Динамика вращательного движения твердого тела. Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор и импульс
Моментом импульса частицы, движущейся по некоторой траектории и имеющей в данный момент времени радиус вектор 
и импульс 
, относительно точки (центра) О, называется векторное произведение радиус-вектора и импульса частицы:
. (1.3.43)
Направление 
определяется правилом правого винта.
Векторное произведение любых векторов определяется следующим образом:
.
Закон изменения момента импульса:
. (1.3.44)
Здесь 
– момент силы.
* Скорость изменения момента импульса частицы относительно некоторой точки равна моменту силы относительно той же точки.
перпендикулярен векторам и 
, и образует с ними правую тройку векторов.
ê ê= rFsina, (1.3.45)
l = rsina,
где l – кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы – плечо силы.
Проекция вектора момента силы на некоторую фиксированную (закрепленную) ось, например ось z, называется моментом импульса относительно оси:
Lz = Iw, (1.3.46)
где I – момент инерции частицы,
I = mR2. (1.3.47)
Закон изменения момента импульса относительно оси:
, (1.3.48)
где Mz – проекция момента силы на ось z.
Спроектируем уравнение моментов для системы материальных точек 
на ось вращения Oz , получим:
или 
.
Для абсолютно твердого тела I = const, поэтому
, (1.3.49)
то есть,
* произведение момента инерции на угловое ускорение равно результирующему моменту внешних сил относительно закрепленной оси вращения.
Уравнение (1.3.49) – основное уравнение вращательного движения твердого тела относительно закрепленной оси.
Здесь I играет роль меры инертности (как масса при поступательном движении).
Как следует из основного уравнения,
* Если моменты всех сил относительно оси уравновешены, то есть, S Mz = 0, то момент импульса тела (или системы тел) относительно той же оси сохраняется: Lz = Iw = const. Это частный случай закона сохранения момента импульса.
Момент инерции тела относительно оси равен сумме произведений масс его материальных точек на квадраты их расстояний до оси вращения:
I = S miR2i.
Поскольку масса твердого тела распределена непрерывно, сумму следует заменить на интеграл. Тело разбивают на бесконечно малые объемы dV с массой dm = rdV.
Таким образом,
I = ò R2 dm = ò R2rdV, (1.3.50)
где R – расстояние от элемента dV до оси вращения.
Пример 17. Вычислить момент инерции тонкого однородного стержня массы m и длины l относительно оси, проходящей через середину стержня, перпендикулярно ему.
l/2
dm
x
O C dx
ось
Решение. Ось, относительно которой нужно рассчитать момент инерции, проходит через центр масс стержня (точку С), так как по условию задачи он однороден. Выделим элемент массы dm стержня и длины dx. Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр масс, найдем из выражения (1.3.50), учитывая, что dV = dx, так как по условию задачи стержень тонкий, а масса единицы объема (в нашем случае масса единицы длины) определяется выражением r = m/l:
.
Пример 18. Рассчитать момент инерции стержня (см. пример 17) относительно оси, проходящей через один из его концов (точку О).
Решение. Согласно (1.3.50),
.
Моменты инерции тел относительно оси, проходящей через центр масс:
Тонкого обруча: IC = mR2; (1.3.51)
Диска (цилиндра): IC = (1/2) mR2; (1.3.52)
Шара: IC = (2/5) mR2. (1.3.53)
Если момент инерции IC относительно оси, проходящей через центр масс, известен, то можно легко вычислить момент инерции относительно любой параллельной ей оси О, проходящей на расстоянии d от центра масс по теореме Штейнера:
* Момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной ей и проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:
I0 = IC + md2. (1.3.54)
Пример 19. Рассчитать момент инерции тонкого однородного стержня массы m и длины l относительно оси, проходящей через его конец (точку О), используя теорему Штейнера.
Решение. Момент инерции стержня относительно центра масс, согласно примеру 17, равно IC = ml2/12. Расстояние между осями d составляет d =l/2. По теореме Штейнера (1.3.54) имеем:
I0 = IC + m(l/2)2 = ml2/12 + ml2/4 = ml2/3.
Пример 20. Тонкий однородный стержень массы 1 кг и длиной 1 м вращается в вертикальной плоскости без трения вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень располагают под углом 30° к горизонту и отпускают без толчка. Найти угловое ускорение стержня в начальный момент времени. Ускорение свободного паления считать равным 10 м/с2.
Дано: m = 1 кг;
l = 1 м;
a = 30°;
g = 10 м/с2.
Найти: e.
Решение.
А В
a
r C
Введем следующие обозначения: АС = l, АВ = ВС = l/2, плечо силы тяжести (она действует на центр масс однородного стержня, находящегося в точке В, посередине стержня) r = (l/2)cosa. Тогда, используя основное уравнение динамики вращательного движения (1.3.49), запишем:
M = Ie,
откуда
e = M/I. (1.3.55)
Найдем момент силы тяжести М из (8.3):
М = mg = (mglcosa)/2. (1.3.56)
Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через один из его концов, мы рассчитали в примере 18: 
, поэтому, подставляя полученные выражения для момента инерции и момента сил (1.3.56) в (1.3.55), получим окончательно:
e = M/I = (3mglcosa)/(2ml2) = (3gcosa)/(2l) = 13 (рад/с2).
Ответ: 13 рад/с2.
Пример 21. Некоторое тело вращается вокруг закрепленной оси без трения. Его момент импульса относительно этой оси зависит от времени по закону L(t) = At2 + Bt + C. Через 0,5 секунд после начала вращения тело имело угловое ускорение 2 рад/с2. Найти зависимость момента инерции тела от времени и его величину через 0,5 секунд после начала вращения. А = 1 кг×м2/с3, В = 2 кг×м2/с2, С = 1 кг×м2/с.
Дано: L(t) = At2 + Bt + C;
t = 0,5 с;
e = 2 рад/с2;
А = 1 кг×м2/с3, В = 2 кг×м2/с2, С = 1 кг×м2/с.
Найти: I(t), I.
Решение. Запишем основное уравнение динамики вращательного движения (1.3.49), откуда выразим момент инерции:
.
Чтобы рассчитать момент инерции тела в момент времени 0,5 с, подставим в полученное выражение значения углового ускорения и коэффициентов А и В:
I = (1/2)×(2×1×0,5 + 2) = 1,5 (кг×м2).
Ответ: I(t) = 
; I = 1,5 кг×м2.