Уравнения Лагранжа 2-го рода

Обобщенные координата и обобщенные скорости

Рис 3.15

Рассмотрим плоскую систему с двумя степенями свободы, состоящую из двух стержней, связанных шарнирно с опорой и друг с другом в точках О и А (рис.3.15). Состояние этой механической системы определяется положением ее звеньев в плоскости движения. При этом можно найти несколько способов для описания положения звеньев системы.

1. Положение звена ОА определяется углом φ отклоненияот вертикального положения равновесия, звена АВ – разностью ψ в ориентационных углах этих звеньев. Положение произвольной точки К механической системы определяется координатами x_k и y_k, причем

2. Положение звена ОА определяется длиной S₁ дуги АА' окружности радиуса l₁, положение звена АВ – длиной S₂ дуги ВВ' окружности радиуса l₂, причем Тогда

3. Положение звена ОА определяется площадью G₁ сектора АОА', положение АВ – площадью G₂ сектора ВАВ', причем . Тогда

4. Положение звена ОА определяется координатой y_А шарнира А, а звена АВ – углом ψ. Выразим . Тогда, используя теорему Пифагора, легко показать

В приведенных примерах были выбраны следующие параметры, определяющие положение точек системы:

- углы φ и ψ с размерностью (рад) в 1-м способе;

- длины дуг S₁ и S₂ с размерностью (м) во 2-м способе;

- площади секторов G₁ и G₂ с размерностью (м²) во 3-м способе;

- координата y_А и угол ψ с размерностями (м) и (рад) в 4-м способе.

Введем определение понятия «обобщенные координаты».

Обобщенные координаты – это независимые между собой параметры любой размерности, число которых равно числу степеней свободы системы и которые однозначно определяют ее положение.

Обозначим обобщенные координаты буквой q. Тогда положение системы, имеющей s степеней свободы, будет определяться независимыми обобщенными координатами q₁, q₂, …, q_s. Элементарные возможные приращения этих координат, или вариации обобщенных координат обозначаются - δq₁, δq₂,…, δq_s.

Таким образом, зная по величинам обобщенных координат состояние системы, можно найти положение любой ее точки, т, е. свести описание системы с n точками к описанию s ее обобщенных координат:

.

(3.91)

Производные от обобщенных координат по времени ( , где i=1,2,…,s) называются обобщенными скоростями системы: .

Обобщенные силы

Введем также (без вывода) определении новой величины - «обобщенной силы»:

Обобщенная сила Q_i– это коэффициент при вариации i-й обобщенной координаты δq_i в выражении для элементарной работы всех действующих на систему сил. Сама работа сил оценивается из условия, что вариации (приращения) остальных (кроме i-ой) обобщенных координат равны нулю.

(3.92)

Здесь в выражении для обобщенной работы (3.92) суммирование выполняется по всем n приложенным силам, индекс i в работе = и возможных перемещениях указывает, что их надо вычислять, сообщив системе вариацию δq_i только i-й обобщенной координаты.

Обобщенная сила Q_i в общем случае не является силой в обычном понимании этого слова. Ее размерность зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты и, в соответствии с (3.92) равна размерности работы, деленной на размерность обобщенной координаты. Так, в приведенных выше примерах выбора обобщенных координат для двухзвенного маятника в 1-м способе размерности обобщенных сил – Дж/рад, во 2-м – Дж/м=Н, в 3-м – Дж/м²=Н/м и т.д..

Отметим, что для систем с идеальными связями (3.81) в выражении (3.92) присутствуют только активные силы. Обобщенная сила для систем с идеальными связями вычисляется, как:

.

(3.93)

Подсчет обобщенной силы упрощается, если рассматривается система потенциальных сил. Формула для обобщенных сил у потенциальной системы имеет вид:

.

(3.94)

Формулировка уравнений Лагранжа 2-го рода

Рассматривая общее уравнения динамики (3.90) в обобщенных координатах, можно прийти к системе дифференциальных уравнений, описывающих изменение во времени обобщенных координат механической системы. Они называются уравнениями Лагранжа 2-го рода по имени французского математика и механика Жозефа Луи Лагранжа (1763–1813 г.г.), почетного члена Петербургской академии наук с 1776 г., рис.3.16.

Рис.3.16

.

(3.95)

Уравнения Лагранжа 2-го рода (3.95) представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах. Число этих уравнений равно числу обобщенных координат, или числу степеней свободы системы. В эти уравнения входят: кинетическая энергия (Т) системы, обобщенные силы ( ), обобщенные координаты ( ) и обобщенные скорости ( ), частные производные по обобщенным координатам ( ), частные производные по обобщенным скоростям ( ).

Для случая потенциальных сил уравнения Лагранжа 2-го рода с учетом (3.94) приобретут вид:

(3.96)

Введем функцию Лагранжа, или «Лагранжиан»: L = T – Π. Тогда, исходя из того, что потенциальная энергия не зависит от обобщенной скорости ( ), уравнения (3.96) записываются короче:

(3.97)

Решая уравнения Лагранжа 2-го рода, находят временные функции для обобщенных координат , используя которых, можно получить закон движения для точек механической системы (3.91)

и тем самым решить основную задачу динамики механической системы.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что такое обобщённые координаты и обобщённые скорости механической системы?

2. Какая величина называется обобщённой силой? Какую размерность имеет обобщённая сила?

3. Напишите уравнение Лагранжа в общем виде и в случае потенциальных сил.

[7] В дальнейшем будем считать, что все наложенные на систему связи стационарны и каждый раз это условие оговаривать не будем

[8] Осью вращения здесь является ось z.