены по операторной схеме замещения цепи, которая получается из исходной схемы путем замены всех элементов их операторными сопротивлениями [1,с. 297–302, 3, с.251–255]. Если исходная схема содержит активные элементы - электронные лампы, транзисторы, операционные усилители и т. д., то их нужно заменить эквивалентными схемами [1, с.30–32].

Любая операторная функция цепи представляет собой отношение операторного изображения отклика Y(p)↔y(t) к операторному изображению внешнего воздействия Х(р)↔х(t) при нулевых начальных условиях для реактивных элементов цепи i_L(–0)=0, u_C(–0)=0:

(1)

Для определения операторного отклика цепи на заданное операторное воздействие можно воспользоваться любым известным методом расчета цепей, например, методом узловых напряжений или методом контурных токов [1, с. 203–208; 3, с. 9–11].

В качестве конкретного примера приведем вывод формулы операторного коэффициента передачи по напряжению К_U(р) фильтра, схема которого представлена на рис. 1 (см. п.1 в примере задания по курсовой работе).

Схема фильтра содержит два операционных усилителя DA1 и DA2. Представим их схемами замещения в виде источников ИНУН E₁и E₂ с бесконечно большим коэффициентом передачи k₀ (рис.2). На входе фильтра подключим источник тока J(p). Пронумеруем узлы схемы цифрами 1–7. Узел, отмеченный знаком «┴», является базисным. Полученная схема замещения фильтра изображена на рис. 3.

Решим задачу методом узловых напряжений. Обозначим напряжения узлов U₁₁, U₂₂,…..U₇₇. К шестому и седьмому узлам подключены зависимые источники напряжения E₂=k₀₂(U₅₅–U₆₆) и E₁=k₀₁(U₃₃–U₇₇), моделирующие ОУ. Составим уравнения по первому закону Кирхгофа для независимых узлов 1, 2, 3, 4, 5. Для узлов 6 и 7, которые являются зависимыми, используем основные уравнения ОУ:

U₆₆=E₂=k₀₂(U₅₅–U₆₆), U₇₇=E₁=k₀₁(U₃₃–U₇₇) или

–k₀₂U₅₅+(k₀₂ +1)U₆₆=0, –k₀₁U₃₃+(k₀₁ +1)U₇₇)=0.

Система уравнений может быть записана в матричной форме:

[Y]∙[U]=[J],

где

,

, .

Идеальные операционные усилители имеют большие значения коэффициента передачи: k₀→ ∞. Предельный переход при стремлении k₀₁ и k₀₂ к

бесконечности позволяет упростить схему уравнений. Уравнения 6 и 7 в строках сводятся к равенствам U₃₃=U₇₇ и U₅₅=U₆₆, что формально сводится к сложению столбцов 3 и 7, 5 и 6, и вычеркиванию строк 6 и 7. Узловые напряжения U₃₃ и U₅₅ исключаем из столбца напряжений. Система уравнений примет следующий вид:

(2)

Для расчета коэффициента передачи по напряжению нужно определить входное U₁₁ и выходное U₇₇ напряжения:

Операторная функция (1) цепи всегда принимает вид дробной рациональной операторной функции

(3)

В нашем примере H(p)=K_U(p)=U₇₇(p)/U₁₁(p). После определения U₁₁и U₇₇получим выражение операторного коэффициента передачи по напряжению:

(4)

где a₃=(g₄+g₅)C₁C₂C₃, a₂=(g₁+g₂)(g₄+g₅)C₁C₂,

a₁=g₁g₂(g₄+g₅)(C₁+C₂), a₀=g₁g₂g₃(g₄+g₅),

b₃=(g₄+g₅)C₁C₂C₃, b₂=(g₁+g₂)(g₄+g₅)C₁C₂+(g₂(C₁+C₂)+g₃C₂)g₅C₃,

b₁=g₁g₂(g₄+g₅)(C₁+C₂)+g₃g₅((g₁+g₂)C₂+g₂C₃), b₀=g₁g₂g₃(g₄+g₅).

Подставив численные значения параметров элементов, получим

,

где a₃=2.2×10^–27 a₂=2.2×10^–22 a₁=2.2×10^–17 a₀=2.2×10^–12

b₃=2.2×10^–27 b₂=3.0×10^–22 b₁=3.0×10^–17 b₀=2.2×10^–12.

Желательно поделить числитель и знаменатель на коэффициенты, например, числитель на a₃, а знаменатель на b₃, чтобы уменьшить порядковую часть в экспоненциальной форме записи численных значений. В результате этого преобразования функция умножается на коэффициент K₀= a₃/b₃:

(5)

где K₀=1, a₃=1, а₂=1×10⁵ а₁=1×10¹⁰ а₀=1×10¹⁵,

b₃=1, b₂=1.3636×10⁵, b₁=1.3636×10¹⁰, b₀=1×10¹⁵.

Система уравнений (2) и формулы (4) и (5) являются результатом выполнения первого пункта задания курсовой работы.