Понятие статистического распределения, функция рас-пределения. Распределение Максвелла молекул газа по скоростям
В соответствии с молекулярно-кинетической теорией молекулы газа совершают хаотическое движение. Это позволяет предположить, что в состоянии термодинамического равновесия все направления скоростей молекул в пространстве равновероятны, хотя значения этих скоростей не являются равновероятными (опыт Штерна).
Разобьем общее число молекул N на небольшие группы из dNυ молекул, значение скорости которых лежат в пределах от υ до υ + dυ. Тогда dp = dNυ /N это вероятность того, что молекула газа имеет ско-рость в заданном интервале от υ до υ + dυ (или доля частиц от общего числа скорости которых лежат в интервале от υ до υ + dυ). Согласно теории вероятности, плотность вероятности (а в статистической фи-зике ее называют функцией распределения) будет иметь
| f (υ)= dp . | (10.1.1) |
| dυ |
В каждую такую группу при заданной температуре Т попадает число молекул
| dNυ= Nf (υ)dυ. | (10.1.2) |
Функция f (υ), зависящая от модуля скорости υ, называется функцией распределения молекул по скоростям. В1859г.Джеймс Максвелл полу-
чил в явном виде эту функцию. Функция распределения молекул газа по скоростям (функция распределение Максвелла) имеет вид
| m | 3 | m υ2 | |||||||
| 2 | |||||||||
| f (υ)= | exp | − | 4πυ2 . | (10.1.3) | |||||
| 2 πkT | 2kT |
Число молекул, скорости которых имеют значения, заключен-ные в пределах от υ до υ + dυ равно
| Рис. 10.1.1 |
| υв 〈υср〉 υкв |
| T2> T1 |
| T1 |
| f (υ) |
| m | 3 | m υ2 | ||||||
| 2 | 4πυ 2 d υ. (10.1.4) | |||||||
| dN υ= Nf (υ) d υ= N | exp | − | ||||||
| 2 πkT | 2kT |
А вероятность того, что молекула газа имеет скорость в заданном ин-тервале от υ до υ + dυ (или доля частиц от общего числа, скорости ко-торых лежат в заданном интервале от υ до υ + dυ) определяется вы-ражением
| dN | m | 3 | m υ2 | ||||||||
| υ | 2 | 4πυ2dυ. (10.1.5) | |||||||||
| dpυ= | = f (υ) d υ= | exp | − | ||||||||
| N | 2 πkT | 2kT |
График функции рас-пределения молекул газа по скоростям представлен на рис. 10.1.1. Скорость, отвечающая максимуму функции распре-деления молекул газа по ско-
0 υ ростям, называют наиболее
вероятной скоростью.Этойскорость обладает наибольшее
количество частиц при заданной температуре Т. Найдем наиболее веро-ятную скорость. Для этого возьмем производную по υ от выражения (10.1.3) и приравняем к нулю.
| df (υ) | d | m | 3 | m υ2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| = | 4 π | exp | − | υ | = 0 | ⇒ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| dυ | dυ | 2 πkT | 2kT | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ⇒ | − | m | υ 2 | 2 − | m | υ2 | υ= 0 ⇒ | 2 − | m υ2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| exp | = 0 . (10.1.6) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2kT | kT | kT | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| υ | в | = | 2kT | = | 2kTNA = | 2RT . | (10.1.7) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| m0 | m0 NA | M | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Найдем среднюю арифметическую скорость молекул газа: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ∞ | m | 3 | ∞ | m υ2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| υ f | ( | υ d υ= | υ3 d υ. (10.1.8) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| υ = | ∫ | 4π | ∫ | exp | − | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ) | 2kT | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| o | 2 πkT | o | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Интегрирование данного выражения по частям приводит к тому, что
| υ = | 8kT | = | 8RT . | (10.1.9) |
| πm | πM | |||
Найдем среднее значение квадрата скорости молекул газа:
| ∞ | m | ∞ | m υ2 | 3kT | |||||||||||||||||||||||||
| ( | |||||||||||||||||||||||||||||
| υ | = | ∫ | υ | f | υ d υ= | 4 π | ∫ | exp | − | υ | d υ= | . (10.1.10) | |||||||||||||||||
| ) | 2kT | m0 | |||||||||||||||||||||||||||
| o | 2 πkT | o | |||||||||||||||||||||||||||
  Корень квадратный из среднего значения квадрата скорости | υ2 на- | ||||||||||||||||||||||||||||
| зывается средней квадратичной скоростью, и она равна | |||||||||||||||||||||||||||||
| υ = υ2 | ⇒ υ = 3kT = | 3RT . | (10.1.11) | ||||||||||||||||||||||||||
| кв | кв | m0 | M | ||||||||||||||||||||||||||
Для определения доли р частиц, скорости которых лежат в некото-ром интервале скоростей от υ1 до υ2 , необходимо вычислить интеграл
| N | υ 2 | m | υ 2 | m υ2 | |||||||||||||||||||||||||||||||
| p = | f | ( | υ d υ= | d υ. (10.1.12) | |||||||||||||||||||||||||||||||
| υ = | ∫ | 4π | ∫ | exp | − | υ | |||||||||||||||||||||||||||||
| N | ) | 2kT | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| υ | 2 πkT | υ | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| С точки зрения математики величина | р −это площадь под кри- | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| волинейной | трапеции | ограниченной | интервалом | от | υ1 до υ2 | ||||||||||||||||||||||||||||||
| (рис. 10.1.2). | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Вероятность того скорость молекулы газа лежит в интервале от | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 0 до ∞ равна | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| N | ∞ | m | ∞ | m υ2 | |||||||||||||||||||||||||||||||
| υ = | ( | υ 2 d υ=1. (10.1.13) | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| p = | ∫ | f | υ d υ= 4 π | ∫ | exp | − | |||||||||||||||||||||||||||||
| N | ) | 2kT | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 πkT | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Условие (10.1.13) является условие нормировки для функции | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| распределение Максвелла. | f (υ) | dN (υ) | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| Так как в конечных пределах вы- | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| числение интеграла (10.1.12) затрудне- | N | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| но, то используют приближенные мето- | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ды расчета. Для расчетов часто исполь- | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| зуют распределения Максвелла по от- | υв. | υ1 υ2 υ | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| носительным скоростям. Относитель- | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Рис. 10.1.2 |
ной скоростью молекулы называют вели-
чину u = υ/υв . Чтобы получить распределения Максвелла по относи-тельным скоростям перейдем от переменной υ к переменной u. Произ-
| ведя подстановку | υ= u υ = u | 2kT , и dυ = du υв = du | 2kT в выраже- | ||||||||
| в | m0 | m0 | |||||||||
| нии (10.1.5) получим | |||||||||||
| dN | u | ||||||||||
| = | exp( −u | )u | du . | (10.1.14) | |||||||
| N | π |
Исходя из распределения Максвелла по скоростям, можно также найти распределение молекул по значениям кинетической энергии по-
ступательного движения.Для этого перейдем от переменнойυк пе-
| ε = m0υ | 2 | 2ε | 1 | ||||||||||||
| ременной | . | Произведя | подстановку υ= | , и | |||||||||||
| m0 | |||||||||||||||
| dυ=(2 m ε)−12 dεв выражении(10.1.5)получим | |||||||||||||||
| dN | −3 | ε | |||||||||||||
| N | ε | = | ( kT ) | 2 exp − | εdε , | (10.1.15) | |||||||||
| π | kT |
где dNε /N − доля молекул, кинетическая энергия поступательного дви-жения которых имеет значения, заключенные в пределах от ε до ε + dε, или вероятность того, что кинетическая энергия поступательного движения молекулы имеет значение, заключенное в пределах от ε до
ε + dε.
Выражение (10.1.15) называют распределением молекул по зна-чениям кинетической энергии поступательного движения.
С помощью этой функции можно вычислить среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекулы
| ∞ | ( kT )− | 3 | ∞ | − | ε | 3kT | ||||||
| ε = ∫ ε f ( ε )d ε = | e ∫ xp | ε d ε = | . (10.1.16) | |||||||||
| π | kT |
Полученный результат согласуется с законом Больцмана о рав-номерном распределении энергии по степеням свободы.
| = −ρgdh , (10.2.1) |
Барометрическая формула
Атмосферное давление на какой-либо высоте обусловлено си-
| лой тяжести вышележащих слоев газа. Допус- | |||||
| тим, что на высоте h давление будет p. Тогда | p + dp | ||||
| dh | |||||
| давление на высоте h + dh будет p + dp, при- | p | ||||
| чем если dh больше нуля, то dp < 0, так как | |||||
| давление с высотой убывает. Разность давле- | h | ||||
| ний равна давлению силы тяжести газа dmg, | |||||
| Рис. 10.2.1 | |||||
| заключенного в объеме цилиндра с площадью | |||||
| основания S и высотой dh, т. е. |
p −( p + dp )= dmg 
S ⇒−d ρ=ρSdhg S ⇒ dp
где ρ − плотность газа на высоте h.
В условиях, близких к нормальным, воздух мало чем отличается по своему поведению от идеального газа. Поэтому, применив уравне-ние Менделеева − Клапейрона для произвольной массы газа, выразим его плотность
| pV = | m | RT ⇒ | pM | = m | ⇒ ρ = | pM . | (10.2.2) | |
| M | RT | |||||||
| V | RT |
Подставим выражение (10.2.2) в (10.2.1) и получим
| dp = − pMg dh или | dp | = − Mg dh . | (10.2.3) |
| RT | p | RT |
Предположим, что температура воздуха не зависит от высоты
(изотермическая атмосфера) и на высоте h = 0 давление равно p0 .
Тогда проинтегрировав выражение (10.2.3) получим
| p | dp | h | Mg | p | Mgh | |||||
| ∫ | p | = −∫ | RT dh | ⇒ | ln | = − | RT . | (10.2.4) | ||
| p | ||||||||||
| p | ||||||||||
Потенцируя выражение (10.2.4) получим выражение
| − | Mgh | , | (10.2.5) | ||
| p = p0exp | |||||
| RT |
которое назвают барометрической формулой.
Полученная барометрическая формула дает зависимость давле-ния от высоты над поверхностью Земли для воображаемой изотерми-ческой атмосферы.
Если учесть, что
| M R =(m0 N A )(kN A )= m0 k , | (10.2.6) |
где m0 − масса одной молекулы, k − постоянная Больцмана.