Координатный способ задания движения точки.

Рис. 2.2. Координатный способ

В этом случае с неподвижной точкой связывается декартовая система координат, и положение движущейся точки задается скалярными функциями времени ее декартовых координат (рис. 2.2). (2.2)

Естественный способ задания движения точки.В случае, когда траектория движения точки известна заранее более выгодным является использование в качестве системы отсчета точки на траектории, а положение движущейся точки характеризовать дуговой координатой s(t) (рис. 2.3) – алгебраической величиной – расстоянием, отсчитываемым по траектории от неподвижной точки с определенным знаком. Таким образом, здесь задается:

Рис. 2.3 ‑ Естественный способ

а) траектория точки, б) начало отсчета, в) направление положительного и отрицательного отсчета дуговой координаты, г) зависимость дуговой координаты от времени (2.3)

Скорость точки. Определение скорости в различных способах задания движения точки.Для характеристики быстроты изменения положения точки введем кинематическую характеристику – скорость точки. Определим ее для всех трех видов задания движения точки.

Векторный способ.Из рис. 2.4 будет следовать:

Рис. 2.4 – К определению скорости точки

, . Тогда величина будет характеризовать быстроту изменения положения точки в среднем, за промежуток времени .

Переходя к пределу по времени получим в случае существования этого предела мгновенное значение скорости

. (2.4)

Таким образом, заключаем, что скорость точки есть векторная величина, определяемая как первая производная по времени от радиус-вектора точки.

В связи с тем, что предельным направлением хорды М₁М₂ будет касательная в т. М₁, то заключаем, что направление вектора скорости определяется касательной к траектории в текущем положении т. М.

Координатный способ. Представим радиус-вектор через его проекции – разложением по осям координат

.

Тогда скорость согласно определению (2.4) представится формулой

. (2.5)

Так как вектор скорости также представим разложением по осям координат

(2.6)

то из сравнения формул (2.5) и (2.6) сразу следует, что

(2.7)

Откуда получаем формулы для модуля и направляющих косинусов вектора скорости

, , .

Естественный способ. При наличии траектории линия, вдоль которой расположен вектор скорости (касательная), вполне определена. (рис. 2.5). Поэтому следует определить только алгебраическую проекцию вектора скорости на направление касательной. Поэтому

Рисунок 2.5 – Скорость точки при естественном способе

(2.8)

Ускорение точки. Определение ускорения в различных способах задания движения точки.Для характеристики быстроты изменения скорости точки введем кинематическую характеристику – ускорение точки. Определим его для всех трех видов задания движения точки.

Векторный способ.Из рис. 2.6 будет следовать:

Рис. 2.6 – К определению ускорения точки

Величина будет характеризовать быстроту изменения скорости точки в среднем, за промежуток времени .

Переходя к пределу по времени получим в случае существования этого предела мгновенное значение ускорения

. (2.9)

Таким образом, заключаем, что ускорение точки есть векторная величина, определяемая как первая производная по времени от вектора скорости точки.

В связи с тем, что предельным положением плоскости, образованной векторами скоростей и , является соприкасающаяся плоскость, заключаем, что вектор ускорения расположен в этой плоскости.

Координатный способ. Представим вектор скорости через его проекции – разложением по осям координат

.

Тогда ускорение согласно определению (2.9) представится формулой

. (2.10)

Так как вектор ускорения также представим разложением по осям координат

(2.11)

то из сравнения формул (2.10) и (2.11) сразу следует, что

(2.12)

Откуда получаем формулы для модуля и направляющих косинусов вектора ускорения

, , .

Естественный способ. В связи с указанным расположением векторов скорости и ускорения точки, удобно ввести систему координат, связанную с касательной к траектории и с соприкасающейся плоскостью (рис. 2.7). В этой системе координат начало располагается в движущейся точке. Первая ось – касательная τ (тангента) направляется по касательной в сторону увеличения дуговой координаты s. Вторая ось – главная нормаль n (нормаль) – перпендикулярна тангенте лежит в соприкасающейся плоскости и направлена внутрь траектории. Третья ось b – бинормаль, дополняет систему координат до правой.

Рис. 2.7. Естественная система координат и векторы скорости и ускорения точки

Из формул (2.9) и (2.8) будет следовать

.

Отсюда видно, что ускорение точки имеет две составляющие. Преобразуем второе слагаемое. Для этого с помощью рис. 2.8 вычислим производную

,

где ‑ орт главной нормали, ‑ норма орта касательной, Δφ – угол смежности – угол между двумя касательными (главными нормалями) двух соседних точек кривой, K – кривизна, ρ – радиус кривизны траектории в данной точке

Рис. 2.8. К выводу нормального ускорения

Из свойств равнобедренного треугольника ABC следует, что при Δt->0 направление вектора стремится к главной нормали, а модуль его находится по формуле . После подстановки первого замечательного предела и домножения числителя и знаменателя под пределом на Δs появляется кривизна траектории и ее радиус . Итак, мы получили

, (2.13)

где касательное (тангенциальное) ускорение , (2.14)

нормальное ускорение , (2.15)

бинормальное ускорение . (2.16)

Если скорость точки постоянна ( ), то тангенциальное ускорение равно нулю, наоборот, если траектория – прямая линия, то K=0 (ρ=∞) и нормальное ускорение равно нулю. Поэтому говорят, что физический смысл полученных составляющих в том, что

Тангенциальное (касательное) ускорение характеризует изменение
скорости по величине (по модулю), а нормальное – по направлению

Так как полученные составляющие ускорения точки взаимно перпендикулярны, то .

Вектор ускорения составляет угол с единичным вектором касательной к траектории (рис. 9). Касательное ускорение может быть записано как скалярное произведение вектора ускорения на вектор : . С другой стороны скалярное произведение вектора ускорения на вектор скорости точки имеет вид: . Сравнивая эти две формулы, получим: . Таким образом, имея проекции векторов скорости и ускорения на оси декартовой системы координат, можно вычислить касательное ускорение точки с помощью формулы:

(2.17)

Рисунок 2.9 – Определение касательного ускорения через проекции
скорости и ускорения на оси координат

Если точка движется в плоскости, то Что касается направления вектора , то если знак положительный, то направление совпадает с направлением вектора скорости точки, а если отрицательный ‑ то направление будет противоположным направлению вектора скорости точки.

Далее можно вычислить нормальное ускорение и радиус кривизны траектории: (2.18)

Таким образом, если известны уравнения движения точки, можно определить все ее кинематические характеристики в любой момент времени.