Промежуток времени между событиями

Пусть в одной и той же точке А системы К* происходят два события в моменты времени Промежуток времени между событиями - student2.ru и Промежуток времени между событиями - student2.ru . Полагая Промежуток времени между событиями - student2.ru получим

Промежуток времени между событиями - student2.ru и Промежуток времени между событиями - student2.ru

Тогда

Промежуток времени между событиями - student2.ru или

Промежуток времени между событиями - student2.ru , где

Промежуток времени между событиями - student2.ruсобственное время тела, неподвижного относительно К*-системы и движущегося со скоростью Промежуток времени между событиями - student2.ru относительно К-системы (т.е. промежуток времени, измеренный по часам, неподвижным относительно движущегося тела т.е., движущимся вместе с телом).

Промежуток времени между событиями - student2.ru инвариант. В какой бы системе отсчёта ни рассматривалось движение тела, промежуток собственного времни измеряется по часам системы, в которой частица покоится. Отсюда следует, что промежуток собственного времени является инвариантом, т.е. величиной, имеющей одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчёта.

Собственное время всегда меньше, чем время, отсчитанное по часам, движущимся относительно тела (движущиеся часы идут медленнее, чем покоящиеся часы).

Это явление получило непосредственное экспериментальное подтверждение в опытах с мюонами.

Мюон – нестабильная элементарная частица, распадающаяся на электрон (или позитрон) и два нейтрино и имеющая среднее собственное время жизни в условиях, когда они движутся с малой скоростью Промежуток времени между событиями - student2.ru мкс. Мюоны рождаются в верхних слоях атмосферы под действием первичных космических лучей и движутся к Земле со скоростями υ ~ c . Если бы релятивистского эффекта замедления хода времени не было, то по отношению к земному наблюдателю мюон мог бы пройти за время своей жизни путь в атмосфере, не превосходящий в среднем Промежуток времени между событиями - student2.ru м. Но они регистрируются приборами, установленными на поверхности Земли, т.е., время жизни мюона по часам земного наблюдателя Промежуток времени между событиями - student2.ru .

Парадокс часов

Согласно принципу относительности, все процессы на космическом корабле, движущемся относительно Земли, включая и процесс старения космонавтов, идут по тем же законам, что и на Земле. Но если космонавт, совершив космический полёт со скоростью близкой к скорости света возвратится на Землю, то он может оказаться среди представителей последующих поколений (полёт в будущее).

На первый взгляд кажется, что основываясь на принципе относительности, можно прийти к прямо противоположным выводам: часы на Земле, движущейся со скоростью υ относительно космического корабля, должны отставать от часов на корабле. Поэтому длительность полёта должна быть большей для космонавта, а не для жителей Земли.

Таким образом получается, что разность показаний часов на Земле и на космическом корабле после приземления последнего должна быть, с одной стороны, положительной, а с другой – отрицательной. Этот абсурдный результат разрешается в рамках общей теории относительности, которая не рассматривается в нашем курсе физики. Часы космонавта всегда должны идти медленнее, чем часы на Земле.

Интервал

Интервалом между событиями или расстоянием между двумя мировыми точками в четырёхмерном пространстве-времени называется величина

Промежуток времени между событиями - student2.ru .

Пространство, в котором расстояние между двумя точками определяется таким выражением называется псевдоэвклидовым.

В обычном пространстве (эвклидовом)

Промежуток времени между событиями - student2.ru тогда Промежуток времени между событиями - student2.ru .

Допустим, что рассматриваются события, происходящие с одной и той же частицей. Тогда Промежуток времени между событиями - student2.ru – скорость частицы и

Промежуток времени между событиями - student2.ru .

Поскольку с – константа, а Δτ – инвариант, то и интервал ΔS также оказывается инвариантом.

В общем случае интервал может быть вещественным Промежуток времени между событиями - student2.ru , мнимым Промежуток времени между событиями - student2.ru и равным нулю ( Промежуток времени между событиями - student2.ru , то есть, для светового сигнала).

Вследствие инвариантности интервала

Промежуток времени между событиями - student2.ru .

Пусть в К*-системе Промежуток времени между событиями - student2.ru (события пространственно совмещённые). Тогда для вещественного интервала Промежуток времени между событиями - student2.ru , т.е. события не могут быть одновременными. Поэтому вещественные интервалы называют времениподобными.

Мнимые интервалы называют пространственноподобными.

Преобразование скоростей

Промежуток времени между событиями - student2.ru

Промежуток времени между событиями - student2.ru

Для К*-системы , движущейся относительно К-системы с постоянной скоростью υ0 вдоль оси ОХ получаем из преобразований Лоренца для координат и времени:

Промежуток времени между событиями - student2.ru

Промежуток времени между событиями - student2.ru .

Так как

Промежуток времени между событиями - student2.ru

Промежуток времени между событиями - student2.ru

Промежуток времени между событиями - student2.ru ,

то

Промежуток времени между событиями - student2.ru и Промежуток времени между событиями - student2.ru

Промежуток времени между событиями - student2.ru и Промежуток времени между событиями - student2.ru

Промежуток времени между событиями - student2.ru и Промежуток времени между событиями - student2.ru

Эти формулы выражают закон сложения (преобразования) скоростей в релятивистской кинематике.

В пределе при Промежуток времени между событиями - student2.ru (при этом Промежуток времени между событиями - student2.ru ) они приводят к классическому закону сложения скоростей в классической механике Ньютона:

Промежуток времени между событиями - student2.ru ; Промежуток времени между событиями - student2.ru ; Промежуток времени между событиями - student2.ru и Промежуток времени между событиями - student2.ru .

Как бы ни были близки к с скорости двух частиц, их относительная скорость друг относительно друга всегда меньше с .

Пример: две частицы движутся вдоль оси ОХ К-системы (лабораторной системы отсчёта) навстречу друг другу со скоростями υ1 = 0,9с и υ2 =0,7с .

Будем считать, что частица 2 неподвижна в К*-системе, т.е. Промежуток времени между событиями - student2.ru . Тогда υ1 = υх , а относительная скорость Промежуток времени между событиями - student2.ru

Получаем:

Промежуток времени между событиями - student2.ru

Элементы релятивистской динамики

Из принципа относительности следует, что математическая запись любого закона физики должна быть одинаковой во всех инерциальных системах отсчёта. Это означает, что уравнения, описывающие какое-либо явление в К*-системе, получаются из уравнений, описывающих то же самое явление в К-системе путём простой замены всех нештрихованных величин на штрихованные (условие ковариантности или условие лоренц-инвариантности).

Релятивистским импульсом материальной точки называют величину

Промежуток времени между событиями - student2.ru .

Величину Промежуток времени между событиями - student2.ru называют релятивистской массой, а т – массой частицы (иногда называют массой покоя), одинаковой во всех системах отсчёта (инвариантной).

Опыт подтверждает, что приведённый выше релятивистский импульс частицы действительно подчиняется закону сохранения независимо от выбора инерциальной системы отсчёта.

Основное уравнение динамики Промежуток времени между событиями - student2.ru в релятивистской динамике принимает вид Промежуток времени между событиями - student2.ru .

Видно, что сила F зависит от скорости Промежуток времени между событиями - student2.ru .Т.е. вразных системах отсчёта её числовое значение и направление будут различны (неинвариантны).

Закон взаимосвязи массы и энергии

Найдём приращение кинетической энергии dK релятивистскойчастицы под действием силы Промежуток времени между событиями - student2.ru на элементарном пути Промежуток времени между событиями - student2.ru :

Промежуток времени между событиями - student2.ru

Рассмотрим теперь выражение Промежуток времени между событиями - student2.ru . Введя левую и правую часть этого выражения в квадрат получаем:

Промежуток времени между событиями - student2.ru

Найдём дифференциал этого выражения, имея в виду, что т и с – постоянные величины:

Промежуток времени между событиями - student2.ru .

Разделив на (2т) и сравнивая с dK получаем

dK = c2.dmp .

После интегрирования получаем:

Промежуток времени между событиями - student2.ru

Анализ выражения для кинетической энергии привёл Эйнштейна к важному выводу: тс2 – этообщая внутренняя энергия тела, из каких бы видов она ни состояла (электрическая, химическая и др.). Эту энергию назвали энергией покоя Е0 = тс2 .

Величину Е = трс2 = Е0 + К назвали полной энергией тела.

В полную энергию не включена потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле, если таковое действует на тело.

Из закона взаимосвязи массы т и энергии покоя Е0 тела видно, что масса тела, которая в нерелятивистской механике выступала как мера инертности (во втором законе Ньютона) или как мера гравитационного действия (в законе всемирного тяготения), теперь выступает в новой функции – как мера энергосодержания тела.

Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы

Воспользовавшись формулами Е = трс2и р = тр.υ можно записать

Промежуток времени между событиями - student2.ru или

Промежуток времени между событиями - student2.ru

Так как т = const и с = const то ( Промежуток времени между событиями - student2.ru ) – является инвариантом и имеет одно и то же значение Промежуток времени между событиями - student2.ru во всех инерциальных системах отсчёта.

К формулам, которые полезно знать относятся также и следующие выражения

Промежуток времени между событиями - student2.ru и

Промежуток времени между событиями - student2.ru .

Наши рекомендации