Вывод распределения по Максвеллу
Получим теперь формулу распределения так, как это делал сам Джеймс Клерк Максвелл.
Рассмотрим пространство скоростных точек (каждую скорость молекулы представляем как точку (скоростную точку) в системе координат встационарном состоянии газа. Выберем бесконечно малый элемент объема
.Так как газ стационарный, количество скоростных точек в
остается неизменным с течением времени. Пространство скоростей изотропно, поэтому функции плотности вероятности для всех направлений одинаковы.
,
,
.
Максвелл предположил, что распределения скоростей по направлениям статистически независимы, то есть компонента скорости молекулы не зависит от
и
–компонент.
–фактическая вероятность нахождения скоростной точки в объёме ,где
.Прологарифмируем последнее равенство:
.
Дифференцируя полученное выражение по компоненте скорости , получим:
,
,
.
Правая часть не зависит от и
, значит и левая от
и
не зависит. Однако,
и
равноправны, следовательно, левая часть не зависит также и от
. Значит, данное выражение может лишь равняться некоторой константе.
,
,
.
.
Следовательно, .
Отсюда: .
Теперь нужно сделать принципиальный шаг – ввести температуру. Кинетическое определение температуры (как меры средней кинетической энергии движения молекул):
,
где –постоянная Больцмана;
. Ввиду равноправия всех направлений:
.
Чтобы найти среднее значение , проинтегрируем её вместе с функцией плотности вероятности от минус до плюс бесконечности:
.
Отсюда найдём :
.
Функция распределения плотности вероятности для (аналогично для
;
):
.
Теперь рассмотрим распределение по величине скорости. Вернемся в пространство скоростных точек. Все точки с модулем скорости лежат в шаровом слое радиуса
и толщины
, и
–объем этого шарового слоя.
.
.
Учтём, что: ;
, получим:
,
где .Тогда окончательно получим:
.
Таким образом, мы получили функцию плотности вероятности , которая и является распределением Максвелла.
Границы применимости
Условия применимости распределения Максвелла:
1. Равновесное состояние системы, состоящей из большого числа частиц.
2. Изотропная система.
3. Классическая система. Это значит, что система должна быть не релятивистской и не квантовой (взаимодействие частиц допускается, но только зависящее от относительного положения частиц).
Относительное число молекул , со скоростями, лежащими в интервале от
до
, рассчитывается как площадь заштрихованной полоски на рис. 111. Площадь, которая ограничена кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Это значит, что функция
удовлетворяет условию нормировки :
.
Вид функции распределения (рис. 111):
На рис. 111: – наиболее вероятная скорость молекул, соответствует максимуму кривой;
–средняя скорость молекул газа;
– cредняя квадратичная скорость молекул газа.
![]() |
![]() |
С ростом температуры максимум кривой распределения смещается в сторону больших температур (рис. 112).
Хотя уравнение Максвелла дает распределение скоростей, или, другими словами, долю молекул, имеющих специфическую скорость, часто более интересны другие величины, такие как средние скорости частиц. В следующих подразделах мы определим и получим наиболее вероятную скорость, среднюю скорость и среднеквадратичную скорость.
Характерные скорости