Дисперсия случайной величины

Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.

Если случайная величина x имеет математическое ожидание Mx , то дисперсией случайной величины x называется величина Dx =M(x - Mx )2.

Легко показать, что Dx = M(x - Mx )2= Mx 2 - M(x )2.

Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина Mx 2 >для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам

Дисперсия случайной величины - student2.ru , Дисперсия случайной величины - student2.ru .

Для определения меры разброса значений случайной величины часто используется среднеквадратичное отклонение Дисперсия случайной величины - student2.ru ,связанное с дисперсией соотношением Дисперсия случайной величины - student2.ru .

Основные свойства дисперсии:

  • дисперсия любой случайной величины неотрицательна, Dx Дисперсия случайной величины - student2.ru 0;
  • дисперсия константы равна нулю, Dc=0;
  • для произвольной константы D(cx ) = c2D(x );
  • дисперсия суммы двух независимых случайных величинравна сумме их дисперсий: D(x ± h ) = D(x ) + D (h ).

51) Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т.е.

F(x)=P(X<x)

Иногда вместо термина «Функция распределения» используют термин «Интегральная функция».

Свойства функции распределения:

1. Значения функции распределения принадлежит отрезку [0;1]: 0 Дисперсия случайной величины - student2.ru F(x) Дисперсия случайной величины - student2.ru 1
2. F(x) - неубывающая функция, т.е. F(x2) Дисперсия случайной величины - student2.ru F(x1), если x2>x1

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(a Дисперсия случайной величины - student2.ru X<b)=F(b)-F(a) (7)

Пример 9. Случайная величина Х задана функцией распределения:

Дисперсия случайной величины - student2.ru

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;2): P(0<x<2)=F(2)-F(0)

Решение: Так как на интервале (0;2) по условию, F(x)=x/4+1/4, то F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0/4+1/4)=1/2. Итак, P(0<x<2)=1/2

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Следствие 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а;b), то: 1) F(x)=0 при x Дисперсия случайной величины - student2.ru a; 2) F(x)=1 при x Дисперсия случайной величины - student2.ru b.
Справедливы следующие предельные соотношения: Дисперсия случайной величины - student2.ru

График функции распределения расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 (первое свойство). При возрастании х в интервале (а;b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх». При x Дисперсия случайной величины - student2.ru a ординаты графика равны нулю; при x Дисперсия случайной величины - student2.ru b ординаты графика равны единице:

Дисперсия случайной величины - student2.ru

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х:

Дисперсия случайной величины - student2.ru .

Функцию F(x) называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Способ задания непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Необходимо определить некоторую функцию, отражающую вероятности попадания случайной точки в различные участки области возможных значений непрерывной случайной величины. Т. е. представить некоторую замену вероятностям pi для дискретной случайной величины в непрерывном случае.

Такой функцией является плотность распределения вероятностей. Плотностью вероятности (плотностью распределения, дифференциальной функцией) случайной величины Х называется функция f(x), являющаяся первой производной интегральной функции распределения:

Дисперсия случайной величины - student2.ru .

54) Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл

Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:

При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится.

Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:

Определение. Средним квадратичным отклонениемназывается квадратный корень из дисперсии.

Наши рекомендации