Растяжение – сжатие стержня

При растяжении – сжатии стержня, схема нагружения которого дана на рис. 1а., требуется определить внутренние силовые факторы и напряжения во всех его поперечных сечениях, вычислить линейные перемещения этих сечений и построить эпюры усилий, напряжений и перемещений вдоль оси стержня.

Рис. 1. Расчётная схема и эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений при растяжении-сжатии стержня

Исходя из анализа построенных эпюр напряжений с учётом условия прочности стержня, определить минимально допустимое значение площади сечений , если известно, что сила , длина участка стержня , предел текучести материала стержня , допускаемое значение коэффициента запаса прочности .

Решение

1. Отбрасываем опору (заделку) стержня и заменяем её действие реакцией . Значение реакции определяем из условия равновесия стержня, которое заключается в равенстве нулю суммы всех действующих на него внешних осевых сил с учётом силы , т.е.

,

где сила взята со знаком «+», если её направление совпадает с направлением оси стержня , и со знаком «-», если нет.

Решая уравнение, имеем

.

Так как значение получилось со знаком «+», то предварительно произвольно выбранное направление реакции оказалось верным.

2. Используя метод сечений, определяем внутренние силовые факторы во всех поперечных сечениях стержня. Для этого разбиваем стержень по длине вдоль оси на 4 характерных участка (поз. 1, 2, 3 и 4 на рис. 1а) с учётом точек приложения внешних сил и мест изменения размера сечений.

В произвольном месте участка 1 делаем сечение (рис. 1б). Прикладываем в этом сечении продольную силу , направленную от сечения, и записываем условие равновесия отсеченной части стержня

или .

Отрицательное значение свидетельствует о том, что реальное направление усилия не совпадает с её первоначально выбранным направлением, т.е. участок 1 испытывает не растяжение, а сжатие.

Делаем сечение в произвольном месте участка 2 (рис. 1в). Прикладываем в этом сечении продольную силу , направленную от сечения, и записываем условие равновесия отсеченной части стержня

или .

Результат в данном случае тот же, что и на участке 1.

Сделав в произвольном месте участка 3 сечение (рис. 1г) и выполнив аналогичные действия, получаем

или .

Положительное значение свидетельствует о том, что участок 3 испытывает растяжение.

Наконец, в произвольном месте участка 4 делаем сечение (рис. 1д) и, выполнив всё те же действия, имеем

или .

В связи с тем, что сечения на всех участках стержня были выполнены в произвольных местах, можно утверждать, что значения усилий во всех поперечных сечениях стержня на участке 1 равны , на участке 2 равны , на участк3 равны и на участке 4 равны . Тогда эпюра продольных сил (усилий) вдоль оси стержня имеет вид, представленный на рис. 1е.

3. С учётом формулы (1) расчётные значения нормальных напряжений растяжения или сжатия, одинаковые во всех сечениях стержня в пределах рассматриваемого участка, будут, соответственно для участков 1, 2, 3 и 4, равны

,

,

,

,

а эпюра этих напряжений вдоль оси стержня будет иметь вид, приведённый на рис. 1ж.

4. Перемещение сечений на любом участке стержня определяют как сумму перемещения его начального сечения и удлинения (укорочения) стержня на участке от начального сечения до рассматриваемого сечения.

Очевидно, что перемещение начального сечения стержня на участке 4 в месте его заделки под действием приложенных внешних сил равно нулю. Тогда с учетом выражения (4) линейное перемещение сечения, расположенного на расстоянии от места заделки стержня, т.е. в конце 4 участка составит

,

где и - соответственно длина участка 4 и площадь поперечных сечений на этом участке.

Перемещение начального сечения участка 3 равно перемещению конечного сечения участка 4. Отсюда перемещение конечного сечения участка 3 будет равно

,

где и - соответственно длина участка 3 и площадь поперечных сечений на этом участке.

Аналогично перемещение начального сечения участка 2 равно перемещению конечного сечения участка 3. Отсюда перемещение конечного сечения участка 2 составит

,

где и - соответственно длина участка 2 и площадь поперечных сечений на этом участке.

Наконец, перемещение начального сечения участка 1 равно перемещению конечного сечения участка 2. Отсюда перемещение конечного сечения участка 1 составит

,

где и - соответственно длина участка 1и площадь поперечных сечений на этом участке.

Анализ формулы (4) показывает, что на каждом участке стержня перемещение любого сечения относительно начального сечения прямо пропорционально расстоянию между ними. Тогда с учётом полученных значений , , и эпюра перемещений сечений стержня вдоль его оси имеет вид, данный на рис. 1з.

5. Из анализа эпюры напряжений (рис. 1ж) определяем

.

Подставив полученное значение в условие прочности стержня (6), имеем

.

Тогда минимальное допустимое из условия прочности стержня значение площади сечения с учётом заданных численных значений силы , предела текучести материала стержня и коэффициента запаса прочности можно рассчитать как

6. Определив величину , рассчитываем численные значения усилий, напряжений и перемещений всех сечений стержня:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Кручение круглого стержня

При кручении круглого сплошного стержня, схема нагружения которого дана на рис. 2а, требуется определить внутренние силовые факторы и напряжения во всех его поперечных сечениях, вычислить угловые перемещения этих сечений и построить эпюры усилий, напряжений и перемещений вдоль оси стержня.

Исходя из анализа построенных эпюр напряжений с учётом условия прочности стержня, определить минимально допустимое значение диаметра сечений, если известно, что внешний крутящий момент , длина участка стержня , предел текучести материала стержня .

Рис. 2. Расчётная схема и эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов поворота поперечных сечений при кручении стержня

Решение

1. Отбрасываем опору (заделку) стержня и заменяем её действие реакцией в виде крутящего момента. Значение реакции определяем из условия равновесия стержня, которое заключается в равенстве нулю суммы всех действующих на него внешних крутящих моментов с учётом , т.е.

,

где все моменты, крутящие стержень в одном направлении берут со знаком «+», а в обратном направлении со знаком «-».

Решая уравнение, имеем

.

Так как значение получилось со знаком плюс, то предварительно произвольно выбранное направление реакции оказалось верным.

2. Используя метод сечений, определяем внутренние силовые факторы во всех поперечных сечениях стержня. Для этого разбиваем стержень по длине вдоль оси на 3 характерных участка (поз. 1, 2 и 3 на рис. 2а) с учётом точек приложения внешних моментов и мест изменения размера сечений.

В произвольном месте участка 1 делаем сечение (рис. 2б). Прикладываем в этом сечении усилие – крутящий момент , уравновешивающий действие всех внешних моментов на отсечённую часть стержня. При этом его направление следует предварительно выбирать положительным с учётом правила знаков, которое гласит, что момент берётся со знаком «+», если при взгляде на отсечённую часть стержня со стороны сделанного сечения он вращает её против хода часовой стрелки, и со знаком «-», если наоборот (рис. 3).

Рис. 3. Правило знаков для крутящих моментов в сечениях стержня

После этого составляем условие равновесия этой отсеченной части стержня с учётом правила знаков для всех моментов

или .

Положительное значение момента свидетельствует о том, что его реальное направление совпадает с первоначально выбранным направлением.

Делаем сечение в произвольном месте участка 2 (рис. 2в). Прикладываем в этом сечении усилие – крутящий момент уравновешивающий действие всех внешних моментов на всю отсечённую часть стержня, и с учётом правила знаков записываем условие равновесия этой отсеченной части стержня

или .

Отрицательное значение момента в данном случае означает, что его реальное направление противоположно первоначально выбранному направлению.

Сделав в произвольном месте участка 3 сечение (рис. 2г) и выполнив аналогичные действия, получаем

или .

Отрицательное значение момента означает, что и в этом случае его реальное направление противоположно первоначально выбранному направлению.

В связи с тем, что сечения на всех участках стержня были выполнены в произвольных местах, можно утверждать, что значения усилий во всех поперечных сечениях стержня на участке 1 равны , на участке 2 равны и на участке 3 равны . Тогда эпюра крутящих моментов (усилий) вдоль оси стержня имеет вид, представленный на рис. 2д.

3. С учётом формулы (2) расчётные значения касательных напряжений кручения, одинаковые во всех сечениях стержня в пределах рассматриваемого участка, будут, соответственно для участков 1, 2 и 3, равны

,

,

,

а эпюра этих напряжений вдоль оси стержня будет иметь вид, приведённый на рис. 2е.

4. Угловое перемещение сечения на любом участке стержня определяют как сумму углового перемещения его начального сечения и угла закручивания стержня на участке от начального сечения до рассматриваемого сечения.

Очевидно, что угловое перемещение начального сечения стержня на участке 3 в месте его заделки под действием приложенных внешних крутящих моментов равно нулю. Тогда с учетом выражения (5) угловое перемещение конечного сечения рассматриваемого участка 3, расположенного на расстоянии от места заделки стержня, составит

,

где и - соответственно, длина участка 3 и полярный момент инерции поперечных сечений на этом участке.

Перемещение начального сечения участка 2 равно перемещению конечного сечения участка 3. Отсюда перемещение конечного сечения участка 2 будет равно

,

где и - соответственно, длина участка 2 и момент инерции поперечных сечений на этом участке.

Аналогично перемещение начального сечения участка 1 равно перемещению конечного сечения участка 2. Отсюда перемещение конечного сечения участка 1 составит

.

где и - соответственно, длина участка 1 и момент инерции поперечных сечений на этом участке.

Анализ формулы (5) показывает, что на каждом участке стержня угловое перемещение любого сечения относительно начального сечения прямо пропорционально расстоянию между ними. Тогда с учётом полученных значений , и эпюра угловых перемещений сечений стержня вдоль его оси имеет вид, данный на рис. 2ж.

5. Из анализа эпюры напряжений (рис. 2е) определяем

.

Подставив полученное значение в условие (7) прочности стержня по напряжениям кручения, имеем

.

Тогда минимально допустимое из условия прочности стержня по напряжениям кручения значение диаметра сечения стержня с учётом заданных численных значений момента и предела текучести материала стержня можно рассчитать как

.

6. Определив величину , рассчитываем численные значения усилий, напряжений и перемещений всех сечений стержня:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Изгиб балки

При изгибе стержня, схема нагружения которого дана на рис. 4а, требуется определить внутренние силовые факторы и напряжения во всех его поперечных сечениях и построить их эпюры вдоль оси бруса. Исходя из анализа построенных эпюр напряжений с учётом условия прочности стержня, определить

Рис. 4. Расчётная схема и эпюры внутренних силовых

факторов и напряжений при изгибе стержня

минимально допустимое значение диаметра его круглых сплошных сечений, если известно, что изгибающий момент , сила , длина участка стержня , предел текучести материала стержня , допускаемое значение коэффициента запаса прочности .

Решение

1. Отбрасывая левую и правую опоры балки, заменяем их действие реакциями и (рис. 4а), значения которых находим из условий её равновесия [1]

или ,

или ,

где и - суммы всех моментов относительно, соответственно, точек А и В, действующих на балку. При этом моменты от нагрузок, поворачивающих балку относительно опоры против часовой стрелки берут со знаком «+», а по часовой стрелке – со знаком «-».

Решив полученные уравнения относительно реакций, получаем

,

.

Так как значения и получились положительными, то их предварительно произвольно выбранные направления оказались верными. В противном случае направления реакций в расчётной схеме меняют на противоположные.

Проверкой правильно найденных значений реакций опор является

или ,

где - сумма проекций на ось всех сил, включая реакции, действующих на балку. При этом значения сил положительны, если их направление совпадает с направление оси , и отрицательны в противном случае.

2. Используя метод сечений, определяем внутренние силовые факторы во всех поперечных сечениях стержня с учётом следующих правил:

· поперечная сила в сечении балки равна сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, лежащих по одну сторону от сечения, и считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена снизу вверх, а справа сверху вниз, и отрицательной, если наоборот (рис. 5);

Рис. 5. Правило знаков для поперечных сил в сечениях стержня

· изгибающий момент в сечении балки равен сумме моментов относительно поперечной оси этого сечения всех внешних сил, расположенных по одну сторону от этого сечения, и считается положительным, если равнодействующий момент внешних сил слева от сечения направлен против часовой стрелки, а справа отсечения – по часовой стрелке, в противном случае он берётся отрицательным (рис. 6).

Рис. 6. Правило знаков для изгибающих моментов в сечениях стержня

Разбиваем стержень по длине вдоль оси на 4 характерных участка (поз. 1, 2, 3 и 4 на рис. 4а) с учётом точек приложения нагрузки.

Делаем поперечное сечение стержня в произвольном месте участка 1 с координатой (рис. 4б). Прикладываем в этом сечении поперечную силу и изгибающий момент и определяем их значения с учётом описанных правил

,

.

При этом если значения поперечных сил одинаковы во всех сечениях участка 1 и равны , то значения моментов в сечениях этого участка увеличиваются прямо пропорционально росту координаты и составляют в начале участка , а в конце участка .

Повторяя для остальных участков стержня действия, аналогичные действиям, выполненным для участка 1, имеем:

· для участка 2 (рис. 4в)

,

,

,

;

· для участка 3 (рис. 4г)

,

,

,

;

· для участка 4 (рис. 4д)

,

,

,

.

С учётом полученных значений поперечных сил и изгибающих моментов во всех сечениях стержня на участках 1, 2, 3 и 4 их эпюры вдоль оси стержня имеют вид, представленный на рис. 4е и 4ж.

3. Согласно формуле (3) расчётные значения нормальных напряжений изгиба в сечениях стержня прямо пропорциональны значениям изгибающих моментов в этих сечениях на каждом из рассмотренных участков, следовательно

,

,

,

,

,

,

.

Тогда эпюра напряжений вдоль оси стержня будет иметь вид, приведённый на рис. 4з.

4. Из анализа эпюры напряжений (рис. 4з) определяем

.

Подставив полученное значение в условие прочности стержня (6), имеем

.

Тогда минимальное минимально допустимое из условия прочности стержня значение диаметра сечения с учётом заданных численных значений силы , длины , предела текучести материала стержня и коэффициента запаса прочности можно рассчитать как

5. После определения величины , рассчитываем численные значения усилий и напряжений в поперечных сечениях стержня:

,

,

,

,

,

,

;

,

,

, .

Литература

1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010.

2. Практический курс сопротивления материалов / под ред. проф. И.В. Стасенко – М.: МГТУ им. А.Н. Косыгина, 2006.

Приложение

Домашнее задание по разделу «Сопротивление материалов»

дисциплины «Прикладная механика»

Задача №1

Определить внутренние силовые факторы, напряжения и линейные перемещения поперечных сечений бруса, схема нагружения которого дана на рис. П1. Построить их эпюры вдоль оси бруса и из условия его прочности при растяжении-сжатии определить минимально допустимые площади сечений А₁, А₂ и А₃, если известно, что сила F=20кН, расстояние l=100мм, предел текучести материала бруса σ_Т=240МПа, допускаемое значение коэффициента запаса прочности [S]=3.

Рис. П1

Исходные данные по вариантам:

№ варианта	F1/F	F2/F	F3/F	l1/l	l2/l	l3/l	А1/A	А2/A	А3/A
		-1
	-1
		-1
			-1
			-2
	-1
		-1
			-1
	-2
		-1
	-1
			-2
		-1
			-2
	-3
	-3	-1
			-2
	-1	-3
			-3
	-2
Примечание: знак минус перед коэффициентом означает, что направление нагрузки противоположно направлению, указанному на рис. П1.

Задача №2

Определить внутренние силовые факторы, напряжения и угловые перемещения поперечных сечений бруса, схема нагружения которого дана на рис. П2. Построить их эпюры вдоль оси бруса и из условия его прочности при кручении определить минимально допустимые диаметры сечений d₁, d₂ и d₃, если известно, что крутящий момент T_e=1250Нм, расстояние l=200 мм, а допускаемое напряжение кручения материала бруса [τ]=50МПа.

Рис. П2

Исходные данные по вариантам:

№ варианта	Te1/Te	Te2/Te	Te3/Te	l1/l	l2/l	l3/l	d1/d	d2/d	d3/d
			-1
	-2
			-2
	-1
			-2
		-1
	-1
		-2
			-1
			-1
	-2
			-2
	-1
Примечание: знак минус перед коэффициентом означает, что направление нагрузки противоположно направлению, указанному на рис. П2.

Задача №3

Определить внутренние силовые факторы и напряжения в поперечных сечениях балки, схема нагружения которой дана на рис. П3. Построить их эпюры вдоль оси балки и из условия её прочности определить минимально допустимый диаметр d постоянного по длине балки поперечного сечения, если известно, что сила F=2кН, расстояние l=100 мм, изгибающий момент M_e=kFl, а допускаемое напряжение изгиба материала бруса [σ]=100МПа.

Рис. П3

Исходные данные по вариантам:

№ варианта	F1/F	F2/F	k	l1/l	l2/l	l3/l	l4/l
		-1	-1
	-1
	-1	-1	-2
		-2	-3
		-1
		-2	-2
	-2
	-2	-2
			-3
	-2		-1
		-1
	-1
	-1	-1	-2
		-1
		-2	-2
	-2
Примечание: знак минус перед коэффициентом означает, что направление нагрузки противоположно направлению, указанному на рис. П3.

Содержание

Введение …………………………………………………………………………… 3

1. Определение внутренних сил, напряжений и перемещений

в поперечных сечениях стержня и проверка его на прочность….………….. 4

2. Растяжение - сжатие стержня ………………………………….…………….. 7

3. Кручение круглого стержня ………………………………………….…..….. 13

4. Изгиб балки ……………………………………………………………….…... 19

Литература ………………………………………………………………….…….. 25

Приложение …………………………………………………………………….… 26