Уравнения Лагранжа второго рода
Уравнения Лагранжа можно рассматривать как алгоритм получения дифференциальных уравнений движения системы, т.е. дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат.
Уравнения Лагранжа первого рода для голономной механической системы с 
степенями свободы, на которую наложены идеальные связи имеют вид:
, 
, (231)
где 
– обобщенные координаты; величина 
– обобщенная скорость; 
–обобщенная сила, отнесенная к обобщенной координате 
; 
– кинетическая энергия системы.
Число уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы системы.
При составлении уравнений Лагранжа можно рекомендовать следующий порядок операций.
1. Вычислить кинетическую энергию системы в ее движении относительно инерциальной системы отсчета.
2. Выбрав обобщенные координаты, число которых равно числу степеней свободы системы, преобразовать кинетическую энергию к обобщенным координатам.
3. Выполнить операции дифференцирования кинетической энергии, предусмотренные уравнениями Лагранжа.
4. Вычислить одним из способов, указанных в пункте 3.5.6. обобщенные силы системы.
5. Приравнять величины левой и правой частей, входящих в уравнения Лагранжа.
Решение задач динамики
Пример 7. 
На вертикальном участке 
трубы (рис. 55) на груз 
массой 
действуют сила тяжести и сила сопротивления 
; расстояние от точки 
, где 
, до точки 
равно 
. На наклонном участке 
на груз действуют сила тяжести, сила трения скольжения 
с коэффициентом трения 
переменная сила 
, заданная в ньютонах.
Дано: 
кг, 
, где 
кг/м, 
м/с, 
м, 
, 
.
Определить: 
на участке .
Решение:
1. Рассмотрим движение груза на участке , считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы 
и 
. Проводим ось 
и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:
, или, 
. (232)
Далее находим 
, 
. Подчеркиваем, что в уравнении все переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых они зависят. Учтя еще, что 
, получим
, или 
. (233)
Введем для сокращения записей обозначения:
м–1, 
м2/с2, (234)
где при подсчете принято 
м2/с2. Тогда уравнение (233) можно представить в виде:
. (235)
Разделяя в уравнении (235) переменные, а затем беря от обеих частей интегралы, получим
и 
. (236)
По начальным условиям при 
, что дает 
и из равенства (236) находим 
или 
. Отсюда
и 
.
В результате находим:
. (237)
Полагая в равенстве (237) 
м, и заменяя 
и их значениями (234), определим скорость ив груза в точке ( 
м/с, число 
):
и 
м/с. (238)
2. Рассмотрим теперь движение груза на участке . Найденная скорость 
будет для движения на этом участке начальной скоростью ( 
). Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы , 
, 
и 
. Проведем из точки оси 
и 
и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось :
,
или
, (239)
где 
. Для определения 
составим уравнение в проекции на ось . Так как 
, получим 
, откуда 
. Следовательно, 
. Кроме того, 
и уравнение (239) примет вид:
. (240)
Разделив обе части равенства на , вычислив 
и 
, подставим эти значения в (9). Тогда получим:
. (241)
Умножая обе части уравнения (241) на 
и интегрируя, найдем:
. (242)
Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке , считая в этот момент 
. Тогда при 
, где 
дается равенством (238). Подставляя эти величины в (242), получим
.
При найденном значении 
уравнение (242) дает:
. (243)
Умножая здесь обе части на и снова интегрируя, найдем
. (244)
Так как при 
, то 
и окончательно искомый закон движения груза будет
. (245)
где 
– в метрах, 
– в секундах.
Ответ: , – в метрах, – в секундах.
Пример 8. В центре тяжести тележки массой 
, движущейся по гладкой горизонтальной плоскости, укреплен невесомый стержень 
длиной с грузом массой 
на конце (рис. 56). В момент времени 
, когда скорость тележки 
, стержень начинает вращаться вокруг оси по закону 
.
Дано: 
кг, 
кг, 
м/с, 
м, 
рад, где – в секундах.
Определить: закон изменения скорости тележки 
.
Решение:
1. Рассмотрим механическую систему, состоящую из тележки и груза , в произвольном положении (рис. 56). Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести 
, 
и реакции плоскости 
, 
. Проведем координатные оси 
так, чтобы ось была горизонтальна.
Чтобы определить 
, воспользуемся теоремой об изменении количества движения системы 
в проекции на ось . Так как все действующие на систему внешние силы вертикальны (рис. 56), то 
и теорема дает
, откуда 
. (246)
Для рассматриваемой механической системы 
, где 
и 
– количества движения тележки и груза соответственно ( 
– скорость тележки, 
– скорость груза по отношению к осям ). Тогда из равенства (246) следует, что
или 
. (247)
2. Определение 
. Рассмотрим движение груза как сложное, считая его движение по отношению к тележке относительным (это движение, совершаемое при вращении стержня вокруг оси ), а движение самой тележки – переносным. Тогда 
и
. (248)
Но 
и, следовательно, 
. Вектор 
направлен перпендикулярно стержню и численно 
.
Изобразив этот вектор на рис. 56 с учетом знака 
, найдем, что 
. Окончательно из равенства (248) получим
. (249)
(В данной задаче величину можно еще найти другим путем, определив абсциссу 
груза , для которой, как видно из рис. 56, получим 
, тогда 
, где 
, 
.)
3. При найденном значении равенство (247), если учесть, что 
, примет вид
. (250)
Постоянную интегрирования 
определим по начальным условиям: при , 
. Подстановка этих величин в уравнение (250) дает 
и тогда из (250) получим:
.
Отсюда находим следующую зависимость скорости и тележки от времени
. (251)
Подставив сюда значения соответствующих величин, находим искомую зависимость и от от :
. (252)
Ответ:
Пример 9. Однородная горизонтальная платформа (прямоугольная со сторонами и 
), имеющая массу , жестко скреплена с вертикальным валом и вращается вместе с ним вокруг оси 
с угловой скоростью 
(рис. 57,а). В момент времени на вал начинает действовать вращающий момент 
, направленный противоположно ; одновременно груз массой , находящийся в желобе в точке 
, начинает двигаться по желобу (под действием внутренних сил) по закону 
.
Дано: 
кг, 
кг, 
с–1, 
м, 
(где 
в метрах, – в секундах), 
, где 
.
Определить: закон изменения угловой скорости платформы 
.
а) б)
Рис. 57
Решение:
1. Рассмотрим механическую систему, состоящую из платформы и груза . Для определения 
применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси :
. (253)
Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести , и реакции 
, 
и вращающий момент . Так как силы и параллельны оси , а реакции и эту ось пересекают, то их моменты относительно оси равны нулю. Тогда, считая для момента положительным направление против хода часовой стрелки, получим 
и уравнение (253) примет такой вид:
. (254)
Умножая обе части этого уравнения на 
и интегрируя, получим
. (255)
Для рассматриваемой механической системы
, (256)
где 
и 
– кинетические моменты платформы и груза соответственно.
2. Определение . Так как платформа вращается вокруг оси , то 
. Значение 
найдем по теореме Гюйгенса: 
( – момент инерции относительно оси 
, параллельной оси и проходящей через центр платформы).
Но, как известно,
.
Тогда
.
Следовательно,
. (257)
3. Для определения обратимся к рис. 57,б и рассмотрим движение груза как сложное, считая его движение по платформе относительным, а вращение самой платформы вокруг оси переносным движением. Тогда абсолютная скорость груза 
. Так как груз движется по закону 
, то 
; изображаем вектор 
на рис. 57,б с учетом знака 
(при 
направление было бы противоположным). Затем, учитывая направление , изображаем вектор 
( 
); численно 
. Тогда, по теореме Вариньона,
. (258)
Из рис. 57,б видно, что 
. Подставляя эту величину в равенство (6), находим .
4. Подставив значения и из (257) и (258) в равенство (256), получим с учетом данных задачи:
. (259)
Тогда уравнение (255), где , примет вид
. (260)
Постоянную интегрирования определяем по начальным условиям: при , 
. Получим 
. При этом значении из уравнения (260) находим искомую зависимость от :
. (261)
Ответ: с–1, где – в секундах.
Пример 10. Механическая система (рис. 58) состоит из сплошного однородного цилиндрического катка 1, подвижного блока 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней 
и 
и 
радиусом инерции относительно оси вращения 
, блока 4 и груза 5 (коэффициент трения груза о плоскость равен ). Тела системы соединены нитями, намотанными на шкив 3. К центру 
блока 2 прикреплена пружина с коэффициентом жесткости 
; ее начальная деформация равна нулю. Система приходит в движение из состояния покоя под действием силы 
, зависящей от перемещения точки ее приложения. На шкив 3 при движении действует постоянный момент сил сопротивления.
Дано: 
кг, 
кг, 
кг, 
кг, 
кг, 
м, 
м, 
м, 
, 
Н/м, 
, 
Н, 
м.
Определить: 
в тот момент времени, когда 
.
Решение:
1. Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из весомых тел 1, 3, 5 и невесомых тел 2, 4, соединенных нитями. Изобразим действующие на систему внешние силы: активные , 
, , 
, 
, реакции 
, 
, 
, 
, натяжение нити 
, силы трения 
, 
и момент .
Для определения воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:
. (262)
2. Определяем 
и 
. Так как в начальный момент система находилась в покое, то 
. Величина равна сумме энергий всех тел системы:
. (263)
Учитывая, что тело 1 движется плоскопараллельно, тело 5 – поступательно, а тело 3 вращается вокруг неподвижной оси, получим
,
,
, (264)
Все входящие сюда скорости надо выразить через искомую . Для этого предварительно заметим, что 
, где – любая точка обода радиуса шкива 3 и что точка 
– мгновенный центр скоростей катка 1, радиус которого обозначим 
. Тогда
, 
. (265)
Кроме того, входящие в (3) моменты инерции имеют значения
, 
. (266)
Подставив все величины (265) и (266) в равенства (264), а затем, используя равенство (263), получим окончательно
. (267)
3. Найдем сумму работ всех действующих внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда центр катка 1 пройдет путь 
. Введя обозначения: 
– перемещение груза 5 ( 
), 
– угол поворота шкива 3, 
и 
– начальное и конечное удлинения пружины, получим
,
,
,
,
.
Работы остальных сил равны нулю, т.к. точки и 
, где приложены силы , и – мгновенные центры скоростей; точки, где приложены силы , и – неподвижны; а сила – перпендикулярна перемещению груза.
По условиям задачи, 
. Тогда 
, где 
– перемещение точки (конца пружины). Величины и надо выразить через заданное перемещение . Для этого учтем, что зависимость между перемещениями здесь такая же, как и между соответствующими скоростями. Тогда, так как 
(равенство 
уже отмечалось), то и 
.
Из рис. 59 видно, что 
, а так как точка является мгновенным центром скоростей для блока 2 (он как бы «катится» по участку нити 
), то 
; следовательно, и 
. При найденных значениях и для суммы вычисленных работ получим
. (268)
Подставляя выражения (267) и (268) в уравнение (262) и учитывая, что , придем к равенству
. (269)
Из равенства (269), подставив в него числовые значения заданных величин, найдем искомую угловую скорость .
Ответ: 
с–1.
Пример 11. Механическая система (рис. 60) состоит из обмотанных нитями блока 1 радиуса 
и ступенчатого шкива 2 (радиусы ступеней 
и 
, радиус инерции относительно оси вращения 
), и из грузов 3 и 4, прикрепленных к этим нитям. Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом , приложенной к блоку 1.
Дано: 
Н, 
Н, 
Н, 
Н, 
, 
м, 
м, 
м; 
м.
Определить: ускорение груза 3, пренебрегая трением.
Рис. 60
Решение:
1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из тел 1, 2, 3, 4, соединенных нитями. Система имеет одну степень свободы. Связи, наложенные на эту систему, – идеальные.
Для определения 
применим общее уравнение динамики:
, (270)
где 
– сумма элементарных работ активных сил; 
– сумма элементарных работ сил инерции.
2. Изображаем на чертеже активные силы , , 
и пару сил с моментом . Сообщим системе возможное перемещение 
и составим выражение для суммы работ:
.
Выразим 
через 
:
.
В результате получим
. (271)
3. Задавшись направлением ускорения 
, изображаем на чертеже силы инерции 
, 
и пару сил инерции с моментом 
, величины которых равны:
, 
, 
. (272)
Сообщая системе возможное перемещение , получим:
. (273)
Выразим все ускорения, входящие в (272) через искомую величину
, 
,
а перемещения через :
, 
, 
.
В результате получим:
. (274)
Подставив величины и (формулы (271) и (274)) в уравнение (270), и сократив на , найдем:
. (275)
Вычисления дают 
м/с2. Знак указывает, что ускорение груза 3 и ускорения других тел направлены противоположно показанным на рис. 60.
Ответ: м/с2, ускорение груза 3 и ускорения других тел направлены противоположно показанным на рисунке.
Пример 12.
Механическая система (рис. 60) состоит из обмотанных нитями блока 1 радиуса и ступенчатого шкива 2 (радиусы ступеней и , радиус инерции относительно оси вращения ), и из грузов 3 и 4, прикрепленных к этим нитям. Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом , приложенной к блоку 1.
Дано: Н, Н, Н, Н, , м, м, м; м.
Определить: ускорение груза 3, пренебрегая трением.
Решение:
1. Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты перемещение груза 3, полагая, что он движется вниз и отсчитывая в сторону движения (рис. 60). Составим уравнение Лагранжа:
. (276)
2. Определим кинетическую энергию всей системы, равную сумме кинетических энергий всех тел:
. (277)
Грузы 3 и 4 движутся поступательно, поэтому шкив 2 вращается вокруг неподвижной оси, следовательно
, 
, 
. (278)
Скорости 
, 
и 
выразим через обобщенную скорость 
:
, 
, 
. (279)
Подставляя значения величин (279) в равенства (278), а затем значения 
, 
и 
в соотношение (277), получим:
. (280)
Так как кинетическая энергия зависит только от , производные левой части уравнения (276) примут вид:
,
, 
. (281)
3. Найдем обобщенную силу 
. Для этого составим уравнение работ активных сил на перемещении . Воспользуемся соотношением (271) примера 11:
. (282)
.
Коэффициент при в (282) и будет обобщенной силой:
. (283)
Подставляя (281) и (283) в уравнение (276), получим
.
Отсюда находим
м/с2,
что совпадает с ответом примера 11.
Ответ: м/с2, что ускорение груза 3 и ускорения других тел направлены противоположно показанным на рисунке.
Контрольные Вопросы
1. Основные понятия статики.
2. Алгебраический и векторный момент силы относительно точки.
3. Момент силы относительно оси.
4. Пара сил и момент пары сил.
5. Аксиомы статики.
6. Простейшие теоремы статики.
7. Система сходящихся сил.
8. Эквивалентность пар сил.
9. Условия равновесия пар сил.
10. Приведение произвольной системы сил к простейшему виду.
11. Формы условия равновесия пространственной системы сил.
12. Условия равновесия пространственной системы параллельных сил.
13. Теорема Вариньона.
14. Формы условий равновесия плоской системы сил.
15. Распределенные силы.
16. Типы реакций связей.
17. Сила трения скольжения.
18. Трение качения.
19. Определения и формулы для вычисления центров тяжести
20. Методы определения центров тяжести
21. Центры тяжести простейших тел.
22. Кинематика точки: скорость и ускорение точки.
23. Векторный способ изучения движения точки.
24. Координатный способ изучения движения точки.
25. Естественный способ изучения движения точки.
26. Теорема о проекциях скоростей.
27. Поступательное движение твердого тела.
28. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
29. Плоское движение твердого тела.
30. Мгновенный центр скоростей.
31. Мгновенный центр ускорений.
32. Сложение скоростей (общий случай переносного движения).
33. Сложение ускорений (общий случай переносного движения).
34. Ускорение Кориолиса.
35. Аксиомы динамики.
36. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
37. Основные задачи динамики точки.
38. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки.
39. Дифференциальные уравнения движения точки в неинерциальной системе отсчета.
40. Основное свойство внутренних сил.
41. Геометрия центра масс.
42. Моменты инерции относительно точки и оси.
43. Моменты инерции относительно осей координат
44. Теорема Штейнера.
45. Моменты инерции однородных простейших тел.
46. Количество движения точки и системы, элементарный и полный импульсы силы.
47. Теорема о движении центра масс системы.
48. Теорема об изменении количества движения точки.
49. Теорема об изменении количества движения системы.
50. Законы сохранения количества движения.
51. Кинетический момент точки и системы.
52. Кинетический момент относительно оси вращения при вращательном движении твердого тела.
53. Теорема об изменении кинетического момента точки.
54. Теорема об изменении кинетического момента системы.
55. Законы сохранения кинетических моментов.
56. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
57. Теорема об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс.
58. Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела.
59. Работа силы.
60. Примеры вычисления работы сил.
61. Кинетическая энергия точки и системы. Теорема Кёнига.
62. Кинетическая энергия твердого тела.
63. Теорема об изменении кинетической энергии точки.
64. Теорема об изменении кинетической энергии системы.
65. Теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении.
66. Классификация связей.
67. Возможное перемещение точки и системы.
68. Принцип Даламбера для материальной точки.
69. Принцип Даламбера для системы материальных точек.
70. Обобщенные координаты системы.
71. Обобщенные силы.
72. Элементарная работа силы на возможном перемещении. Идеальные связи.
73. Принцип возможных перемещений.
74. Условия равновесия системы в терминах обобщенных координат.
75. Объединенный принцип Даламбера-Лагранжа.
76. Уравнения Лагранжа.
заключение
В данном учебном пособии кратко изложены основные положения, понятия и законы, которыми оперирует теоретическая механика. Представленный материал соответствует необходимому минимуму, предусмотренному учебными и рабочими программами различных специальностей заочной формы обучения. При этом совершенно не затрагиваются вопросы исторического развития теоретической механики, а также дополнительные разделы, изучение которых индивидуально для каждой специальности. Для изучения этих вопросов, а также для более глубокого изучения курса в библиографическом списке приведен перечень литературы, к которой может обратиться читатель. В пособии также рассмотрены примеры решения задач по статике, кинематике и динамике, которые помогут при решении контрольных работ. Для подготовки к зачету (экзамену) приведены контрольные вопросы для самопроверки, охватывающие основной материал дисциплины.
Библиографический список
1. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики: учебник для машиностроит. и приборостроит. спец. вузов / Н.Н. Никитин. – М.: Высш. шк., 1990. 607с.