Волновая функция свободной частицы

Рассмотрим волновую функцию свободной микрочастицы, кото-рая имеет определенные значения импульса р и энергии Е, т. е. движется со скоростью υ, например, вдоль оси Ох (р_у = р_z = 0). Так как из опытов следует, что параллельный пучок элементарных частиц обладает свой-ствами плоской волны распространяющейся в направлении скорости частиц, то рассмотрим в общем виде плоскую волну распространяю-щуюся вдоль Ох. Запишем волновую функцию свободной частицы в комплексном виде по аналогии с уравнением плоской волны

Ψ = Ae − i ( ω t −kx) = A cos( ω t − kx ) − i sin( ω t − kx) .

(8.6.1)

Преобразуем выражение (8.6.1), используя формулы взаимосвя-зи импульса р и энергии Е частицы (корпускулярных характеристик) с волновым числом k и циклической частотой ω (с волновыми характе-ристиками частицы)

E = hν = h

ω

⇒ ω= 2 π

E

=

E

,

(8.6.2)

2π

h

h

k =2π=

2π

= 2πp

=

p

.

(8.6.3)

h p

λ

h

h

Подставим (8.6.2−8.6.3) в уравнение (8.6.1) и получим

Ψ = Ae

−

i

(Et −px)

,

(8.6.4)

h

где h =

h

− постоянная Планка.

2π

Представим уравнение (8.6.4) в виде

i

px

−

i

Et

−

i

Et

Ψ = Ae h

e

=ψ e

,

(8.6.5)

h

h

i

px

где ψ = Aeh

− амплитудная

часть

волновой

функции,

зависящая

только от координаты.

Применим к ψ оператор Лапласа

∂ 2 ψ

∂ 2 ψ

∂ 2 ψ

∂2

i

px

i

2

i

px

Δψ =

+

+

=

Ae h

= A

p

eh

=

∂x

∂y

∂z

∂x

h

= −

m 2

υ 2

ψ = −

2 m mυ2

ψ = −

2 m

Kψ

h 2

h 2

h2

и получим уравнение Шредингера для свободной частицы

Δψ + ²_h^m₂ Kψ = 0 .

, (8.6.6)

(8.6.7)

Обобщим это уравнение для несвободной частицы, заменив кинетиче-скую энергию К на разность между полной энергией Е и потенциаль-ной энергией U:

Δψ +	2 m2 ( E − U )ψ = 0 ,	(8.6.8)
	h

где U − потенциальная энергия частицы в стационарных потенциаль-ных силовых полях.

Уравнение (8.6.8) является стационарным уравнением Шредин-гера. Изложенные выше рассуждения не могут рассматриваться как вывод уравнения Шредингера. Однако они показывают, на примере свободной частицы, каким образом можно прийти к установлению этого уравнения.