Гармонические колебания. Динамика колебательного движения

Движения, обладающие той или иной степенью повторяемости, называются колебаниями.

Если значения физических величин, изменяющихся в процессе движения, повторяются через равные промежутки времени, то такое движение называется периодическим. В зависимости от физической природы колебательного процесса различают механические и электромагнитные колебания. По способу возбуждения колебания делят на: свободные(собственные), происходящие в представленной самой себе системе около положения равновесия после какого-либо первоначального воздействия; вынужденные – происходящие при периодическом внешнем воздействии.

На рисунках а—е представлены графики зависимости смещения x от времени t (коротко говоря, графики смещения) для некоторых видов колебаний:

а) синусоидальные (гармонические) колебания,

б) прямоугольные колебания,

в) пилообразные колебания,

г) пример колебаний сложного вида,

д) затухающие колебания,

е) нарастающие колебания.

Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru

Условия возникновения свободных колебаний: а) при выведении тела из положения равновесия в системе должна возникнуть сила, стремящаяся вернуть его в положение равновесия; б) силы трения в системе должны быть достаточно малы.

Амплитуда А – модуль максимального отклонения колеблющейся точки от положения равновесия.

Колебания точки, происходящие с постоянной амплитудой, называютнезатухающими,а колебания с постепенно уменьшающейся амплитудой – затухающими.

Время, в течение которого совершается полное колебание, называютпериодом(Т).

Частотой Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru периодических колебаний называют число полных колебаний, совершаемых за единицу времени:

Единица частоты колебаний — герц (Гц). Герц – это частота колебаний, период которых равен 1 с: 1 Гц = 1 с –1.

Циклической иликруговой частотой периодических колебаний называется число полных колебаний, совершаемых за время 2p с:

Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru .[ Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru ]=рад/с.

Гармонические – это такие колебания, которые описываются периодическим законом:

Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru или Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru (1)

где Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru – периодически изменяющаяся величина (смещение, скорость, сила и т. д.), А – амплитуда.

Система, закон движения которой имеет вид (1), называется гармоническим осциллятором. Аргумент синуса или косинуса Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru называется фазой колебаний. Фаза колебания определяет смещение в момент времени t. Начальная фаза Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru определяет смещение тела в момент начала отсчета времени.

Рассмотрим смещение x колеблющегося тела относительно положения равновесия. Уравнение гармонического колебания:

Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru .

Первая производная от Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru по времени дает выражение для скорости движения тела:

Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru ; (2)

Скорость достигает своего максимального значения в момент времени, когда Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru =1, соответственно Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru ‑ является амплитудой скорости. Смещение же точки в этот момент рано нулю Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru = 0.

Ускорение изменяется со временем также по гармоническому закону:

Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru , (3)

где Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru – максимальное значение ускорения. Знак минус означает, что ускорение направлено в сторону, противоположную смещению, т. е. ускорение и смещение изменяются в противофазе. Видно, что скорость достигает максимального значения, когда колеблющаяся точка проходит положение равновесия. В этот момент смещение и ускорение равны нулю.

Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru

Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru

Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru

Для того чтобы тело совершало гармоническое колебательное движение, на него должна действовать сила, всегда направленная к положению равновесия, а по величине – прямо пропорциональная смещению от этого положения. Силы, направленные к положению равновесия, называются возвращающими.

Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru

Рассмотрим свободные колебания, происходящие в системе с одной степенью свободы. Пусть тело массой т укреплено на пружине, упругость которой k. В отсутствие сил трения на тело, выведенное из положения равновесия, действует упругая сила пружины Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru . Тогда по второму закону динамики Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru имеем:

Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru или Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru .

Если ввести обозначение Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru , то уравнение можно переписать в следующем виде:

Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru

Это и есть дифференциальное уравнение свободных колебаний с одной степенью свободы. Его решением является функция вида Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru или Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru . Величина Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru является циклической частотой Период колебаний пружинного маятника:

Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru . (3).

Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru

Математический маятник ‑это модель, в которой вся масса сосредоточена в материальной точке, колеблющейся на невесомой и недеформируемой нити. При отклонении материальной точки от положения равновесия на малый угол a, такой, чтобы выполнялось условие Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru , на тело будет действовать возвращающая сила Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru . Знак минус указывает, что сила направлена в сторону, противоположную смещению. Так как Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru , то сила равна Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru . Сила пропорциональна смещению, следовательно, под действием этой силы материальная точка будет совершать гармонические колебания. Обозначим Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru , где Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru , имеем: Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru или Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru . Отсюда период колебаний математического маятника: Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru .

Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru

Физическим маятником может служить любое тело, которое колеблется относительно оси, не проходящей через центр тяжести. Расстояние между осью колебаний и центром тяжести а. Уравнение движения в этом случае запишется Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru , или для малых значений угла φ: Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru . В итоге имеем уравнение гармонических колебаний с частотой Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru и периодом Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru . В последнем равенстве ввели приведенную длину физического маятника Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru , чтобы сделать формулы для физического и математического маятников идентичными.

Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru

В лабораторных исследованиях часто используется крутильный маятник, позволяющий измерять момент инерции твердых тел с высокой точностью. Для таких колебаний момент в довольно широких пределах пропорционален углу закручивания φ:

Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru ,

где Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru ‑ модуль кручения. Это уравнение тождественно уравнению, полученному для физического маятника. Значит, тело будет совершать гармонические крутильные колебания с периодом

Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru .

Для колебаний можно использовать несколько способов описания колебательного процесса.

1. Описание колебаний через явное задание функции x(t) называется аналитическим. Например, аналитическое выражение x(t)=Acos(ωt +φ0) описывает гармоническое колебание.

2. Другой способ описания колебания – экспоненциальный, в котором колебательный процесс задается с помощью комплексной функции вида

Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru ,

величина A, стоящая перед экспонентой, будет постоянной и вещественной, то вещественная часть Z и мнимая часть Z будут описывать некоторые гармонические колебания Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru и Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru . В общем случае величина A может быть функцией времени и колебания окажутся не гармоническими.

3. Третий способ описания колебаний – с помощью уравнения фазовой траектории; он связан с изображением колебательных процессов на фазовой плоскости.

Каждому способу описания колебательного процесса соответствует свой способ изображений колебаний.

1) С помощью x(t)-диаграммы– кривой, изображающей процесс на координатной плоскости;

2) С помощью векторных диаграмм. Колебания представляют собой проекции вращающегося с угловой скоростью ω вектора Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru :

Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru ;

Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru ,

В общем случае вектор Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru может сам быть функцией времени.

Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru

Гармонические колебания. Динамика колебательного движения - student2.ru

Наши рекомендации