Волновая функция и ее смысл

В силу физической природы микрочастиц их движения могут быть описаны только статистически при помощи методов теории вероятностей. Экспериментатор, исследующий какое-либо проявление свойств микро­скопических частиц, всегда имеет дело не с одной частицей, а системой, состоящей из очень большого числа микрочастиц. Такая система назы­вается статистическим ансамблем.

Рассмотрим ансамбль, состоящий из N

одинаковых частиц, заполня­ющих некоторый объем пространства V. Статистическое описание пове­дения одной из частиц ансамбля осуществляется посредством функции

(19.6)

которая называется плотностью вероятности и определяется следую­щим образом.

Разделим объем V на физически бесконечно малые объемы и рассмо­трим один из них dV. Положение этого объема в пространстве определя­ется радиус-вектором г одной из принадлежащих ему точек (рис. 19.1). Пусть в момент времени t в этом объеме оказалось dN частиц. Слова " физически бесконечно малый объем" означают, что число dN частиц в объеме dV мало по сравнению с числом N частиц в ансамбле, но в то же время число dN существенно больше единицы:

1 << dN << N ,

Так как частицы непрерывно перемещаются в пространстве, число dN частиц в объеме dV может изменяться с течением времени t. Число dN зависит также от положения этого объема в пространстве, его величины и общего числа N частиц в ансамбле. Очевидно, что число частиц dN должно быть прямо пропорционально числу N и объему dV:

dN = Nw(t,r)dV. (19.7)

.

Это соотношение можно рассматривать как определение плотности веро­ятности.

Величина

(19.8)

называется вероятностью обнаружить в момент T одну произвольно выбранную частицу ансамбля внутри объема dV . Из этого определения следует, что вероятность есть неотрицательная величина, удовлетворяющая неравенству

0 ≤ dW ≤ 1.

z dV

x y V

Рис. 19.1. К определению плотности вероятности

Так как сумма чисел dN равна числу N всех частиц в ансамбле:

С

cумма вероятностей dW равна единице:

(19.9)

Это равенство называется условием нормировки вероятности. Разделим равенство (19.7) на число N. С учетом (19.8) получим

(19.10)

Подстановка этого выражения в условие нормировки (19.9) преобразует его к виду

(19.11)

Покажем теперь, как при помощи плотности вероятности можно вычи­слить средние значения некоторых физических величин, характеризую­щих состояние частицы. Именно средние значения физических величин могут быть измерены в опытах с микрочастицами. Поэтому для предска­зания результатов опытов, их математического описания и физического осмысления необходимо иметь теоретические формулы для расчета сред­них значений любых физических величин, характеризующих состояние и движение изучаемой микрочастицы.

Пусть f - некоторая физическая величина, зависящая от положения частицы в пространстве, т.е. эта величина представляет собой некото­рую функцию от радиус-вектора частицы: . Например, это может быть потенциальная энергия частицы. Припишем каждой части­це ансамбля порядковый номер i, который может принимать значения 1, 2, 3, ..., N. Радиус-вектор частицы под номером i обозначим как ;. В силу зависимости каждой частице соответствует определенное значение

величины f. Среднее значение величины f по определению равно сум­ме всех ее значений f_i , деленной на число частиц в ансамбле:

(19.12)

Так как число частиц в ансамбле очень велико, суммирование в этой формуле можно заменить интегрированием. Для этого сначала все сла­гаемые в этой сумме разделим на группы. Каждое слагаемое f_i в одной такой группе

соответствует частицам, находящимся в каком-то малом объеме dV. Если этот объем достаточно мал, то все радиус-векторы можно положить равными одному какому-то вектору При этом сумма (19.13) будет равна произведению значения на число dN частиц в объеме dV:

Подставим в эту формулу выражение (19.7). Получим

Сумма всех N значений f_i равна объемному интегралу от этого выражения. В результате придем к следующей формуле для среднего значения
функции :

(19.14)

Из этой формулы видно, что в общем случае среднее значение может зависеть от времени.

В квантовой механике описание движения одной из частиц ансамбля осуществляется при помощи так называемой волновой функции

(19.15)

В общем случае волновая функция является комплексной величиной, т.е. она содержит в себе мнимую единицу iг, квадрат которой по определению равен - 1: i²= -1. Физический смысл волновой функции заключается в том, что квадрат ее модуля равен плотности вероятности w(t, r) об­наружить частицу в момент времени t в некоторой окрестности точки :

,(19.16)

где ψ* есть функция, комплексно сопряженная по отношению к функ­ции ψ. Напомним, что комплексное число z можно представить в виде суммы z = x + iy, где х и у - действительные числа. Число z* = x – iy называется комплексно сопряженным по отношению к числу z. Таким образом, выражение, комплексно сопряженное по отношению к данному выражению, можно получить, если изменить в этом выражении знаки перед мнимой единицей на противоположные. Подстановка выражения (19.16) в равенство (19.11) преобразует его к виду

(19.17)

Это равенство называют условием нормировки волновой функции.

Экспериментальному определению доступны не сами функции и а только средние значения различных физических величин, ха­рактеризующих положение частицы и ее движение. Такими величинами являются координата частицы х, ее радиус-вектор импульс частицы его проекция р_х на ось х, энергия и другие механические величины. Зная волновую функцию, можно вычислить средние значения всех механиче­ских величин, а затем сравнить эти значения с аналогичными средними значениями, полученными в результате экспериментальных исследова­ний. Так, например, среднее значение координаты ж можно вычислить по формуле

_,

которая является следствием формул (19.14) и (19.16). Совпадение тео­ретических (расчетных) и экспериментальных значений физических ве­личин является критерием правильности теории.