Вращательное движение и его параметры

3.3.1. Модель вращательного движения и основные соотношения

Вращательное движение: движение тела, отдельные точки которого

описывают окружности разных радиусов с центрами, лежащими на неподвижном перпендикуляре к плоскости тела (на оси).

Основные параметры вращательного движения можно уяснить из схемы (рис.3.1).

Рис.3.1. Модель вращательного движения

Здесь показаны следующие геометрические параметры: r – радиус тела вращения (например, колеса); - элементарный угол поворота; dx – линейное перемещение точки 0₁ (на ободе колеса) при повороте колеса на элементарный угол . Параметры движения: линейная скорость движения колеса под действием окружного усилия (окружная сила) ; угловая скорость; n – частота вращения колеса (число оборотов в единицу времени; например, число оборотов в минуту); сила сопротивления движению колеса. Энергетический параметр – L, механическая работа, передаваемая от внешнего тела. При рассмотрении вращательного движения вся масса колеса m считается сосредоточенной в одной точке (точка 0₁ на схеме).

Основные соотношения для вращательного движения:

1) [рад/с]; если n измеряется в об/мин., то

2)

3) угловое ускорение, 1/с²;

4) согласно второму закону механики или после умножения левой и правой частей на r получаем ; величина момент инерции относительно оси y; момент окружной силы; момент силы сопротивления; поэтому ;

5) L=L_u+L_c,

где L – работа , подводимая к вращающемуся объекту;

L_u – полезная работа перемещения материальной точки под действием окружной силы ;

L_c – работа преодоления сил сопротивления ;

механический коэффициент полезного действия;

изменение работы в единицу времени (мощность);

уравнения энергии: , или

3.3.2. Расчет параметров вращательного движения

Задача № 1

Частота вращения колеса лопаточного типа вентилятора в салоне транспортного средства равна 300 об/мин. В момент времени t₀ = 0 оно начинает двигаться равнозамедленно, с угловым ускорением – 0,2 рад/с². С какой частотой будет вращаться колесо через 1 мин?

Представим условие задачи в формализованном виде: n₀ = 300 об/мин; рад/с²; t=1 мин = 60 с; определить n.

Решение.

Для определения n воспользуемся формулами: Тогда [об/с] – [рад/с];

[об/с] = [об/мин] = об/мин.

Задача № 2

К ободу однородного сплошного диска, являющегося деталью одного из агрегатов станции технического обслуживания, приложена касательная сила 100 Н. Радиус диска – 0,5 м. При вращении диска на него действует момент сил трения 2 Н.м. Определить массу диска, если известно, что его угловое ускорение постоянно и равно 12 рад/с².

Решение.

Условие задачи в формализованном виде: r= 0,5 м, P_u = 100 Н, M_тр = 2 Н.м, 12 рад/с²; определить m. Для решения задачи воспользуемся формулой или . Известно, что для диска ; тогда получим ; отсюда кг.

Задача № 3

Скорость вращения колеса в редукторе погрузочного конвейера в течение 1 минуты уменьшилась с 300 об/мин до 180 об/мин. Вращение колеса при торможении равнозамедленное. Момент инерции колеса 2 кгм². Определить:

1) угловое ускорение колеса; 2) момент силы торможения; 3) работу силы торможения.

Решение.

Условие задачи в формализованном виде: 2 кгм²;

t= 1 мин; n₁= 300 об/мин; n₂ =180 об/мин; определить М_торм., L_торм..

1. Определение углового ускорения колеса: рад/с;

рад/с².

2. Определение момента силы торможения: ;

Нм.

3. Определение работы силы торможения. Работа силы торможения равна изменению кинетической энергии колеса при уменьшении его угловой скорости с 300 об/мин до 180 об/мин за время t = 1 мин. Кинетическая энергия вращающегося тела равна сумме кинетических энергий всех точек тела

где m_i – масса i-й точки тела; r_i – расстояние (радиус) от i-й точки тела до оси (колеса); w_i – линейная скорость i-й точки.

Тогда

где момент инерции тела относительно оси.

Поэтому

Дж.