Потенциальный порог. Классическое рассмотрение движения микрочастицы через потенциальный порог

Кафедра

УТВЕРЖДАЮ

Заведующая кафедрой

. Е.Рябоконь

«»_________2013 г.

ЛЕКЦИЯ

по учебной дисциплине «Ф И З И К А»

Д-0302-1

Раздел № 5. Основы квантовой физики

Тема № 20. Элементы квантовой механики

Занятие № 85. Рассеяние квантовой частицы на потенциальном пороге

Обсуждено на заседании предметно-методической комиссии Протокол №______ от «_____»_______________2013г.

Санкт-Петербург

I. Учебные цели

Научить использовать уравнение Шредингера для расчета коэффициентов прозрачности.

II. Воспитательные цели

Воспитывать диалектико-материалистическое мировоззрение; привычку к строгому логическому мышлению.

III. Расчет учебного времени

Содержание и порядок проведения занятия

Время, мин

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ Учебные вопросы 1. Потенциальный порог. Классическое рассмотрение движения микрочастицы через потенциальный порог. 2. Решение уравнения Шредингера для стационарных состояний в случае потенциального порога при Е>П. 3. Коэффициенты отражения и прозрачности. 4. Решение уравнения Шредингера для стационарных состояний в случае потенциального порога при Е<П. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ

IV. Литература

1. Савельев И.В. «Курс общей физики», книга 5, М., Астрель АСТ, 2004 с. 85-90;

2. Исмагилов Р. Г. «Квантовая физика», часть 1, С-Пб, СПВВИУС, 1998 с. 65-76

3. Савельев, И. В.Курс общей физики. В 5 кн. Кн.5. Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц: учебное пособие для втузов Издательство: Астрель, АСТ, 2004 г.

4. Трофимова Т.И. Курс физики : учеб.пособие для студ. учреждений высш. проф. образования — 19-е изд., стер. — М. : Издательский центр «Академия», 2012. — 560 с.

5. Савельев И.В. Курс общей физики: в 4 т. — Т. 3. Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц: учебное пособие. — 2-е изд., стер. — М.: КНОРУС, 2012. — 368 с.

V. Учебно-материальное обеспечение

1. Конспект лекций курсантов

2. Ноутбук

3. Интерактивная доска

VI. Текст лекции

Введение

На предыдущем занятии было получено решение уравнения Шредингера для частного случая частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками и проанализировано полученное решение. На данном занятии рассмотрим поведение квантовой частицы в области потенциального порога и сравним полученные результаты с движением классической частицы.

Учебные вопросы

Потенциальный порог. Классическое рассмотрение движения микрочастицы через потенциальный порог

Рассмотрим движение частицы с потенциальной энергией P (x) (рис. 1):

(1)

Такая зависимость потенциальной энергии от координаты обозначается словами "потенциальный порог" и встречается в любом контакте двух разнородных материалов (например, в p-n-переходе).

Для определенности будем считать высоту порога P_o положительной величиной, и пусть частицы налетают на порог из области 1 (x < 0 ). Нас будет далее интересовать вопрос: какова вероятность проникновения частицы в область 2 (x >0 )?

Очевидно, возможны три случая: а) Е >P_o, б) E < P_o, в) E =P_o. Рассмотрим каждый из них отдельно.

1. Энергия частицы больше высоты потенциального порога: Е >P_o.

С точки зрения классической механики, частица, переходя из области 1 в область 2 лишь уменьшает свой импульс. Действительно, поскольку полная энергия частицы сохраняется (действуют только потенциальные силы), то импульс меняется согласно следующей формуле:

где m - масса частицы. При этом в областях 1, 2 импульс имеет постоянные значения:

(2)

Поскольку P_o>0, то p₁ >p₂, т.е. при переходе в область 2 скорость и импульс частицы уменьшаются. Но импульс нигде не обращается в ноль, поэтому направление движения не меняется, и вероятность перехода в область 2 равна единице.

Частица вблизи потенциального порога при E <P_o. С точки зрения классической механики в этом случае (E <P_o) проникновение частиц из области 1 в область 2 невозможно. Согласно формуле (2), импульс частицы в области 2 принимает чисто мнимые значения. Поэтому в классической механике область, в которой полная энергия частицы меньше ее потенциальной энергии, запретна: частицы не могут туда проникнуть. Таким образом, если энергия классической частицы меньше высоты порога, то вероятность перехода в область 2 равна нулю, все частицы отражаются от порога и остаются в области 1.

2. Решение уравнения Шредингера для стационарных состояний в случае потенциального порога при Е>П

Перейдем теперь к описанию движения квантовой частицы. Потенциальная энергия не зависит от времени, следовательно, общее решение уравнения Шредингера имеет вид:

(3)

Пусть энергия частицы известна точно. Тогда из всех коэффициентов с_Eотличен от нуля только один. (Напомним: úс_Eú² есть вероятность получить значение Е при измерении энергии частицы. Значит, общее решение (3) превращается в более простое выражение

(4)

Осталось определить амплитудную волновую функцию Y_E(x). Запишем амплитудное уравнение Шредингера отдельно для областей 1 и 2:

(5)

Волновая функция Y_E(x), равная Y₁(x) в области 1 и Y₂(x) в области 2, должна быть непрерывна и должна иметь непрерывную производную при любом x, в том числе и при x=0. Это означает, что

(6)

Для рассматриваемого случая Е > P_o можно ввести волновые числа

(7)

в обеих областях 1 и 2. Импульсы частицы p₁, p₂ в соответствующих областях связаны с ними формулами

Уравнения (5) запишем теперь в виде

Получим их общие решения:

(8)

где A_1,2 , B_1,2 — произвольные комплексные коэффициенты. Выясним их физический смысл. Для этого подставим выражения (8) вместо Y_E(x) в (4):

(9)

Волновые функции Y₁(x) и Y₂(x) (в областях 1 и 2 соответственно) оказались суперпозициями волн де Бройля. Причем волны с амплитудами A₁, A₂ распространяются в положительном направлении, а волны с амплитудами B₁, B₂ — в отрицательном. Значит, волна с амплитудой A₁соответствует частицам, налетающим на порог из области 1; волна с амплитудой B₁ описывает частицы, отраженные от порога и, поэтому, изменившие направление своего движения на противоположное. Волна с амплитудой A₂, очевидно, соответствует частицам, прошедшим через порог в область 2. Эти частицы теперь удаляются от порога, двигаясь в положительном направлении. Волна с амплитудой B₂описывает частицы, движущиеся в области 2 от +¥ к порогу. По условию задачи таких частиц нет, значит нет и соответствующей волны. Поэтому следует положить

В₂ = 0 . (10)

Таким образом, коэффициенты A₁, B₁, A₂ суть амплитуды налетающей, отраженной и прошедшей волн. Квадрат модуля каждой из этих амплитуд, как известно, определяет концентрацию частиц в своей волне.

Условия непрерывности (8) позволяют связать значения амплитуд A₁, B₁, A₂ . Для этого вычислим производные функций (8):

(11)

Подставим (8), (10), (11) в (6):

Полученная система уравнений позволяет выразить B₁ и A₂ через A₁:

. (12)

Таким образом, амплитуды отраженной (B₁) и прошедшей (A₂) волн выражены через амплитуду падающей волны (A₁).