Задачи для самостоятельного решения. Решение типовых задач
ЗАДАЧИ
Решение типовых задач
Задача а. В районе проживает 2500 семей. В порядке случайной бесповторной выборки проведено обследование 50 семей. В результате обследования получены следующие данные о размере семьи:
| число детей в семье | ||||||
| количество семей |
Определить с вероятностью 0,954 среднее количество детей в семье в данном районе.
Решение. Для расчета ошибки необходимо определить дисперсию выборочной совокупности. На первом этапе рассчитывается средняя выборочная чел. Дисперсия выборочной совокупности равна чел.
Средняя ошибка выборки равна
чел.
Для определения пределов, в которых находится количество детей в семье в генеральной совокупности, необходимо рассчитать предельную ошибку выборки. Для ее расчета определяется коэффициент доверия t по таблице - он равен 3. Тогда .
Пределы, в которых находится среднее значение детей в семье в районе, . Генеральная средняя находится в пределах 2,01>x>0.99.
С вероятностью 0,997 можно утверждать, что число детей в семьях района колеблется от 0,99 до 2,01 чел.
Задача б.Методом случайной повторной выборки было взято для проверки 200 деталей, в результате чего был установлен средний вес детали (30 г) при среднем квадратическом отклонении 4 г. С вероятностью 0,954 требуется определить предел, в котором находится средний вес деталей в генеральной совокупности.
Решение. Средняя ошибка выборочной средней
г.
Предельная ошибка выборочной средней с вероятностью 0,954 составит
г.
Верхняя граница генеральной средней составит 30+0,56=30,56 г, нижняя 30-0,56=29,44 г.
С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний вес детали колеблется в пределах 29,44<x<30.56.
Задача в.При разработке материалов учета городского населения методом случайного бесповторного отбора было установлено, что в городе 15% жителей старше 60 лет. Из общей численности населения города (500 тыс. чел.) было отобрано 50 тыс. чел. С вероятностью 0,683 определить предел, в котором находится доля жителей города в возрасте старше 50 лет.
Решение. Средняя ошибка выборочной доли равна
При вероятности 0,683 коэффициент доверия t=1. Предельная ошибка выборочной доли составит .
Нижняя и верхняя границы интервала определяются, как и в предыдущих задачах.
С вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля жителей в возрасте старше 60 лет в городе колеблется от 10,2 до 19,8%.
Задача г. При обследовании 100 образцов изделий, отобранных из партии в случайном порядке, оказалось 20 нестандартных. С вероятностью 0,954 определить предел, в котором находится доля нестандартной продукции во всей партии.
Решение. Доля нестандартной продукции в выборочной совокупности равна w=20/100=0,2. Средняя ошибка выборочной доли равна
.
Предельная ошибка выборочной доли с вероятностью 0,954 составит 0,08.
С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля нестандартной продукции в партии товара колеблется от 0,12 до 0,28.
Задача д. В районе проживает 200 семей. В порядке случайной бесповторной выборки предполагается определить средний размер семьи при условии, что ошибка выборочной средней не должна превышать 0,8 с вероятностью P=0,954 и при среднем квадратическом отклонении 2,0.
Решение. Расчет необходимой численности ведется по формуле
Соответственно, необходимая численность выборки 24 семьи.
Задача е. Для определения средней длины детали необходимо провести выборочное обследование методом случайного повторного отбора. Какое количество деталей надо отобрать, чтобы ошибка выборки не превышала 2 мм с вероятностью 0,954 при среднем квадратическом отклонении 8 мм.
Решение. Расчет необходимой численности проводится следующим образом:
детали.
Задачи для самостоятельного решения
4.1.На заводе, где число рабочих составляет 100 чел., было проведено выборочное обследование возраста рабочих. Методом случайного бесповторного отбора было отобрано 50 чел. Результаты обследования следующие:
| Возраст рабочих, лет | До 30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | Свыше 60 |
| Число рабочих, чел. |
С вероятностью 0,997 определить предел, в котором находится средний возраст рабочих завода.
4.2. Для изучения производительности труда проведено 10-процентное выборочное обследование 100 рабочих методом случайного бесповторного отбора. В результате обследования были получены следующие данные:
| Время обработки одной детали, мин. | 18-20 | 20-22 | 22-24 | 24-26 | 26-28 | 28-30 |
| Число рабочих, чел. |
С вероятностью 0,997 определите предел, в котором находится среднее время обработки одной детали.
4.3. В порядке простой случайной повторной выборки было подвергнуто испытанию на разрыв 100 нитей из партии. В результате обследования установлена средняя крепость пряжи 320 г при среднем квадратическом отклонении 20 г. С вероятностью 0,954 определить предел, в котором находится средняя крепость пряжи в партии.
4.4. В порядке случайной повторной выборки из партии взято 100 проб продукта. В результате исследования установлена влажность продукта в выборке – 9% при среднем квадратическом отклонении 1,5%. С вероятностью 0,954 определить предел, в котором находится средняя влажность продукта в партии.
4.5.На основании результатов переписи населения города, насчитывающего 2 тыс. семей, методом случайного бесповторного отбора обследовано 80 семей. В результате обследования установлено, что 24 семьи состоят из 4 и более человек.
С вероятностью 0,954 определить предел, в котором находится доля семей, состоящих из 4 и более человек.
4.6. Для изучения мнения студентов из всей совокупности в 10 тыс. чел., методом случайного бесповторного отбора было опрошено 600 студентов. Из них 240 одобрили предлагавшиеся мероприятия. С вероятностью 0,954 определить предел, в котором находится доля студентов, одобривших мероприятия по всей совокупности.
4.7. В порядке случайной повторной выборки было отобрано 400 ед. продукции, из которых 20 были забракованы. С вероятностью 0,954 определить предел, в котором находится доля бракованной продукции предприятия.
4.8. При обследовании 500 образцов изделий, отобранных из партии в процессе простой случайной повторной выборки, оказалось 40 нестандартных. С вероятностью 0,954 определить предел, в котором находится доля нестандартной продукции.
4.9.Для определения среднего размера вклада определенной категории вкладчиков в сберегательные учреждения города, где число вкладчиков равно 5000, необходимо провести выборку лицевых счетов методом случайного бесповторного отбора. Предварительно установлено, что среднее квадратическое отклонение вкладов составляет 120 руб. Определить необходимую численность выборки при условии, что с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превысит 10 руб.
4.10. Для установления среднего возраста 50 тыс. читателей библиотеки необходимо провести выборку из читательских карточек методом случайного бесповторного отбора. Предварительно установлено, что среднее квадратическое отклонение возраста читателей равно 10 годам. Определите необходимую численность выборки при условии, что с вероятностью 0,954 ошибка выборки будет не боле 2 лет.
4.11. На предприятии предполагается провести выборочное обследование работников методом случайного повторного отбора для определения средней заработной платы. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,997 ошибка выборки не превышала 3 руб., если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 144 руб.
4.12.В городе предполагается определить средний размер семьи методом случайного повторного отбора. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,5 чел., если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 2,25 чел.
4.13.Для определения средней цены говядины на рынках города предполагается произвести выборочную регистрацию цен. Известно, что цены на говядину колеблются от 40 до 70 руб. за 1 кг. Сколько торговых точек необходимо обследовать, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки при определении средней цены не превышала 2 руб. за 1кг.
4.14.Как изменится необходимый объем собственно случайной повторной выборки, если уровень вероятности, с которым требуется получить результат, увеличить с 0,683 до 0,954; с 0,954 до 0,997?
4.15.Объем выборки: 1) увеличился в 2 раза; 2) уменьшился в 2 раза. Определить, как изменится ошибка простой случайной повторной выборки.
4.16.Для определения средней продолжительности телефонного разговора и доли разговоров, продолжительность которых превышает 5 мин., предлагается провести выборочное наблюдение методом случайной выборки. По данным аналогичных обследований, среднее квадратическое отклонение продолжительности разговора составило 3,5 мин., а доля телефонных разговоров, продолжительностью более 5 мин., составила 0,4. Сколько телефонных разговоров необходимо обследовать для того, чтобы с вероятностью 0,954 (0,997) найти среднюю продолжительность телефонного разговора, с ошибкой, не превышающей 30 сек., а также долю телефонных разговоров, продолжительность которых превышает 5 мин., с ошибкой, не превышающей 5%?
4.17.Обработка детали № 318 производится в цехе на трех станках, имеющих различную производительность. Для определения доли бракованных деталей для всей партии продукции организована типическая выборка. Методом бесповторного отбора от каждого станка взято 10% деталей из обработанных за день и получены следующие результаты:
| № станка | №1 | №2 | №3 |
| Число проверенных деталей, шт. | |||
| В том числе брак |
Определить: 1) предельную ошибку выборки и доверительные интервалы, в которых с вероятностью 0,997 будет находиться процент брака для всей партии деталей, обработанных за день; 2) вероятность того, что процент брака для всей партии деталей будет отличаться от полученного по выборке не более чем на 0,7%.
4.18. Для установления дальности пробега машин на трех автобазах методом случайного бесповторного отбора было отобрано 300 путевок. Из них на автобазе №1 – 150, № 2 – 60, № 3 – 90 путевок. В результате обследования установлено, что доля машин с дальностью пробега свыше 100 км составляет на автобазе № 1 – 30%, на автобазе № 2 – 15%, на автобазе № 3 – 25%. С вероятностью 0,954 определить предел, в котором находится доля машин с дальностью пробега, превышающей 100 км, по трем автобазам.
4.19.При контрольной проверке качества поставленной в торговлю колбасы получены следующие данные о содержании поваренной соли в пробах, %: 4,3; 4,2; 3,8; 4,3; 3,7; 3,9; 4,5; 4,4; 4,0; 3,9. По данным выборочного обследования установить с вероятностью 0,95 предел, в котором находится средний процент содержания поваренной в данной партии товара.
4.20.В механическом цехе завода в порядке малой выборки изучались фотографии рабочего дня 10 рабочих. Время непроизводительной работы и перерывов, зависящих от рабочего и по организационно-техническим причинам, для обследованных рабочих составило: 52, 48, 60, 46, 62, 54, 51, 49, 55, 53 мин. Определить: 1) доверительные пределы, в которых находится среднее время непроизводительной работы и перерывов для всех рабочих цеха, гарантируя результат с вероятностью 0,99; 2) вероятность того, что среднее время непроизводительной работы и перерывов всех рабочих цеха отличалось от полученного по выборке не более чем на 3 мин.
4.21.Из партии электроламп произведена малая выборка (отбор случайный, бесповторный) для определения продолжительности службы ламп. Результаты выборки следующие:
| № лампы | ||||||||||
| Срок горения, ч |
На основе приведенных данных требуется: 1) определить доверительные интервалы, в которых заключена средняя продолжительность службы ламп для всей партии, гарантируя результат с вероятностью 0,99; 2) определить вероятность того, что средний срок службы ламп для всей партии отличается от полученного по выборке не более чем на 40 ч.
Типическая выборка
Основные понятия
Величина средней для всей совокупности
,
где Ni – объем i-ой типической группы в генеральной совокупности.
Стандартная ошибка типической выборки по средней:
для повторного отбора ,
для бесповторного отбора ;
Стандартная ошибка по доле:
для повторного отбора ,
для бесповторного отбора .
ЗАДАЧИ